广东省茂名市某校2024−2025学年高三临门一脚 数学试题（含解析）

这是一份广东省茂名市某校2024−2025学年高三临门一脚 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知 ，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．无法确定，与有关
4．如图，，是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
5．某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）
A．理科男生多于文科女生B．文科女生多于文科男生
C．理科女生多于文科男生D．理科女生多于理科男生
6．设函数，若当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
8．若能被整除，则的最小正整数取值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、多选题
9．掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（ ）
A．平均数为4，中位数为5B．平均数为4，众数为3
C．平均数为4，方差为1.6D．平均数为5，标准差为2
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称B．是的一个周期
C．在上为增函数D．
11．已知是首项为，公比为的递增等比数列，其前项和为．若对任意的，总存在，使得，则称是“可分等比数列”，则（）
A．不是“可分等比数列”B．是“可分等比数列”
C．若是“可分等比数列”，则D．若是“可分等比数列”，则
三、填空题
12．若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为 ．
13．“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为 ．
14．一个四面体有五条棱的棱长为，且外接球的表面积为，则不同于这五条棱的棱的棱长为 ．
四、解答题
15．的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若为中点，，，求的周长.
16．已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成．
（1）先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率；
（2）在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望．
17．如图，在三棱锥中，，，平面平面，．
（1）证明：；
（2）若为的垂心，求与平面所成角的正弦值．
18．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
19．如图，在直角坐标系中，已知是拋物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，且满足.
（1）求的值；
（2）已知点，直线，与拋物线的另一个交点分别为，，直线交轴于点，交直线于点.抛物线在，处的切线交于点，过点作平行于轴的直线，分别交直线KD，于点，.
（i）求证：点为定点；
（ii）记，的面积分别为，，求的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，
，故.
故选A.
2．【答案】C
【详解】因为，
所以.
故选C
3．【答案】C
【详解】由题，则，
所以.
故选C
4．【答案】B
【详解】还原正方体如下图所示，
，，
，
所以四面体的表面积为.
故选B
5．【答案】C
【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人，
文科女生有人，文科男生有人；
根据题意可知，，
根据异向不等式可减的性质有，
即有，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.
故选C.
6．【答案】B
【详解】因为，其中，，
又当时，函数取得最大值，所以，
所以，
则
，.
故选B
7．【答案】B
【详解】求导得，
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，，所以在区间上单调递减，
根据，，
当时，，可作出图象：
所以当时，，
根据图象可知，，
所以恒有，故B正确，
由于，，所以，故C错误，
故选B.
8．【答案】C
【详解】由题意得,
，
而一定能被整除，
只需保证能被整除即可，而，
得到，
故，
而一定能被整除，只需保证能被整除即可，
若使最小，则满足，解得，故C正确.
故选C
9．【答案】AD
【详解】对于A，有可能出现点数1，例如：1，4，5，5，5.故A正确；
对于B，因为众数为3，则点数3至少出现2次，如果点数1出现1次，那么剩下的2次都取最大点数6，平均数还是小于4 ，所以不可能出现过点数1，故B错误；
对于C，平均数为4，如果出现点数1，则，即方差不可能为1.6，所以不可能出现过点数1，故C错误；
对于D，有可能出现点数1，例如：1，6，6，6，6. 故D正确.
故选AD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， ，
所以是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；
对于B，，
所以的一个周期是，故B正确；
对于C，令，当时，在上单调递减，
且， 在上单调递增，则在上单调递减，
所以在上单调递减函数，故C错误；
对于D，因为，令，
则，求导得，
由于，所以，单调递增.
当时，取得最大值；
当时，取得最小值.
因为，所以，即 ，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，若，则，
因为，所以，
又因为，
所以不存在正整数，使得，
所以不是＂可分等比数列＂，故选项A正确；
对于B，若，则，
所以，当时，，
所以不存在正整数，使得，所以不是＂可分等比数列＂，故选项B错误；
对于C，若，则有，所以不存在正整数，使得，所以，
因为是递增等比数列，所以，所以，
因为，所以，即，
下证：对任意，当且仅当时，．
反证法：假设存在正整数，使得当时，，
取满足条件的最小正整数，此时有，使得且，
则，即，即与矛盾，
所以对任意，当且仅当时，，故选项C正确；
对于D，下证：．
由上可知，即恒成立，只需，即恒成立，
①当时，因为恒成立，所以符合要求，
②当时，因为，
当时，，不符合题设要求，
综上，，故选项D正确．
故选ACD.
12．【答案】3（答案不唯一）
【详解】的渐近线为，且焦点在轴上，
由题知：，因，解得，
所以离心率，
故离心率的一个取值可以为3.
13．【答案】
【详解】依据“杨辉三角”的分布规律及可知最后一个出现在第行的第个数，
去掉所有之后是第行第个数，所以的最大值为.
14．【答案】
【详解】设，则和都是正三角形．
取的中点，连接、，取（靠近点）的三等分点，
则点为的外心，过点作的垂线交于点，
因为和都是正三角形，为的中点，则，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，则，
因为，，、平面，所以，平面，
如图，则，
取的中点，连接交于点，连接，则，
如图，则点即为三棱锥外接球的圆心，是外接球的半径．
设外接球的半径为，则，可得，
所以，，，，
所以，
，故，
又因为，所以，
故，即不同于五条棱的棱的棱长为．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）方法一：因为，
由正弦定理可得，
则，
所以，
因为在中，，所以.
方法二：因为，
由余弦定理可得，
所以，
因此，
因为，所以.
（2）方法一：由已知条件得.
在利用余弦定理得.
所以，
由余弦定理得，
所以，
因此，
所以的周长为.
方法二：因为，
所以，
因此，
所以，
又由余弦定理得，
所以，所以，
又，所以，
所以的周长为.
方法三：在和分别利用余弦定理可得，
所以，
又由余弦定理得，
所以，所以，
又，所以，
所以的周长为.

16．【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为3
【详解】（1）设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生”
则
（2），从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队,X的可能取值为1、3、5，
则,,
故的分布列为：
数学期望为
17．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1）取中点，连接，由，
所以，都在平面内，则平面，
由平面，故；
（2）由（1），易知两两垂直，如下图，构建空间直角坐标系，
而，则，且，
设平面的一个法向量为，取的中点，又，
所以，为的垂心，则在上，
设，则，故，而，
所以，可得，故，
所以与平面所成角的正弦值.
18．【答案】（1）答案见解析
（2）（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为，，
①当时，，函数在单调递减；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，当时，函数在单调递减；
当时，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点；
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
因为当时，；
当时，，
所以函数有两个零点当且仅当.
设，函数在单调递增.
因为，的解集为.
综上所述，的取值范围是.
（ii）因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.所以，故原不等式成立.
所以.
19．【答案】（1）.
（2）（i）证明见解析；（ii）144
【详解】（1）由题意，直线斜率必存在，
设，，，
联立得，.
所以，.
由.
解得或（舍）.所以.
（2）（i）直线斜率必存在，设，，，
联立得，所以.
同理.又因为，所以.
直线斜率必存在，设，
联立得，所以.
解得，所以直线过定点.即的坐标为.
（ii）由，且，，
得.
所以直线的方程为.由直线与直线相交，可得.
联立解得.
因为抛物线方程为，所以.
抛物线在点处切线方程为.
所以.同理.
又，所以的中点为.
联立得，
由及，所以.
过作平行于轴的直线交于点，则.
所以
.
当且仅当时，即直线方程为或时等号成立.
X
1
3
5
P