2023-2024学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若i（1+z）＝1（i为虚数单位），则（ ）
A．﹣2B．﹣2iC．2D．2i
2．（5分）已知等比数列{an}中，a1＝1，a2a4＝9，则a7＝（ ）
A．3B．3或﹣3C．27D．27或﹣27
3．（5分）已知圆O：x2+y2＝2与抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线相切，则p的值为（ ）
A．B．C．4D．2
4．（5分）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（＝平均分/150）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）
附：若X～N（μ，σ2），记p（k）＝P（μ﹣kσ≤X≤μ+kσ），则p（0.75）≈0.547，p（1）≈0.683．
A．127人B．181人C．254人D．362人
6．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x与双曲线的右支交于点P，则（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
7．（5分）现有一组数据0，1，2，3，4，5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分。
（多选）9．（6分）若“x＜k﹣2或x＞k”是“﹣2＜x＜3”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（ ）
A．3B．﹣3C．5D．﹣5
（多选）10．（6分）下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（ ）
A．成对样本数据的经验回归直线一定经过点
B．依据小概率事件α＝0.1的χ2独立性检验对零假设H0进行检验，根据2×2列联表中的数据计算发现χ2≈0.837＜x0.1＝2.706，由P（χ2≥2.706）＝0.1可推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1
C．在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设
D．决定系数R2越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
（多选）11．（6分）如图，心形曲线L：x2+（y﹣|x|）2＝1与y轴交于A，B两点，点P是L上的一个动点，则（ ）
A．点和（﹣1，1）均在L上
B．点P的纵坐标的最大值为
C．|OP|的最大值与最小值之和为3
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2x+y﹣1）6的展开式中，所有项的系数和为 ．
13．（5分）如图，正八面体ABCDEF的12条棱长相等，则二面角E﹣AB﹣F的余弦值为 ．
14．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1﹣2an＝2n，则满足Sn＞2024的最小正整数n为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）如图，若点D是BC边上一点，且AB⊥AD，BD＝2CD，求∠ADB．
16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PCD为正三角形，底面ABCD为梯形，AB∥CD，平面PCD⊥平面ABCD．已知CD＝4AB＝4，．
（1）证明：AM∥平面PBC；
（2）若AC＝AD，PA＝3，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值．
17．（15分）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样本，摸到红球或者第5次摸球之后停止．用X表示停止时摸球的次数．
（1）求X的分布列和期望；
（2）用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率．
18．（17分）已知椭圆的长轴长为，离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过P（4，0）作一条斜率存在且不为0的直线l交E于A，B两点．
（i）证明：直线AM和直线BM的斜率均存在且互为相反数；
（ii）若直线AM与直线BN交于点Q，求Q的轨迹方程．
19．（17分）拟合（Fitting）和插值（Imrterplatin）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法．拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点．适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值．例如，为了得到的近似值，我们对函数进行多项式插值．设一次函数L1（x）＝ax+b满足，可得f（x）在[0，1]上的一次插值多项式L1（x）＝﹣x+1，由此可计算出的“近似值”，显然这个“近似值”与真实值的误差较大．为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等．满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite）插值多项式．已知函数在[0，1]上的二次埃尔米特插值多项式H（x）＝ax2+bx+c满足．
（1）求H（x），并证明当x∈[0，1]时，f（x）⩽H（x）；
（2）若当x∈[0，1]时，|f（x）﹣H（x）|⩽λx2，求实数λ的取值范围；
（3）利用H（x）计算的近似值，并证明其误差不超过．
（参考数据：；结果精确到0.001）
2023-2024学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若i（1+z）＝1（i为虚数单位），则（ ）
A．﹣2B．﹣2iC．2D．2i
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z，即可求出其共轭复数，再由复数的减法计算可得．
【解答】解：因为i（1+z）＝1，所以，所以z＝﹣1﹣i，
则，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的除法、减法运算、共轭复数等基础知识，考查运算求能能力，是基础题．
2．（5分）已知等比数列{an}中，a1＝1，a2a4＝9，则a7＝（ ）
A．3B．3或﹣3C．27D．27或﹣27
【分析】根据等比数列的通项公式，计算得到等比数列的等比，结合通项公式计算得出答案．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a1＝1，a2a4＝9，
∴，
则．
故选：C．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
3．（5分）已知圆O：x2+y2＝2与抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线相切，则p的值为（ ）
A．B．C．4D．2
【分析】由题意，得到抛物线C的准线方程，根据该准线与圆O相切即可求出p的值．
【解答】解：易知圆O是圆心为原点，半径为的圆，
抛物线C的准线方程为，
因为抛物线C的准线方程与圆O相切，
所以，
解得．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的方程及性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
4．（5分）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得，求得R＝4，进而由可求得圆锥的高．
【解答】解：由图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为r＝1，
设扇形半径为R，则有，解得R＝4，所以圆锥的母线长为R＝4，
故圆锥的高．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的展开图，属于基础题．
5．（5分）某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（＝平均分/150）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）
附：若X～N（μ，σ2），记p（k）＝P（μ﹣kσ≤X≤μ+kσ），则p（0.75）≈0.547，p（1）≈0.683．
A．127人B．181人C．254人D．362人
【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩X～N（73.5，222），再根据所给条件求出P（57≤X≤90），即可求出P（X≥90），即可估计人数．
【解答】解：依题意可知平均分为150×0.49＝73.5，又标准差为22，
所以学生的数学成绩X～N（73.5，222），
即μ＝73.5，σ＝22，又，
所以P（57≤X≤90）＝P（μ﹣0.75σ≤X≤μ+0.75σ）＝p（0.75）≈0.547，
所以，
又因为800×0.2265＝181.2，
所以该次数学考试及格的人数约为181人．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
6．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x与双曲线的右支交于点P，则（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点P的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），
由，解得或，所以，
则，，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
7．（5分）现有一组数据0，1，2，3，4，5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设删去的两数之和为x，依题意可得，求出x的范围，再列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得．
【解答】解：依题意得这组数据各数之和为0+1+2+3+4+5＝15，
设删去的两数之和为x，若剩下数据的平均数小于3，则，解得x＞3，
则删去的两个数可以为（0，4），（0，5），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共11种情况，
从0，1，2，3，4，5中任意取两个数有：（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（0，5），（1，2），
（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共15种情况，
故所求概率．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
8．（5分）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）
【分析】根据题意转化为导函数ex﹣x+b﹣1＜0有解，参变分离b＜﹣ex+x+1有解，设f（x）＝﹣ex+x+1，则实数b＜f（x）max，求导计算可得解．
【解答】解：函数的定义域为R，
求导得g′（x）＝ex﹣x+b﹣1，函数存在单调递减区间，
所以ex﹣x+b﹣1＜0有解，即b＜﹣ex+x+1有解，
设f（x）＝﹣ex+x+1，则实数b＜f（x）max，
则f′（x）＝﹣ex+1，令f′（x）＝0，得x＝0，
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）上递增；
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上递减；
所以函数f（x）有最大值f（0）＝0，
因此b＜0．
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查运算求解能力，属于基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分。
（多选）9．（6分）若“x＜k﹣2或x＞k”是“﹣2＜x＜3”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（ ）
A．3B．﹣3C．5D．﹣5
【分析】根据题意，令A＝{x|x＜k﹣2或x＞k}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，依题意可得B真包含于A，即可求出参数的取值范围．分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，令A＝{x|x＜k﹣2或x＞k}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，
因为“x＜k﹣2或x＞k”是“﹣2＜x＜3”的必要不充分条件，
所以B真包含于A，所以k≤﹣2或k﹣2≥3，解得k≤﹣2或k≥5．
结合选项可知符合题意的有B、C、D．
故选：BCD．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及集合的包含关系，属于基础题．
（多选）10．（6分）下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（ ）
A．成对样本数据的经验回归直线一定经过点
B．依据小概率事件α＝0.1的χ2独立性检验对零假设H0进行检验，根据2×2列联表中的数据计算发现χ2≈0.837＜x0.1＝2.706，由P（χ2≥2.706）＝0.1可推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1
C．在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设
D．决定系数R2越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
【分析】根据经验回归方程的性质判断A，根据独立性检验的基本思想判断B，根据回归分析的相关知识判断C、D．
【解答】解：对于A：成对样本数据的经验回归直线一定经过点，故A正确；
对于B：因为χ2≈0.837＜x0.1＝2.706，
由P（χ2≥2.706）＝0.1可推断H0成立，即认为X和y独立，故B错误；
对于C：在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，
说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故C正确；
对于D：决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查独立性检验思想，线性回归直线方程的意义，残差图及决定系数，属于基础题．
（多选）11．（6分）如图，心形曲线L：x2+（y﹣|x|）2＝1与y轴交于A，B两点，点P是L上的一个动点，则（ ）
A．点和（﹣1，1）均在L上
B．点P的纵坐标的最大值为
C．|OP|的最大值与最小值之和为3
D．
【分析】将点的坐标代入曲线方程即可判断A，根据曲线方程写出分段函数，求函数最大值即可判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D．
【解答】解：令x＝0，得出y＝±1，则A（1，0），B（﹣1，0）．
对于A：时，，解得y＝0或，
x＝﹣1时，1+（y﹣1）2＝1解得y＝1，
所以和（﹣1，1）均在L上，A选项正确；
对于B：因为曲线关于y轴对称，当x≥0时，x2+（y﹣|x|）2＝1，
所以，即，
所以，
所以时，y最大，最大值为，B选项正确；
对于C：，因为曲线关于y轴对称，
当x≥0时，设x＝csθ，y﹣x＝sinθ，
所以|OP|2＝x2+y2＝cs2θ+（csθ+sinθ）2
＝2cs2θ+sin2θ+2sinθcsθ


，（其中），
因为θ可取任意角，所以|OP|取最小值，
|OP|取最大值，
所以|OP|的最大值与最小值之和为，C选项错误；
对于D：等价为点P在椭圆内，
即满足2（csθ+sinθ）2+3cs2θ≤6，
即，整理得4sin2θ+3cs2θ≤5，
即5sin（2θ+β）≤5，（其中），
即sin（2θ+β）≤1恒成立，故D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了曲线与方程，考查了转化思想，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2x+y﹣1）6的展开式中，所有项的系数和为 64 ．
【分析】令x＝y＝1计算可得答案．
【解答】解：令x＝y＝1，可得所有项的系数和为（2+1﹣1）6＝64．
故答案为：64
【点评】本题考查二项式系数的性质，属于基础题．
13．（5分）如图，正八面体ABCDEF的12条棱长相等，则二面角E﹣AB﹣F的余弦值为 ．
【分析】AB的中点为G，∠EGF为二面角E﹣AB﹣F的平面角，结合正八面体的几何特征，利用余弦定理求值即可．
【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接EF，取AB的中点G，连接EG，FG，
根据正八面体的几何特征，有EF过点O，EG⊥AB，FG⊥AB，
又EG⊂平面ABE，FG⊂平面ABF，平面ABE∩平面ABF＝AB，
所以∠EGF为二面角E﹣AB﹣F的平面角，
正八面体中，EF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则EF⊥AC，所以△AOE是直角三角形，
设正八面体棱长为2，则，AE＝2，所以，得，
在△AEB中，，同理，
在△EGF中，由余弦定理，
可得．
故答案为：．
【点评】本题考查二面角的计算，属于中档题．
14．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1﹣2an＝2n，则满足Sn＞2024的最小正整数n为 9 ．
【分析】先构造等比数列，再应用等比等差数列前n项和公式计算，最后判断最小值n 即可．
【解答】解：因为an+1﹣2an＝2n，所以an+1+（2n+4）＝2an+4n+4，
所以，所以{an+2n+2}是公比为2，首项为a1+2+2＝5的等比数列，
所以．
则，
因为，则Sn单调递增，
又因为，
．
则Sn＞2024的最小正整数n为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）如图，若点D是BC边上一点，且AB⊥AD，BD＝2CD，求∠ADB．
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后利用余弦定理可求出角A；
（2）由AB⊥AD结合可得，然后在△ABD和△ACD分别利用正弦定理结合已知条件可得b＝c，进而可求出∠ADB．
【解答】解：（1）因为，
所以由正弦定理得，
所以a2﹣b2＝bc+c2，
所以b2+c2﹣a2＝﹣bc．
所以由余弦定理得，
因为A∈（0，π），所以．
（2）因为AB⊥AD，所以，
所以，
在△ABD中，由正弦定理得，
在△ACD中，由正弦定理得，
因为∠ADB+∠ADC＝π，
所以sin∠ADB＝sin∠ADC，
因为BD＝2CD，所以AB＝AC，即b＝c，
所以，
所以．
【点评】本题考查解三角形，属于中档题．
16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PCD为正三角形，底面ABCD为梯形，AB∥CD，平面PCD⊥平面ABCD．已知CD＝4AB＝4，．
（1）证明：AM∥平面PBC；
（2）若AC＝AD，PA＝3，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值．
【分析】（1）取PC的靠近P的四等分点N，连接MN，则易证AM∥BN，从而根据线面平行的判定定理，即可证明；
（2）建系，根据向量法，向量夹角公式，即可求解．
【解答】解：（1）证明：如图，取PC的靠近P的四等分点N，连接MN，又，
∴MN∥DC，且MNDC，又AB∥CD，CD＝4AB＝4，
∴MN∥AB，且MN＝AB，
∴四边形MNBA为平行四边形，
∴AM∥BN，又AM⊄平面PBC，BN⊂平面PBC，
∴AM∥平面PBC；
（2）取DC中点O，连接PO，AO，
∵AC＝AD，侧面PCD为正三角形，
∴AO⊥DC，PO⊥DC，又平面PCD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
故建系如图，又CD＝4AB＝4，∴PO，
又PA＝3，∴AO，
∴根据题意可得A（，0，0），M（0，，），P（0，0，），B（，1，0），
∴，，，
设平面PAB的法向量为，
则，取，
∴直线AM与平面PAB所成角的正弦值为：
|cs，|．
【点评】本题考查线面平行的证明，向量法求解线面角问题，属中档题．
17．（15分）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样本，摸到红球或者第5次摸球之后停止．用X表示停止时摸球的次数．
（1）求X的分布列和期望；
（2）用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率．
【分析】（1）对于有放回的摸球，，且Ai（i＝1，2，3，4，5）相互独立的，X的可能取值为1，2，3，4，5，依次求出概率，可得分布列，再由期望公式求解；
（2）设样本中红球的比例为f，B＝“样本中有红球”，且，分B不发生，和B发生求概率，从而得解．
【解答】解：（1）设Ai＝“第i次摸出红球”，i＝1，2，3，4，5，
对于有放回的摸球，，且Ai（i＝1，2，3，4，5）相互独立的，
X的可能取值为1，2，3，4，5，
则由题意可知，，
，，
，
所以X的分布列为：
期望．
（2）总体中的红球比例，设样本中红球的比例为f，
设B＝“样本中有红球”，且，
若B不发生，则f＝0，此时C＝∅，所以，
若B发生，则，此时，
所以，
所以．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（17分）已知椭圆的长轴长为，离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过P（4，0）作一条斜率存在且不为0的直线l交E于A，B两点．
（i）证明：直线AM和直线BM的斜率均存在且互为相反数；
（ii）若直线AM与直线BN交于点Q，求Q的轨迹方程．
【分析】（1）由题意，根据已知条件直接计算出椭圆相关基本量即可；
（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y＝k（x﹣4）（k≠0），联立方程组，利用韦达定理证明；
（ii）设出两直线的方程，联立方程组得，，利用代入法可得Q的轨迹方程．
【解答】解：（1）因为椭圆E的的长轴长为，
所以，①
因为椭圆E的离心率为，
所以，②
又a2＝b2+c2，③
联立①②③，
解得a＝2，b，c，
则椭圆E的方程为；
（2）（i）证明：设直线l的方程为y＝k（x﹣4）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣24＝0，
此时Δ＝96（3﹣4k2）＞0，
解得，
由韦达定理得，，
当时，Δ＝0，x1＝x2＝2，不符合题意，
所以x1≠2，x2≠2，
则直线AM和直线BM的斜率均存在，
此时，
所以
，
故直线AM和直线BM的斜率均存在且互为相反数；
（ii）由（i）知x2≠2，且，
设直线AM的方程为（2﹣x2）y＝y2（x﹣2），直线BM的方程为（x2+2）y＝y2（x+2），
设Q（x0，y0），
此时，
整理得，
由题意知y2≠0，
所以y0≠0，x0≠0，
此时，，
将，代入，
此时，
整理得，
又x2≠2，
所以x0≠2．
故Q的轨迹方程为．
．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（17分）拟合（Fitting）和插值（Imrterplatin）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法．拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点．适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值．例如，为了得到的近似值，我们对函数进行多项式插值．设一次函数L1（x）＝ax+b满足，可得f（x）在[0，1]上的一次插值多项式L1（x）＝﹣x+1，由此可计算出的“近似值”，显然这个“近似值”与真实值的误差较大．为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等．满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite）插值多项式．已知函数在[0，1]上的二次埃尔米特插值多项式H（x）＝ax2+bx+c满足．
（1）求H（x），并证明当x∈[0，1]时，f（x）⩽H（x）；
（2）若当x∈[0，1]时，|f（x）﹣H（x）|⩽λx2，求实数λ的取值范围；
（3）利用H（x）计算的近似值，并证明其误差不超过．
（参考数据：；结果精确到0.001）
【分析】（1）由题意列方程组求出a，b，c，得H（x），通过构造函数，利用导数求最值证明f（x）≤H（x）．
（2）令，问题转化为G（x）≤0在x∈[0，1]时恒成立，利用导数求函数单调性和最值，得条件满足时实数λ的取值范围；
（3）由，代入求值即可，由误差，可证得结论．
【解答】解：（1）证明：H′（x）＝2ax+b，f′（x）sin（x），f′（0）＝0，f′（1），
由，解得，
所以H（x）＝﹣x2+1，
设F（x）＝f（x）﹣H（x）＝cs（x）+x2﹣1，x∈[0，1]，
F′（x）＝f（x）﹣H（x）＝cs（x）+x2﹣1，x∈[0，1]，
F′（x）sin（x）+2x，F″（x）cs（x）+2，
因为F″（x）在[0，1]上单调递，且F″（0）cs（x）+2，
所以存在x1∈（0，1）使F″（x1）＝0，且F′（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，1）上单调递增，
又F′（0）＝0，F′（x1）＜F′（0）＝0，F′（1）2＞0，
所以F′（x）在（0，1）上存在唯一的零点x2∈（x1，1），使得F′（x2）＝0，
所以F（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，1）上单调递增，
又F（0）＝F（1）＝0，
所以F（x）≤0，
所以f（x）≤H（x）．
（2）由（1）知|f（x）﹣H（x）|≤λx2等价于H（x）﹣f（x）≤λx2，且λ≥0，
设，x∈[0，1]，则G（x）≤0，
，G″（x）＝﹣2（λ+1）cs（x），
G′′′（x）sin（x）≤0，
所以G″（x）在[0，1]上单调递减，
①若，则G″（x）≤G″（0）＝﹣2（λ+1）0，
所以G′（x）在[0，1]上单调递减，所以G′（x）≤G′（0）＝0，
所以G（x）在[0，1]上单调递减，所以G（x）≤G（0）＝0，
若，则G″（0）＞0，
而G″（1）＝﹣2（λ+1）＜0，
所以存在x0∈（0，1）使得G″（x0）＝0，
所以在（0，x0）上，G″（x）＞0，G′（x）单调递增，
所以G′（x）＞G′（0）＝0，
所以G（x）单调递增，
所以G（x）＞G（0）＝0，不合题意，
综上所述，λ的取值范围为[1，+∞）．
（3）证明：．
由（2）知，，
所以，误差．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
C
B
A
B
D
题号
9
10
11
答案
BCD
AC
ABD
X
1
2
3
4
5
P