四川省凉山州2025届高中毕业生第三次诊断性检测 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A．B．2C．D．4
2．设，向量，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．2
4．设等差数列的公差为d，若，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥的高为（ ）
A．B．1C．2D．
6．已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线和平面，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．下列说法正确的有（ ）
A．这组数据的第百分位数是
B．若一组数据，，…，的方差为，则，，…，的方差为1
C．若变量服从二项分布，则
D．若变量服从正态分布，，则
11．已知，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最小值是D．的最大值是
三、填空题
12．函数的图象在点处的切线的斜率为 ．
13．点M在椭圆上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，O为坐标原点，，则 ．
14．已知集合，则满足的有序集组的个数为 ．（用数字作答）
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若外接圆的半径为1，求面积的最大值．
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
17．已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值．
18．设a为实数，函数．
（1）若曲线过点，求a的值；
（2）当时，求的最小值；
（3）若恰有两个极值点，求a的取值范围．
19．在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气．
（1）为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下：
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？
（2）某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为．
（ⅰ）计算，，并求的通项公式；
（ⅱ）记第n次传球之后球在乙手上的概率为，求的通项公式．
附：
参考答案
1．【答案】D
【详解】，
则其虚部为4.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为向量，，
则等价于，即，
显然是的真子集，所以是的必要不充分条件.
故选B.
3．【答案】D
【详解】∵，，
∴，
∴.
故选D.
4．【答案】A
【详解】因为数列为等差数列，则，即，
又因为，即，
所以公差.
故选A.
5．【答案】A
【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，
则圆锥的侧面积为，轴截面的面积为，
依题意，解得.
故选A.
6．【答案】C
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，当时，，
由，，
因为，所以函数在上为单调递增函数，
结合二次函数的图象与性质，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故选C.
7．【答案】C
【详解】，
，显然，故，，
若，解得，
若，解得，
若，解得，
综上，.
故选C
8．【答案】B
【详解】曲线的渐近线方程为：，
可化简为：，所以曲线为双勾函数，其渐近线方程为，
所以要使曲线与曲线无公共点，
如下图：
则，解得：，所以，
所以线的离心率的取值范围为：.
故选B.
9．【答案】AC
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则存在直线使得，
又因为若，所以，
又，所以，故C正确；
对于D，若，则平行或相交，故D错误.
故选AC.
10．【答案】ACD
【详解】A.将数据从小到大排序为，共个数据.
∵，∴这组数据的第百分位数是，选项A正确.
B. 若一组数据，，…，的方差为，则，，…，的方差为，选项B错误.
C. 若变量服从二项分布，则，选项C正确.
D.∵变量服从正态分布，∴正态密度曲线关于直线对称，
∴，，
∴，选项D正确.
故选ACD.
11．【答案】ACD
【详解】方程的圆心为，
对于A，表示圆上一点到点的距离，
，
所以的最小值是，故A正确；
对于B，圆上一点到直线的距离为，
，所以求的最小值，即求，
所以即为到直线的距离减半径，
所以到直线的距离为，
所以，所以的最小值为，故B错误；
对于C，因为，所以
表示圆上一点到点距离之和，
所以，当三点在一条直线上时取等，
故的最小值是，故C正确；
对于D，因为，所以
，
表示圆上一点到点距离之差的2倍，
所以，当三点在一条直线上时取等，
的最大值是，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】0
【详解】因为，则，
所以在点处的切线的斜率.
13．【答案】5
【详解】因为椭圆，所以，
设左焦点为，右焦点为，连接，
因为N为MF的中点，为的中点，，
所以，，，
所以，所以.
14．【答案】729
【详解】设集合B的元素个数为，则集合B的个数有个，
可知集合B的子集有个，即集合A的个数有个；
所以有序集组的个数为个.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由已知及正弦定理可得，
整理得，
∴，
∵，∴．
（2）∵外接圆的半径为1，
∴，得，∴，
又，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴，
即面积的最大值为
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）取CD的中点E，连接BE，PE，
由，得，
又因为，，平面PBE，则平面PBE，
且平面PBE，可得，
因为BE为的中线，所以
（2）在菱形ABCD中，，由，
则，，
，则，
在中，，，
则，即且，
在中，，即，
故可以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
取PC的中点F，连接BF，
则，
由，得，
可知二面角的大小，
可得，，
则，
所以二面角的余弦值是.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）抛物线的准线为，焦点
由抛物线定义可得，解得，
故的方程为
（2）设，，
联立，
故，
又则，
由，
解得：或（舍去），
（当且仅当时，等号成立）.
18．【答案】（1）或
（2）
（3）
【详解】（1）因为曲线过点，
所以，
即，且
所以或
（2）当时，，
所以，
令，
则，则在上单调递减，在上单调递增，
且，，所以，，，
所以
（3），
由（2）小题解答可知在上单调递减，在上单调递增，
且，，
若恰有两个极值点，则，即，
所以a的取值范围为
19．【答案】（1）喜爱排球运动与性别无关
（2）（ⅰ），，；（ⅱ）
【详解】（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得
，
依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立，
可以认为喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱排球运动与性别无关.
（2）（ⅰ）由题意，，
且时，
所以
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即
（ⅱ）由题意，，
且时，
所以
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
则，
即
喜爱排球运动
不喜爱排球运动
合计
男性
60
40
100
女性
45
55
100
合计
105
95
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828