山西省运城市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

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2025.1
本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等比数列中，，则数列的公比是（ ）
A. B. 3C. D.
2. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 或
3. 已知，则点到直线距离为（ ）
A B. 3C. 4D.
4. 抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 36B. 28C. 24D. 30
6. 如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，的中点为，则平面与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若数列满足，则数列的前50项和为（ ）
A. 2500B. 2550C. 2600D. 2650
8. 如图，，点为射线上两动点，且，若射线上至多有一个点，使得，则长度的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为数列的前项和，为数列的前项积，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 当取最大值时，
10. 如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面截正方体所得截面四边形
B. 若，则平面
C. 无论取何值，三棱锥的体积始终为
D. 异面直线与所成的角的余弦值的取值范围为
11. 已知为双曲线上一点，为其左右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值
B. 的内心为，到轴的距离为1
C. 若，则的面积为
D. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知圆和圆，则圆与圆的公切线有______条.
13. 已知数列满足，则________．
14. 已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆，圆经过点，且与圆相切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线过点，且被圆截得弦长为，求直线的方程．
16. 某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元.
（1）引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第年后所获利润；
（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大?
17. 如图1，在直角梯形中，，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，点在线段上，且.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知为数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项和．
（3）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
19. 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸.
步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点标记为；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点.
现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；