山西省实验中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山西省实验中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若随机变量，则（ ）
A．1.2B．2.4C．4.8D．9.6
2．展开项中的常数项为
A．1B．11C．-19D．51
3．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．36B．72C．144D．288
5．某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．双曲线其中，2，3，，，2，3，，且，取到其中每个数都是等可能的，则直线：与双曲线左右支各有一个交点的概率为
A．B．C．D．
7．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．托马斯·贝叶斯（ThmasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量（）表示第次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（ ）
A．X的分布列为
B．X的期望
C．
D．
10．某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（ ）
A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B．四人去了同一餐厅就餐的概率为
C．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为
D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为
11．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知随机变量，若，则 ．
13．除以7的余数为 ．
14．山西省实验中学开展“阳光体育大课间”活动，通过抽样调查发现，活动首日有的学生选择“球类”，其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率估计概率，则第二天参加“球类”的概率 ，第天选择“球类”的概率 （用含的式子表示）
四、解答题
15．设等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
16．为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图.
(1)以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用表示成绩在的人数，求的分布列和方差；
(2)用按比例分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中成绩落在的人数，求的数学期望.
17．焦点在轴上的椭圆，离心率为，短轴长为2．
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左、右焦点，分别向斜上方作斜率为1的两条射线，依次交椭圆的上半部分于点，求四边形的面积．
18．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：当时，在有两个零点.
19．2025年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分；多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选择或不选择得0分，具体得分的规则为：若正确答案为三个，那么选对一个得2分，选对两个得4分，选对三个得6分；若正确答案有两个选项，那么选对一个得3分，选对两个得6分.
(1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量.
（i）求；
（ii）求使得取最大值时的整数；
(2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答.已知此题正确答案是两个选项与三个选项的概率均为.
（i）求该同学只选A时得分的分布列和数学期望；
（ii）求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望.
1．D
根据二项分布的方差计算公式得到，再离散型随机变量的方差的性质计算求解.
【详解】因为，所以，，
所以，
故选：D.
2．B
展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.
【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况：
（1）5个括号都出1，即；
（2）两个括号出，两个括号出，一个括号出1，即；
（3）一个括号出，一个括号出，三个括号出1，即；
所以展开项中的常数项为，故选B.
3．B
【详解】因为等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，
设的公差为，则，解得，
所以.
故选：B
4．B
【详解】若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站中间，
不同的排法种数为；
同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法种数为.
根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为.
故选：B.
5．D
按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可.
【详解】甲获得冠军分以下二类：
第一类：甲获胜的概率为：；
第二类：甲获胜的概率为：；
所以甲获胜的概率为，
故选：D.
6．B
求得双曲线的渐近线方程可得斜率，由题意可得，求得基本事件的总数和满足条件的基本事件个数，即可得到所求概率．
【详解】
解：双曲线的渐近线方程为，
直线与双曲线左右支各有一个交点，则，总基本事件数为，
满足条件的的情况有：，共6个，
概率为，
故选：B．
7．B
由，考虑设，证明函数函数在上单调递减，再证明为偶函数，当时，不等式可化为，结合函数性质解不等式，再结合条件检验是否为的解，由此可得结论.
【详解】设，
则，
又当时，，
所以当时，，
即函数在上单调递减，
又函数是定义在上的偶函数，所以，
又函数的定义域为，定义域关于原点对称，
所以，所以函数为偶函数，
所以函数在上单调递增，
所以当时，不等式，
可化为，即，
所以，故，且，
因为当时，，所以，即，
当时，，
所以为不等式的解，
所以不等式的解集为，
故选：B.
8．C
记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，得，从而计算求出得到答案.
【详解】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，
则，，，
所以，
所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为，
故选：C．
9．BD
列出的分布列，求出，可判断AB的真假；根据全概率公式计算可判断C的真假；根据条件概率计算判断D的真假.
【详解】对A，由题意随机变量服从超几何分布，即，
所以，故A错误；
对B，根据超几何分布的方差的计算公式：，故B正确；
对C，根据全概率公式，，故C错误；
对D，根据条件概率，可得，故D正确.
故选：BD
10．ACD
根据互斥事件的概率，分别求出选项对应事件的概率，逐项验证；对于选项，根据每个学生随机选择一家餐厅，则选择去第一餐厅的概率为，所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布，即可求出期望，判断选项正确.
【详解】四位同学随机选择一家餐厅就餐有选择方法，
选项，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，
所以选项正确；
选项，四人去了同一餐厅就餐的概率为，
所以选项不正确；
选项，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为
，所以选项正确；
选项，每个同学选择去第一餐厅的概率为，
所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布，
，所以选项正确.
故选:ACD.
11．AD
【详解】对于选项A：展开式的通项为：，
所以，故选项A正确；
对于选项B：由展开式的通项可知：所有奇数项的系数为正的，偶数项的系数为负的，
令可得：，
所以，故选项B错误；
对于选项C：令可得：，
令可得：，
两式相加除以2可得，故选项C错误；
对于选项D：令可得，
因为，所以，故选项D正确；
故选：AD.
12．/
根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可
【详解】因为随机变量，
所以正态曲线的对称轴为，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：
13．1
由，利用二项式定理展开计算即可．
【详解】解：因为
，
所以除以7的余数是
故答案为：
14． /
根据条件可得关系，结合条件，可求，由条件可得关系，证明数列为首项为，公比为的等比数列，结合等比数列通项公式求结论.
【详解】因为活动首日有的学生选择“球类”， 其余的学生选择“田径”；
所以活动首日有的学生选择“田径”，
所以，，
又在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；
在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”.
所以，
由已知，
设，则，
故，即，
又，
所以数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
故答案为：，.
15．(1)
(2)
（1）利用可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法可求得.
【详解】（1）当时，，
当时，，
也满足，故对任意的，，
则，即是等差数列，合乎题意，
故对任意的，.
（2），
16．(1)分布列见解析，，
(2)
（1）根据题意有，再二项分布的概率公式及方差的计算公式，即可求解；
（2）由题可知的可能取值为，再求出相应取值的概率，由期望的计算公式，即可求解.
【详解】（1）由题可得成绩在内的概率为，
所以，
的可能取值为，
又，，
，，
所以的分布列为
.
（2）由频率分布直方图性质可得，所有的矩形条的面积之和为，
，解得，
所以成绩在，的两组的频率之比为，
所以抽取的人中，有个成绩在，个在，
由题知的可能取值为，
又，，，，
所以随机变量的分布列为
所以的数学期望为.
17．(1)
(2)．
（1）由题意可求得，，求解可得椭圆的标准方程；
（2）延长交椭圆于另一点，连接，，利用已知可得，联立直线的方程与椭圆方程，可求得.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为．
由题意知，，，解得，，．
故椭圆的标准方程是．
（2）椭圆的左、右焦点是，延长交椭圆于另一点，连接，．
利用椭圆的对称性可知，故，
则．
易知直线的方程为，与椭圆联立方程组，．
而点到直线的距离等于点到直线的距离，
从而，故四边形的面积为．
18．（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析.
【解析】（1）当时，得到函数，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；
（2）求得函数的导数，得到，设满足，得到，进而得到在上为增函数，在上为减函数，结合零点的存在定理，即可求解.
【详解】（1）当时，函数，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函数单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由函数，可得定义域为，
又由，即，
设满足，即，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
即函数在上为增函数，在上为减函数，
又由，
，，
所以在上有两个零点.
19．(1)（i）；（ii）
(2)（i）分布列见解析，；
（ii）该同学选择双选AC的得分期望最大，最大值为分.
【详解】（1）（1）（i）因为，所以．
（ii）因为，
依题意，即，
解得，又为整数，所以，
即时取最大值.
（2）（i）若正确答案为两个选项，则所有可能结果为，
每种情况出现的概率均为；
若正确答案为三个选项，则所有可能结果为，每种情况出现的概率为；
由题可知的可能取值为，
则，，，
则的分布列为
则期望（分）.
（ii）由（i）可得，
①若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：
（分），
（分），
若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：
（分），
（分），
若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：
（分）．
经比较，该同学选择双选AC的得分期望最大，最大值为分.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
B
D
B
B
C
BD
ACD
题号
11









答案
AD