广东省茂名市某校2025届高三临门一脚数学试卷（解析版）

这是一份广东省茂名市某校2025届高三临门一脚数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．集合A=xy=ln2-x，B=yy=2x,x∈A，则A∩B=（ ）
A．0,2B．1,4C．-∞,2D．-∞,4
【答案】A
【解析】因为A=xy=ln2-x=x2-x>0=-∞,2，
B=yy=2x,x∈A=yy=2x,xy1+y2，x2+y2y1+y2-x1+y1，
即有x1>y2，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.
故选：C.
6．设函数fx=2sinx+4csx，若当x=θ时，函数取得最大值，则tanθ=（ ）
A．22B．24C．2D．28
【答案】B
【解析】因为fx=2sinx+4csx=32sinx+φ，其中sinφ=432，csφ=232=13，
又当x=θ时，函数fx取得最大值，所以θ+φ=π2+2kπ,k∈Z，
所以θ=π2-φ+2kπ,k∈Z，
则tanθ=tanπ2-φ+2kπ=tanπ2-φ
=sinπ2-φcsπ2-φ=csφsinφ=13432=24，k∈Z.
故选：B
7．已知函数fx=lnxx，若x0∈1.5,2，则（ ）
A．fx0>f5-x0B．fx00，所以fx=lnxx在区间0,e上单调递增，
当x∈e,+∞时，f'x=1-lnxx20，可作出图象：
所以当x0∈1.5,2时，5-x0∈3,3.5，
根据图象可知fx0f4=f2，
所以恒有fx00，f5-x0>f4，所以fx0+f5-x0>f4，故C错误，
故选：B.
8．若162026+m能被7整除，则m的最小正整数取值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】由题意得162026+m=(2×7+2)2026+m,
(2×7+2)2026+m=C20260(2×7)202620+…+C20262025(2×7)122025+C20262026(2×7)022026+m，
而C20260(2×7)202620+…+C20262025(2×7)122025一定能被7整除，
只需保证C20262026(2×7)022026+m能被7整除即可，而C20262026(2×7)022026+m=22026+m，
得到22026+m=2×22025+m=2×(23)675+m=2×8675+m=2×(7+1)675+m，
故2(7+1)675=2(C67517675+…+C675675×70)=2(C67517675+…+C675674×71)+2，
而C67517675+…+C675674×71一定能被7整除，只需保证2+m能被7整除即可，
若使m最小，则满足2+m=7，解得m=5，故C正确.
故选：C
二、多选题
9．掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（ ）
A．平均数为4，中位数为5B．平均数为4，众数为3
C．平均数为4，方差为1.6D．平均数为5，标准差为2
【答案】AD
【解析】对于A，有可能出现点数1，例如：1，4，5，5，5.故A正确；
对于B，因为众数为3，则点数3至少出现2次，如果点数1出现1次，那么剩下的2次都取最大点数6，平均数还是小于4 ，所以不可能出现过点数1，故B错误；
对于C，平均数为4，如果出现点数1，则s2>151-42=95>1.6，即方差不可能为1.6，所以不可能出现过点数1，故C错误；
对于D，有可能出现点数1，例如：1，6，6，6，6. 故D正确.
故选：AD.
10．已知函数fx=csx-sincsx-1，则下列结论正确的是（ ）
A．fx的图象关于y轴对称B．2π是fx的一个周期
C．fx在0,π上为增函数D．fxsinπ4=22，所以-sin1-2，即证2x0+1ax0-1>-2，即ax02x0+1>2x0-1，
当00，2x0-1≤0，不等式恒成立；
当122x0-1x0+12x0+1-2x0=-2x02-x0-12x0+1=-x0-12x0+1.
即证lnx0+x0+12x0+1>0.
设px=lnx+x+12x+1，x∈12,1，由p'x=1x+1-22x+12>1x+1-22×12+12>0，
所以px在12,1单调递增.所以px>p12=-ln2+1>0，故原不等式成立.
所以x0f'x0>-2.
19．如图，在直角坐标系xOy中，已知F是拋物线Γ:x2=2py(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足OA⋅OB=-3.
（1）求p的值；
（2）已知点T(0,3)，直线AT，BT与拋物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N.抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G.
（i）求证：点P为定点；
（ii）记△ENK，△GNK的面积分别为S1，S2，求S1+S2的最小值.
解：（1）由题意，直线AB斜率必存在，
设AB:y=kx+p2，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y=kx+p2x2=2py得x2-2pkx-p2=0，Δ=4p2k2+1>0.
所以x1+x2=2pk，x1x2=-p2.
由OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+14p2x12x22=-p2+p24=-3.
解得p=2或p=-2（舍）.所以p=2.
（2）（i）直线AC斜率必存在，设AC:y=k1x+3，Cx3,y3，Dx4,y4，
联立x2=4yy=k1x+3得x2-4k1x-12=0，所以x1x3=-12.
同理x2x4=-12.又因为x1x2=-4，所以x3x4=-36.
直线CD斜率必存在，设CD:y=k2x+m，
联立x2=4yy=k2x+m得x2-4k2x-4m=0，所以x3x4=-4m=-36.
解得m=9，所以直线CD过定点0,9.即P的坐标为0,9.
（ii）由kCD=y3-y4x3-x4=x3+x44，且x1x3=x2x4=-12，x1x2=-4，
得kCD=x3+x44=14-12x1-12x2=34x1+x2=3k.
所以直线CD的方程为y=3kx+9.由直线CD与直线AB相交，可得k≠0.
联立y=3kx+9y=kx+1解得N-4k,-3.
因为抛物线方程为y=x24，所以y'=x2.
抛物线在点C处切线方程为y=x32x-x3+y3=x32x-14x32.
所以E18x3+x32,9.同理G18x4+x42,9.
又18x3+x32+x42+18x4=18x3+x4x3x4+x3+x42=0，所以EG的中点为P.
联立y=x32x-14x32y=x42x-14x42得Kx3+x42,x3x44，
由x3+x4=3x1+x2及x3x4=-36，所以K6k,-9.
过N作平行于x轴的直线交PK于点H，则H4k,-3.
所以S1+S2=2S△PNK=HN⋅yP-yK=xN-xH⋅yP-yK
=184k+4k=72k+1k≥144k⋅1k=144.
当且仅当k=1时，即直线AB方程为y=x+1或y=-x+1时等号成立.
X
1
3
5
P
15
35
15