中考数学一轮复习考点精炼与综测：（14）三角形及其全等（综合测试）

这是一份中考数学一轮复习考点精炼与综测：（14）三角形及其全等（综合测试），共27页。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图,已知在中,,垂直平分边,交边于点D,交边于点E.若,,的周长为( )
A.7B.8C.9D.14
2.如图,在中,平分,若,,则( )
A.B.C.D.
3.如图所示，将含角的直角三角板与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的度数为( )
A.B.C.D.
4.如图，点O是直线MN上的点，点A，B分别是，平分线上的点，于点E，于点C，于点D，则下列结论错误的是( )
A.B.
C.与互余的角有2个D.点O是CD的中点
5.如图，是的平分线，是的平分线，与交于点G.若，，则的度数为( )

A.70°B.80°C.50°D.55°
6.如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,点A位于第一象限内,,并且点A到x轴的距离为,点B对应的坐标为,若为钝角三角形,则a的取值范围是( )
A.B.
C.且,或D.且,或
7.如图，在中，，，，，E是边上一点，交于点F.若，则图中阴影部分的面积是( )
A.24B.30C.42D.48
8.如图，小明站在点C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点E.已知C，E，A三点在同一条直线上，B，C相距20米，D，C相距40米，乙楼的高BE为15米，小明身高忽略不计，，，则甲楼的高AD为( )
A.20米B.30米C.40米D.45米
9.要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下两种间接测量方案.
方案Ⅰ：如图1，先过点B作，再在BF上取C，D两点，使，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可.
方案Ⅱ：如图2，过点B作，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使，则测量BC的长即可.
对于方案Ⅰ，Ⅱ，说法正确的是( )
A.只有方案Ⅰ可行B.只有方案Ⅱ可行
C.方案Ⅰ和Ⅱ都可行D.方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
10.如图,图形在由完全相同的小正方形拼接而成的网格中,顶点A,B,C,D均在格点上,则的值为( )
A.B.C.D.
11.如图,在平面直角坐标系中,点,点,连结,将线段绕点A顺时针旋转得到线段,连接,则线段的长度为( )
A.B.C.D.
12.在凸四边形中,,平分,,垂足为E,F是的中点,连接,则下列结论不正确的是( )
A.B.C.D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图，中，D是AB上一点，，D，E，F三点共线，请添加一个条件__________，使得.（只添一种情况即可）
14.如图，在中，于D，平分，与交于E，若，则的度数为_______.

15.如图,的面积为6,BP平分,于点P,连接PC,则的面积为____________.
16.在中,,,,D,E分别为射线与射线上的两动点,且,连接,,则最小值为______；的最大值为______.
17.如图,在中,,,E,F是内两点,,,当的值最小时,的度数是______°.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）在①,②,③这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
问题：如图,AC平分,D是AC上的一点,.若______,求证：.
19.（8分）综合与实践
【主题】军事训练中的距离测量问题
【素材】在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点A）与对岸目标（点B）之间的距离.然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具.但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题：
【实践操作】如图所示：
步骤1：面向点B站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点；
步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点C；
步骤3：步测得米.已知小王身高为，帽顶O到眼睛D的垂直距离为.
【问题解决】
(1)如何测得我方阵地与对岸目标之间的距离？请用你所学数学知识说明.
(2)若将本题中的测量方法应用到生活场景中，例如测量池塘对岸某一物体的距离，你认为该方法是否同样适用？请举例说明在生活场景应用时可能会遇到的不同情况及相应的解决办法.
20.（8分）【方法学习】
数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：
如图，在中，，求出边上的中线的取值范围.
小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1），
①延长到E，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用二角形的三边关系可得的取值范围，从而得到的取值范围：
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，
把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【问题解决】
解：________
21.（10分）综合与实践
【情景再现】
如图，在中，分别是上的一点，则可知三条线段之间的关系.
【问题提出】
(1)是的中点，连接.已知.试说明，四条线段的等量关系，并写出证明过程.
【数学感悟】
(2)如图2，若分别在的延长线上，(1)中的结论是否成立，若成立，请写出理由；若不成立，请写出正确的结论.
【学以致用】
(3)如图2，已知是的中点，，请直接写出线段的长度.
22.（12分）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F.
【画图】(1)如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；
【探究】(2)如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为_________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵______，
∴________
∵，∴__________.
【运用】(3)如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由.
【拓展】(4)如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系.
23.（13分）阅读与思考
阅读下列材料,并完成相应任务.
任务：
(1)如图5,在中,是的平分线.若,,则_______.
(2)请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整.
(3)如图6,在中,若是的平分线,是的外角的平分线,M是线段的中点,且,,,请直接写出线段的长.
答案以及解析
1.答案：D
解析：垂直平分边,
,
的周长
,
故选：D.
2.答案：B
解析：平分,
点D到和的距离相等,
,
故选：B
3.答案：D
解析：如图，
，
，
，
，
故选：D.
4.答案：C
解析：由角平分线的性质，易知，，所以，故A项结论正确.由点A，B分别是，平分线上的点，易知，故B项结论正确.与互余的角有，，，，共4个，故C项结论错误.易知，所以点O是CD的中点，故D项结论正确.
5.答案：B
解析：连接.

∵是的平分线，是的平分线，
∴，
故选：B.
6.答案：D
解析：如图1,当垂直于x轴时,为直角,
此时,,即.
当时,为钝角,是钝角三角形,
当时,为钝角,也是钝角三角形.
当点B和点O重合时,围不成三角形,
所以.
如图2,当为直角时,已知,点A到x轴的距离为6,
可知,
,
当时,为钝角,为钝角三角形.
综上所述,当为钝角三角形时,且,或.
故选：D
7.答案：A
解析：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴.
故选：A
8.答案：B
解析：根据题意，得，所以.因为，所以.易知米，所以，所以，所以米.易知米，所以米.
9.答案：C
解析：对于方案Ⅰ，因为，所以.因为，所以，所以.在和中，所以，所以，故方案Ⅰ可行.对于方案Ⅱ，因为，所以.在和中，所以，所以，故方案Ⅱ可行.综上可知，方案Ⅰ和Ⅱ都可行.
10.答案：B
解析：如图：
由网格可得,,,,为等腰直角三角形,
∴,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
故选：B.
11.答案：D
解析：过点C作轴于点D,则,
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,,
∵点,点,
∴,,
∴,,
∴,
∴,
故选：D.
12.答案：D
解析：如图所示,延长交于点M,延长,交的延长线于的延长线于点N,延长交于点G
,,
,
,故C正确；
平分,
,
,
,
,
,
是的中位线
,,故B正确；
,
,故A正确；
,但没有足够的条件证明
故D不一定成立；
故选：D.
13.答案：或（答案不唯一）
解析：，
，，
添加条件，可以使得，
添加条件，也可以使得，
；
故答案为：或（答案不唯一）.
14.答案：/126度
解析：在中，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：.
15.答案：3
解析：延长AP交BC于E,
∵BP平分,
∴,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,,
∴.
16.答案：；
解析：如图,过点B作,使得,过点A作于点G,连接,
在,中,
,
∴,
∴,
∴,则当D在线段上时,取的最小值,最小值为的长,
∵,,,
∴
∵,
∴,
在中,,
∴,
∴,
如图所示,延长至H使得,连接,则,,
∴,
故答案为：,.
17.答案：
解析：过C点取线段的长等于线段的长,连接,,
在和中,
,,,
,
,,
在中,,,
A、F、D三点共线时,当的值最小,
在中,,,,
,,
,
,
,
,
,
,
,
故答案为：.
18.答案：证明见解析
解析：若选②；
证明：∵AC平分,
∴.
∵,
∴.
∵,.
∴.
若选③,
证明：∵AC平分,∴.
在和中,
∴.
∴.
19.答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)由题意可得：，，
又，
，
米；
(2)该方法在生活场景中测量池塘对岸某一物体的距离同样适用，
可能会遇到的不同情况及相应的解决办法：
情况一：周围由障碍物影响视线，
解决办法：可以选择适合的观测点，避开障碍物，重新进行观测操作。或者借助梯子等工具，升高观测点位置，越过障碍物进行观测；
情况二：底面不平整影响站姿，
解决办法：可以先在地面上铺设一块平整的垫板，再进行测量操作.
20.答案：
解析：(1)如图，延长到，使得，连接，

∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴.
21.答案：(1)，理由见解析；
(2)成立，理由见解析；
(3)
解析：(1)，证明如下：
延长到点，使，连接，
∵，
∴，
∵O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)成立，理由如下：
延长到，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
(3)∵，
∴，
设，则，
∵O是的中点，，
∴，
∴，
解得，
∴.
22.答案：(1)见详解；
(2)，，，；
(3)与的数量关系为，理由见解析；
(4)
解析：(1)依题意，边上的高如图所示：
(2)；
证明：∵，
∴，
∵，
∴；
(3)过点B作交于一点G，
∵，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
(4)过点B作交于一点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
23.答案：(1)
(2)补全证明见解析
(3)
解析：(1)如图所示：
由三角形内角平分线性质定理可得,,
,,
,
在中,,,,则由勾股定理可得,
设,,
则,解得,
,
故答案为：；
(2)过点A作,过点F作,,垂足分别为E,K,N,如图4,
平分,
,
.
,
；
(3)如图所示：
在中,由三角形内角平分线性质定理可得,；
在中,由三角形外角平分线性质定理可得,；
,
,
,
,
设,,
则由可得,,
解得,
,
,
若是的平分线,是的外角的平分线,
,
M是线段的中点,
.
三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边,所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.即：知图1,在中,若是的平分线,则.
三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边,所得的两条线段与其内角的两边成比例.即：如图2,在中,若是的外角的平分线,则.
上述定理的证明方法有多种,我们均采用“面积法”来进行证明.
三角形内角平分线性质定理的证明
证明：如图3,过点D作,,垂足分别为G,H.
平分,
,
.
,
.
三角形外角平分线性质定理的证明
证明：如图4,过点F作,,垂足分别为K,N.
平分,
,
……