2024-2025学年上海市浦东新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市浦东新区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A．y＝kx+b（k、b是常数）B．2x+7y＝1
C．D．y＝2x2﹣1
2．下列说法正确的是
A．是二项方程B．是二元二次方程
C．是分式方程D．是无理方程
3．在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于的方程的实数根的情况为
A．无解B．两个不相等的实数根
C．“两个相等的实数根D．无法确定
4．关于的函数和在同一坐标系中的图象大致是
A．B．
C．D．
5．如图，直线与的交点坐标为，则使的的取值范围为
A．B．C．D．
6．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式如图所示．有下列结论：①、两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲；④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了．其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．一次函数的图象在轴上的截距是 ．
8．方程的根是 ．
9．一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为 ．
10．方程的解是 ．
11．如果关于的无理方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
12．已知关于的分式方程有增根，则 ．
13．已知方程+＝2，如果设＝y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 ．
14．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工套，则根据题意可得方程为 ．
15．某电信公司为顾客提供了，两种手机上网方式，一个月的手机上网费用（元与上网时间（分钟）之间的关系如图，如果一个月上网300分钟，那么方式产生的费用比方式高 元．
16．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ．
17．对于两个不相等的有理数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如：，，按照这个规定，方程，的解为 ．
18．如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将△沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ．
三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．解方程：．
20．解方程：．
21．解方程组．
22．解方程：
四、解答题（本大题共4题，第23题6分，第24题8分，第25题10分，第26题10分，满分34分）
23．甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速．
24．已知直线经过点、，且平行于直线．
求：（1）直线的解析式及点的坐标．
（2）如果直线经过点，且与轴的正半轴交于点，使得△的面积为8，求直线的解析式．
25．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于，的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
（3）已知关于，的二元一次方程：和（其中为常数）是“相伴方程”，求的值是整数）．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知直线过点和，且、满足．
（1）求直线的表达式；
（2）如图1，直线与轴交于点，点在轴上方且在直线上，若面积等于10，请求出点的坐标；
（3）如图2，已知点，若点为射线上一动点，联结，在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．在下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A．y＝kx+b（k、b是常数）B．2x+7y＝1
C．D．y＝2x2﹣1
解：A、y＝kx+b（k、b是常数），当k＝0时，y不是x的一次函数，不符合题意；
B、2x+7y＝1，可化为，y是x的一次函数，符合题意；
C、，y不是x的一次函数，不符合题意；
D、y＝2x2﹣1，y不是x的一次函数，不符合题意，
故选：B．
2．下列说法正确的是
A．是二项方程B．是二元二次方程
C．是分式方程D．是无理方程
解：选项，不是二项方程，故选项不符合题意；
选项，是二元二次方程，故选项符合题意；
选项，不是分式方程，故选项不符合题意；
选项，是一元二次方程，不是无理方程，故选项不符合题意；
故选：．
3．在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于的方程的实数根的情况为
A．无解B．两个不相等的实数根
C．“两个相等的实数根D．无法确定
解：直线不经过第四象限，
，
关于的方程，
△，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故选：．
4．关于的函数和在同一坐标系中的图象大致是
A．B．
C．D．
解：当时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过第一、二、三象限，故、错误；
当时，反比例函数经过第二、四象限；一次函数经过第二、三、四象限，故错误，正确；
故选：．
5．如图，直线与的交点坐标为，则使的的取值范围为
A．B．C．D．
解：由图象可知，当时，直线落在直线的下方，
故使的的取值范围是：．
故选：．
6．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式如图所示．有下列结论：①、两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲；④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了．其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：根据题意可知，设甲车行驶的时间与离开城的距离的函数关系为，
当时，，则，
甲的函数关系式为，
设乙车行驶的时间与离开城的距离的函数关系为，
当时，；当时，；
，解得，，
乙的函数关系式为，
结论①、两城相距，
根据图示可得，结论①正确；
结论②乙车比甲车晚出发，却早到，
根据图示可得，结论②正确；
结论③乙车出发后追上甲，
令，则，解得，，
当时，甲乙相遇，乙行驶的时间为，
乙车出发后追上甲，故结论③错误；
结论④当甲、乙两车相距时，甲车行驶了，
令，则，解得，，
当时，甲乙相遇，
令相遇后，则，解得，，
当时，，此时乙还未出发；当时，乙已经到达地，甲离地的路程为，若甲、乙相距，则甲需要行驶到时，则，
当或或或时，甲、乙相距，故结论④错误；
综上所述，正确的有①②，
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．一次函数的图象在轴上的截距是 2 ．
解：由条件可知．
故答案为：2．
8．方程的根是 ．
解：原方程变形为：，
，
开方得：或（舍去），
开方得：，
故答案为：．
9．一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为 ．
解：一次函数中，函数值随自变量的增大而增大，
，解得．
故答案为：．
10．方程的解是 ．
解：，
或，
解得；
由得，解得，
经检验原方程的解为．
故答案为．
11．如果关于的无理方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
【解答】由可得，，
由题意可得：没有实数根，
，
故答案为：．
12．已知关于的分式方程有增根，则 ．
解：去分母得，
整理得，
把代入得，解得；
所以当时，原方程有增根．
故答案为．
13．已知方程+＝2，如果设＝y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 3y2﹣2y+1＝0 ．
解：设＝y，则＝，原方程可变为，
+3y＝2，
去分母得，
3y2﹣2y+1＝0，
故答案为：3y2﹣2y+1＝0．
14．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工套，则根据题意可得方程为 ．
解：采用新技术前所用时间为：，采用新技术后所用时间为：，
所列方程为：．
15．某电信公司为顾客提供了，两种手机上网方式，一个月的手机上网费用（元与上网时间（分钟）之间的关系如图，如果一个月上网300分钟，那么方式产生的费用比方式高 8 元．
解：设，，
当时，，即，
，
当时，，
如果一个月上网300分钟，那么方式产生的费用比方式高8元，
故答案为：8．
16．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是 且 ．
解：解关于的方程得，
，解得，
方程的解是正数，
且，
解这个不等式得且．
故答案为：且．
17．对于两个不相等的有理数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如：，，按照这个规定，方程，的解为 或 ．
解：当时，方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
当时，方程整理得：，
去分母到：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：或．
18．如图，一次函数的图象与轴交于点与轴交于点，是轴上一动点，连接，将△沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 或 ．
解：的图象与轴交于点与轴交于点，
当时，，
当时，，
，，
，
设，
如图1，当点落在轴正半轴上处时，连接，，
与关于对称，
，
，
，
在△中，，
，
；
如图2，当点落在轴负半轴上处时，连结，，
由对称可得，，
，
在△中，，
，
；
综上所述：点坐标为或，
故答案为：或．
三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．解方程：．
解：，
，
解得，，
检验：当时，，符合题意，是原分式方程的解，
当时，，符合题意，是原分式方程的解，
，是原方程的解．
20．解方程：．
解：先把6移项，然后两边平方求解如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．解方程组．
解：，
由②得，或，
，
解得，，
，
解得，，
方程组的解为，．
22．解方程：
解：设，，
原方程组可化为：
，
①②得：
，
解得：，
把代入①中得：，
解得：，
，
，
解得：，
经检验：是原方程组的解．
四、解答题（本大题共4题，第23题6分，第24题8分，第25题10分，第26题10分，满分34分）
23．甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速．
解：设提速前的列车速度为．
则：．
解之得：．
经检验，是原方程的解．
所以，提速前的列车速度为．
因为．
所以可以再提速．
24．已知直线经过点、，且平行于直线．
求：（1）直线的解析式及点的坐标．
（2）如果直线经过点，且与轴的正半轴交于点，使得△的面积为8，求直线的解析式．
解：（1）经过点，
，
直线平行于直线，
，
直线的解析式为；
经过点，
，
点的坐标为；
（2）如图，
设点坐标为，
△的面积为8，
，即，
解得或．
直线经过点，与轴的正半轴相交于点，
，
设直线的解析式为，
把、，代入得：
，解得，
直线的解析式为．
25．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于，的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
（3）已知关于，的二元一次方程：和（其中为常数）是“相伴方程”，求的值是整数）．
解：（1），
给方程两边同时乘以，
得，
化简得，
解得，，
，
，
，
，
，
，
（舍去），，
因为分式方程与无理方程有一个相同的解，
所以分式方程与无理方程是“相似方程”；
（2），
，
当时，方程：和，它们是“相似方程”，
可得，
解得：；
（3）根据题意可得，
，
，
当时，不符合题意，
当时，则，
，都是整数，
，或．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知直线过点和，且、满足．
（1）求直线的表达式；
（2）如图1，直线与轴交于点，点在轴上方且在直线上，若面积等于10，请求出点的坐标；
（3）如图2，已知点，若点为射线上一动点，联结，在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1），
，，
，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的表达式为；
（2）设直线交直线于，如图：
在中，令得，
，
面积等于10，
，
，即，
，
；
（3）在坐标轴上存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，
①当在轴上时，过作轴于，过作于，如图：
，，
，
又，
，
，，
设，则，
，
，
在直线上，
，
解得，
，
②当在轴上，左侧时，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得：，，
设，则，
，
，
解得，
，
③当在轴上，右侧时，过作轴，过作于，过作于，如图：
设，
同理可证，
，，
，
，即，
解得，
，
，
综上所述，的坐标为或或．