四川省凉山州2024届高三第三次诊断性检测数学（文）试题（原卷版+解析版）

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本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知是等比数列的前n项和，，，则公比（ ）
A. B. C. 3或D. 或
3. 若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 8B. 1C. D. 0
4. 工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间小时的关系为（，均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（ ）（最终结果精确到1h，参考数据：，）
A. 43hB. 38hC. 33hD. 28h
5. 调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A 学生身高和体重没有相关性
B. 学生身高和体重呈正相关
C. 学生身高和体重呈负相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
6. 某考点在高考期间安排了高一、高二年级各两名同学参与执勤，电视台从4名执勤同学中随机抽取2名同学采访，则这两名同学来自同一个年级的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直线与圆交于，两点，记面积为则，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A. 92.5mB. 87.5mC. 82.5mD.
10. 已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球体积为（ ）
A. B. C. D.
11. 椭圆的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点；双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上，其反射光线的延长线会经过另一个焦点．如图示椭圆光学装置1，光线经过椭圆焦点射出经椭圆两次反射后又回到焦点，经历时长为，在装置1中放入与椭圆具有公共焦点双曲线构成如图示装置2，光线从焦点射出依次经双曲线及椭圆反射后回到经历时长．若，则该装置中椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有（ ）个．
①；
②若当时，，则函数在单调递增；
③对，；
④若，则.
A. 1B. 2C. 3D. 4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，若为纯虚数，则______．
14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到轴距离为______．
15. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，．若，则的取值范围是______．
16. 在中，已知，点G为外心，点O为重心，则______．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）
17. 某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），下图是该校高一名学生选择各个模块扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为，选择历史类男女比例为．

（1）完成2×2列联表，并判断能否有99％把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”?
（2）从该校选择历史类学生中按照性别分层抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加历史知识趣味问答比赛，求至少有1名男生被抽到概率．
附：．
18. 如图，在正四棱柱中，，，点，，，分别在棱，，，上，．

（1）证明：点在平面中；
（2）求多面体的体积．
19. 如图，点均在x轴的正半轴上，，…，分别是以，，…，（）为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．

（1）求，，的值，并写出的通项公式（不用证明）；
（2）求数列的前n项和．
20. 已知平面内动点与两定点，连线的斜率之积为3．
（1）求动点的轨迹的方程：
（2）过点的直线与轨迹交于，两点，点，均在轴右侧，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点横坐标为定值．
21. 已知函数．
（1）当时，求的极值点；
（2）若且函数有三个零点，求实数m的取值范围．
请考生在第22、23两题中选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，伯努利双纽线（如图）的普通方程为，直线的参数方程为（其中为直线倾斜角，为参数）．
（1）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求和的极坐标方程；
（2）设，是曲线与轴异于原点的两个交点，与在第一象限的交点为．当时，求的面积．
[选修4—5：不等式选讲]
23. 已知函数的最小值为．
（1）求实数的值；
（2）求的最小值．
男生
女生
合计
物理类
历史类
合计
1000
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828