2024-2025学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知抛物线C：y=2x2，则抛物线C的焦点到准线的距离是( )
A. 4B. 14C. 2D. 12
2.“x≠1”是“x+1x>2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量a=(−3,4)，b=(1,0)，向量a在向量b方向上的投影向量的模为( )
A. −35B. 35C. 3D. −3
4.已知数列{an}的前n项和Sn=kn2+2n，a2=5，则k的值为( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
5.函数f(x)=(x2−x−1)ex的极小值点是( )
A. x=−2B. (−2,5e−2)C. x=1D. (1,−e)
6.若随机事件A，B满足P(A)=13，P(B)=12，P(A|B)=16，则P(A+B)=( )
A. 56B. 23C. 34D. 712
7.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为( )
A. 3B. 2C. 53D. 43
8.若曲线y=2lnx+a(a∈R)与圆x2+(y−1)2=54有公共点P(x0,y0)，且在点P处的切线相同，则a=( )
A. 1B. 12C. 13D. 14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=−1−i，i为虚数单位，其共轭复数为z−，则下列说法正确的是( )
A. |z|=2B. z的虚部为−1
C. z对应的点位于复平面的第三象限D. z−z−=−2i
10.已知函数f(x)=(1−sinx)(1+csx)，则下列说法正确的是( )
A. f(x)关于(0,2)中心对称B. f(x)关于直线x=3π4对称
C. f(x)的最小正周期为πD. f(x)的最大值为32+ 2
11.统计是研究数据的学问，一组数据的特征数能反映数据的取值规律，如平均数、众数、中位数能刻画数据的集中程度，极差、标准差、方差能刻画数据的离散程度.已知10个数x1，x2，⋯，x10的平均数为5，根据下列选项的结果，能判断这组数据的中位数不超过7的是( )
A. 标准差为0B. 众数为3C. 极差为5D. 方差为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有______种.
13.随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+2)为偶函数，则μ= ______．
14.已知正四面体ABCD的顶点均在一个底面半径为1的圆柱侧面上(圆柱的高足够大)，且点A，B到圆柱下底面的距离相等，则该四面体的边长的取值集合是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的周长为 2+1，且sinA+sinB= 2sinC．
(1)求边c的长；
(2)若△ABC的面积为16sinC，求角C的度数．
16.(本小题15分)
如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∠ABE=60°，G为BE的中点．
(1)求证：AG⊥平面ADF；
(2)求AB=2，BC=1，求直线CG与面CED所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)的定义域为R，导函数为f′(x)，满足f′(x)=11+x2，f(0)=0．
(1)讨论函数y=f(x)−ax(a∈R)在(0,1)上的单调性，并证明：122等价于(x−1)2x>0，解得：x>0且x≠1，
因为{x|x>0且x≠1}⫋{x|x≠1}，
所以{x|x>0且x≠1}推不出{x|x≠1}，{x|x≠1}⇒{x|x>0且x≠1}，
所以x≠1是x+1x>2的必要不充分条件．
故选：B．
先根据分式不等式的解法解不等式x+1x>2；再根据{x|x≠1}与解集之间的关系即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意知向量a=(−3,4)，b=(1,0)，则a⋅b=−3
故向量a在向量b方向上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−31⋅(1,0)1=(−3,0)，
故向量a在向量b方向上的投影向量的模为 (−3)2=3．
故选：C．
求出a⋅b，根据投影向量的概念求出向量a在向量b方向上的投影向量，根据模的计算公式，即可求得答案．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为Sn=kn2+2n，a2=5，
所以a2=S2−S1=(4k+4)−(k+2)=3k+2=5，
解得k=1．
故选：C．
根据an与Sn之间的关系建立等式即可求解．
本题考查an与Sn的关系应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意可得f′(x)=(2x−1)ex+(x2−x−1)ex=(x2+x−2)ex=(x+2)(x−1)ex，
令f′(x)=0，则x=1或x=−2，
所以在(−∞,−2)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(−2,1)上，f′(x)0，f(x)单调递增，
所以函数的极小值点是x=1．
故选：C．
对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意可知，P(A)=13,P(B)=12,P(A|B)=16，
所以P(A|B)=P(AB)P(B)=16，所以P(AB)=112，
所以P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=13+12−112=34．
故选：C．
根据条件概率公式进行求解即可．
本题考查了条件概率公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意可知，点P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义可得，|PF1|−|PF2|=2a，|PF2|≥c−a，
又|PF1|=3|PF2|，故|PF2|=a，
则a≥c−a，即双曲线的离心率e=ca≤2．
故选：B．
利用双曲线的定义和性质即可求解．
本题考查了双曲线的定义和性质，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为y=2lnx+a，所以y′=2x，
所以P(x0,y0)处的切线的斜率为2x0，
由圆的方程可得y=1± 54−x2，
所以y′=±2x2 54−x2=±x 54−x2，又2x0>0，
所以x0 54−x02=2x0，
化简得x04+4x02−5=0，解得x0=1．
所以点P(1,a)所以切线方程为2x−y+a−2=0．
因为该切线与圆相切，
所以d=|a−3| 22+12= 52，解得a=12．
故选：B．
分别对曲线和圆求导，根据斜率相等求出参数的值即可．
本题考查函数的切线问题的求解，属中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：因为z=−1−i，则z−=−1+i．
|z|= 1+1= 2，A错；
z的虚部为−1，B对；
z对应的点的坐标为(−1,−1)，位于第三象限，C对；
z−z−=(−1−i)−(−1+i)=−2i，D对．
故选：BCD．
利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的减法可判断D选项．
本题主要考查复数的几何意义，共轭复数的定义，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，f(−x)+f(x)
=(1+sinx)(1+csx)+(1−sinx)(1+csx)
=2(1+csx)不恒等于4，
故f(x)不关于(0,2)中心对称，错误；
对于B，f(3π2−x)=[1−sin(3π2−x)][1+cs(3π2−x)]=(1+csx)(1−sinx)=f(x)，
故f(x)关于直线x=3π4对称，正确；
对于C，f(π+x)=[1−sin(π+x)][1+cs(π+x)]=(1+sinx)(1−csx)≠f(x)，
故π不是f(x)的一个周期，错误；
对于D，f(x)=(1−sinx)(1+csx)=1+csx−sinx−sinxcsx，
令t=csx−sinx= 2cs(x+π4)∈[− 2, 2]，
可得sinxcsx=1−t22，
可得y=1+t−1−t22=12(t+1)2，
故当t= 2时，y=12(t+1)2取得最大值，最大值为12×( 2+1)2=32+ 2，正确．
故选：BD．
A选项，计算出f(−x)+f(x)=2(1+csx)，A错误；B选项，计算出f(3π2−x)=f(x)，B正确；C选项，f(π+x)≠f(x)，C错误；D选项，化简得到f(x)=1+csx−sinx−sinxcsx，换元得到y=12(t+1)2，t∈[− 2, 2]，求出最大值．
本题考查了三角函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：10个数x1，x2，⋯，x10的平均数为5，
对于A，若标准差为0，则10个数x1，x2，⋯，x10都是5，
此时这组数据的中位数为5+52=5，不超过7，故A正确；
对于B，设这10个数依次为−11，3，3，3，8，8，8.5，8.5，9.5，9.5，
则它们的平均数为−11+3×3+2×(8+8.5+9.5)10=5，满足题意，
此时这组数据的中位数为8+82=8，超过7，故B错误；
对于C，若极差为5，则可设这10个数的最小值为a，最大值为a+5，
这10个数为a，a+k1，a+k2，⋯，a+k8，a+5，
其中0≤k1≤k2≤⋯≤k8≤5，
∵它们的平均数为10，则10a+(k1+k2+⋯+k8)+5=50，
∴k1+k2+⋯+k8≥0+0+0+k4+k5+k6+k7+k8≥k4+4k5≥52(k4+k5)，
∴50=10a+k1+k2+…+k8+5≥10a+52(k4+k5)+5，
∴a+k4+k54≤92，
此时这组数据的中位数为a+k4+a+k52=a+k4+k52，
∵0≤k4+k5≤10⇒0≤k4+k54≤52，
∴a+k4+k52=(a+k4+k52)+k4+k52≤92+52=7，故C正确；
对于D，设x1≤x2≤⋯≤x10，
用反证法证明若方差为5，这组数据的中位数不超过7，证明如下：
设这组数据的中位数超过7，即x5+x62>7，即x5+x6>2×7=14，
∵x5≤x6，∴x6≥x5+x62>7，即x6>7，
∴x5+x6+x7+x8+x9+x10≥3(x5+x6)>2×7×3=42，
∴x1+x2+x3+x4=5×10−(x5+x6+x7+x8+x9+x10)1445+8+16=28.8+24=52.8>50，
∴方差为110[(x1−5)2+(x2−5)2+(x3−5)2+…+(x10−5)2]>5，故D正确．
故选：ACD．
对于A：由标准差为0得到各数都相等，从而可判定；对于B：有3个3，保证众数为3，其后2个8连在一起，前面再一个数，保证2个8分别是第5个数和第6个数，其后再4个数，用最前面的数调整平均值，这样的反例可以举出；对于C：可设这10个数的最小值为a，最大值为a+5，这10个数为a1，a+k1，a+k2，⋯，a+k8，a+5，其中0≤k1≤k2≤⋯≤k8≤5，利用不等式的基本性质可以证明C正确；对于D：利用反证法，结合利用不等式的基本性质和琴生不等式i=1∑ai2nn≥(i=1nan)2可以证明D正确．
本题主要考查了平均数、标准差、众数、极差和方差的定义，属于中档题．
12.【答案】60
【解析】解：由题意知，一个7，两个3，三个5共6个数字全排列，共A66种方法，
又因为两个3和三个5是重复的，
所以不同的排列方法有A66A22A33=60种．
故答案为：60．
根据全排列公式计算即可求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
13.【答案】1
【解析】解：根据题意可知，函数f(x)=P(x≤ξ≤x+2)为偶函数，
所以f(−x)=f(x)，即P(−x≤ξ≤−x+2)=P(x≤ξ≤x+2)，
所以μ=−x+2+x2=1．
故答案为：1．
利用偶函数的定义，并结合正态曲线的对称性即可求解．
本题考查了正态分布的性质，属于基础题．
14.【答案】{2,4 23}
【解析】解：由于A，B到圆柱下底面的距离相等，故A，B在平行于底面的一个截面圆上，
若C，D也在平行于底面的截面上，
根据正四面体的性质可知AB，CD投影到底面圆上分别为A′B′，C′D′时，
此时显然可知A′B′与C′D′互相平分且垂直，
因此A′B′与C′D′为底面圆上两条互相垂直的直径，
因此AB=CD=2r=2，
若C，D不在平行于底面的截面上，
如图(1)，设正四面体的棱长为a，过CD的中点以及AB为平面ABN，
则CN⊥平面ABN，
取AB中点为M，
AM=12a,AC=a,CN=12CD=12a，
由于CN⊥平面ABN，AN⊂平面ABN，故CN⊥AN，
因此AN= AC2−CN2= a2−(a2)2= 32a，
由于AN=BN，则MN⊥AB，故NM= AN2−AM2= ( 32)2−(a2)2= 22a，
如图(2)：在过AB且平行于圆柱底面的截面圆中，由勾股定理可得12=(a2)2+(1− 2a2)2，解得a=4 23，
综上可得a=4 23或a=2．
故答案为：{2,4 23}．
根据题意可知有两种情况，C，D在平移于底面且经过AB的截面圆的同侧和异侧两种情况，结合正四面体的几何性质，以及勾股定理即可求解．
本题考查几何体的结构特征，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵△ABC的周长为 2+1，
∴a+b+c= 2+1，
∵sinA+sinB= 2sinC，
∴由正弦定理得a+b= 2c，
∴c=1；
(2)∵△ABC的面积S=12absinC=16sinC，
∴ab=13，
∵a+b= 2c= 2，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=43，
∴由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=12，
∵C∈(0,π)，
∴C=π3．
【解析】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
(1)由正弦定理化简已知的等式，得到a，b及c的关系式，根据周长的值，求出c的值即可；
(2)由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，使其等于已知的面积，得到ab的值，又根据第一问求出的c的值，得到a+b的值，配方后求出a2+b2的值，然后利用余弦定理表示出csC，把得到的a2+b2，ab及c的值代入求出csC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数．
16.【答案】(Ⅰ)证明：∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，AD⊥AB，
∵矩形ABCD∩菱形ABEF=AB，∴AD⊥平面ABEF，
∵AG⊂平面ABEF，∴AD⊥AG，
∵菱形ABEF中，∠ABE=60°，G为BE的中点，∴AG⊥BE，∴AG⊥AF，
∵AD∩AF=A，∴AG⊥平面ADF．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，
建立空间直角坐标系，∵AB=2，BC=1，则AD=1，AG= 3，
故A(0,0,0)，C( 3,−1,1)，D(0,0,1)，G( 3,0,0)，
则CG=(0,1,−1)，DC=( 3,−1,0)，DF=(0,2,−1)，
设平面ACD的法向量n=(x,y,z)，则DC⋅n=0DF⋅n=0，
得n=(1, 3,2 3)，
设直线CG与面CED所成角为θ，则sinθ=CG⋅n|CG||n|= 3−2 3 2⋅ 1+3+12= 68．
【解析】(Ⅰ)证明AD⊥AB，AD⊥AG，AG⊥BE，AG⊥AF，然后证明AG⊥平面ADF．
(Ⅱ)以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，求出CG=(0,1,−1)，平面ACD的法向量，然后求解直线CG与面CED所成角的正弦函数值即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，计算能力．
17.【答案】单调性见解析，证明见解析．
2．
【解析】(1)证明：令函数g(x)=f(x)−ax，
那么导函数g′(x)=f′(x)−a=11+x2−a=1−a−ax21+x2，
当a=0时，导函数g′(x)=f′(x)=11+x2>0，
因此函数g(x)在(0,1)上单调递增；
当a≠0时，根据导函数g′(x)=1−a−ax21+x2=0，得x2=1a−1，
①当a0，g(x)在(0,1)上单调递增；
②当01，所以1−a−ax2>0对任意x∈(0,1)恒成立，
此时g′(x)>0在x∈(0,1)恒成立，g(x)在(0,1)上单调递增；
③当a≥1时，1−a−ax2