四川省凉山州2024届高三第三次诊断性检测数学（理）试题（原卷版+解析版）

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本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，将答题卡收回，
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断出两个集合和之间的关系，再根据补集运算的定义求解即可．
【详解】因为集合或，，
所以，
故选：B．
2. 在二项式的展开式中，的系数是（ ）
A. 10B. 20C. 40D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】写出二项展开式的通项，令字母的指数为1，即可求出该项，从而求得系数即可.
【详解】展开式的通项为，
由题令，得，
所以，
故选：D.
3. 若，满足约束条件，则最大值为（ ）
A. 8B. 1C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，确定出目标函数的最优解，代入计算，即可求解.
【详解】化简约束条件 所表示的平面区域，如图所示，
由目标函数，可得化为，
所以当直线在上的截距最小值时，最大，
即直线过点时，最大，
又由，解得，即，可得.
故选：A.
4. 工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间小时的关系为（，均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（ ）（最终结果精确到1h，参考数据：，）
A. 43hB. 38hC. 33hD. 28h
【答案】D
【解析】
【分析】先确定废气中初始污染物含量，由题意求出常数，即可解出．
【详解】∵废气中污染物含量与过滤时间小时的关系为，
令，得废气中初始污染物含量为，
又∵前5小时过滤掉了10%污染物，
∴，则，
∴当污染物过滤掉50%时，，
则，
∴当污染物过滤掉50%还需要经过.
故选：D.
5. 调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. 学生身高和体重没有相关性
B. 学生身高和体重呈正相关
C. 学生身高和体重呈负相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
【答案】B
【解析】
【分析】由散点图的特点可分析相关性的问题，从而判断选项，根据相关系数的定义可判断选项.
【详解】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近，
所以学生身高和体重具有相关性，不正确；
又身高和体重的相关系数为，相关系数，
所以学生身高和体重呈正相关，正确，不正确；
从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是，不正确.
故选：.
6. 凉山地区学生中有50%的同学爱好羽毛球，60%的同学爱好乒乓球，70%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在凉山地区的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（ ）
A. 0.4B. 0.5C. 0.8D. 0.9
【答案】C
【解析】
【分析】由题设出事件，设在凉山地区的学生中随机调查一位同学，该同学爱好羽毛球为事件A，爱好乒乓球为事件B，根据已知条件求出，再利用条件概率公式求出即可.
【详解】设在凉山地区的学生中随机调查一位同学，该同学爱好羽毛球为事件A，爱好乒乓球为事件B，则由题：，
所以，
随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球为，
故选：C.
7. 已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质求得时取得最小值，再根据同角三角函数的平方关系计算即可.
【详解】易知，
由二次函数的单调性可知时上式取得最小值，
即，
所以.
故选：C
8. 已知直线与圆交于，两点，记的面积为则，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意确定的取值范围，利用圆的几何性质求及，进而利用充要条件的性质即可求解.
【详解】由得.
由题意可知，到直线的距离，解得.
，
.
当时，，故充分性成立；
当时，即，整理得，
即或，解得或，故必要性不成立.
综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
9. 摩天轮是一种大型转轮状机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A. 92.5mB. 87.5mC. 82.5mD.
【答案】A
【解析】
【分析】以轴心为坐标原点，与地面平行直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意，求得函数，令时，即可求解.
【详解】设座舱距离地面的最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
设函数表示游客离底面的高度，
因为摩天轮的最高点距离地面为，直径为，且转一周大约需要，
周期，，所以，
即，
当时，游客在点，其中以为终边的角为，
所以，
当时，可得
所以，摩天轮的座舱后距离地面高度约为.
故选：A.
10. 已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算底面面积，进而得到该六棱锥高，即可得出外接球的球心及半径，根据球的体积公式计算即可．
【详解】由正六棱锥得，底面为正六边形，设底面的中心为，连接，
则，底面，为正六棱锥的高，
所以，
因为正六棱锥的体积为，所以，即，
故点为外接球的球心，半径为2，
故外接球的体积，
故选：C．
11. 椭圆的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点；双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上，其反射光线的延长线会经过另一个焦点．如图示椭圆光学装置1，光线经过椭圆焦点射出经椭圆两次反射后又回到焦点，经历时长为，在装置1中放入与椭圆具有公共焦点双曲线构成如图示装置2，光线从焦点射出依次经双曲线及椭圆反射后回到经历时长．若，则该装置中椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过装置1与装置2，利用椭圆和双曲线的定义找到之间的关系，再由已知，进而得到之间关系，从而求出椭圆离心率与双曲线离心率之比.
【详解】不妨设光的传播速度为单位1，椭圆的长轴长为，焦距为，双曲线的实轴长为，焦距为，则由装置1知，
由装置2知：，可得：，
又由题知：，所以，
故椭圆离心率与双曲线离心率之比为，
故选：C.
12. 已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有（ ）个．
①；
②若当时，，则函数在单调递增；
③对，；
④若，则.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】①利用赋值法，令即可得证，所以①正确.
②根据题意，取，，所以，所以②正确.
③时由①可得③成立；当时，由②得，利用累加法得，因此，所以，所以③正确．
④令，， ，因为，所以得，所以由③，利用等比数列的求和公式，得，所以④错误．
【详解】令有，令有. 所以①正确.
，因为，所以，
所以，又因为，且当时，，
所以. 所以②正确.
当时由①可得③成立；
当时，由②得，所以，
所以……，
累加得，即 ，所以，所以③正确．
令，，由①得，又因为，所以，
由③得，所以，
所以 ，所以④错误．
故选：C
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，若为纯虚数，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】先将化简，结合为纯虚数，求出，再计算即可．
【详解】，
因为为纯虚数，所以，即，所以，则，
故答案为：1．
14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到轴距离为______．
【答案】3
【解析】
【分析】设出，由抛物线焦点弦公式得到，进而求出线段的中点横坐标为，得到答案.
【详解】由题意得：，设，
则，解得：，
则线段中点横坐标为，
故线段的中点到轴的距离为3.
故答案：3
15. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，向量，．若，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量平行及正弦定理可得出，再由正弦定理及三角函数的值域求出取值范围即可.
【详解】由可得，
由正弦定理可得，
由可得，
由可得，所以，
由正弦定理可得
，
由可得，
所以，
又，解得，
由，可得，
所以，
所以，
故答案为：
16. 已知函数的零点为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先零点代入函数解析式得，构造函数，利用导数研究其单调性得，再根据的单调性计算即可.
【详解】为函数零点，
．
令，
显然时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
令，，
显然时，，即在上单调递增，
则，所以.
故答案为：
【点睛】思路点睛：先将零点代入函数解析式通过同型构造得，之后判定函数的单调性得出，再根据的单调性计算即可.
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）
17. 某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），下图是该校高一1000名学生选择各个模块扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为，选择历史类男女比例为．
（1）完成列联表，并判断能否有99%把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”？
（2）从该校选择物理类学生中按照分层抽样从物化生、物化政、物化地模块中抽取15人，再从这15人中随机抽取2人参加物理知识趣味问答比赛，用X表示被抽到选择物化地模块的学生人数，求X的分布列及数学期望．
附：．
【答案】（1）列联表见解析，没有99%把握认为“该校学生选择物理类与性别有关”
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）根据扇形图计算并补全列联表，再根据卡方公式计算结合独立性检验思想判定即可；
（2）利用分层抽样先确定抽取对应组合的人数，再根据离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可.
【小问1详解】
根据扇形统计图易得选择物理类学生为人，
其中男生人，则女生人，
选择历史类100人，其中男生人，女生人；
列表如下：
所以，
所以没有把握认为“该校学生选择物理类与性别有关”；
【小问2详解】
按照分层抽样选择物化生、物化政及物化地人数分别为8人，4人，3人，
则．
易知，，
所以X分布列如下：
所以.
18. 如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，．
（1）证明：点在平面中；
（2）点为线段的中点，求锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，中点，连接，，，证明出，得出四点共面，即可证明点在平面中；
（2）以为坐标原点，，，为，，轴建系，由面面夹角的向量公式计算即可．
【小问1详解】
取中点，中点，连接，，，则，，
由正四棱柱得，，则，
又点为中点，所以，即四边形为平行四边形，
同理可得，四边形为平行四边形，所以且，则，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，
所以四点共面，即点在平面中．
【小问2详解】
以为坐标原点，，，为，，轴建系如图，
易得，，，，
则，
设平面与平面法向量分别为，，
由，即，令，则，
由，即，令，则，
设二面角平面角为则，
所以锐二面角的余弦值为．
19. 如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．
（1）求第个等边三角形的边长；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）记数列前项和为，则顶点坐标为，，由点在函数上得出与的等量关系，得出是等差数列，根据等差数列通项公式求解即可；
（2）根据裂项相消求和即可．
【小问1详解】
记数列前项和为，则顶点坐标为，，
因为点在函数上，
所以，，
则，，
两式相减得，，
因为，所以，，
第一个等边三角形顶点代入得，
代入得，所以，
故是以为首项为公差的等差数列，
所以．
【小问2详解】
由（1）得，，
所以．
20. 已知平面内动点与两定点，连线的斜率之积为3．
（1）求动点的轨迹的方程：
（2）过点的直线与轨迹交于，两点，点，均在轴右侧，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点横坐标为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，利用斜率公式得到方程，整理即可得解；
（2）设方程为，与曲线方程联立方程组，再由直线和的方程联立化简可证.
【小问1详解】
设动点，
根据题意，
动点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
易知直线斜率不为0，设方程为，且．
设，，
由
，，
由题意易得
直线方程为①
同理，直线方程为②
由①÷②得
，
点横坐标为定值．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围，
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分类讨论的范围求解单调性；
（2）由（1）单调性进行判断具有三个零点，进行求解的取值范围.
【小问1详解】
求导
当时
所以函数在单调递减，在单调递增；
当时，或.
若即时，或,
所以函数在单调递增，单调递减，单调递增；
若时， 函数在单调递增
若即时，或．
所以函数在单调递增，单调递减，单调递增；
综上：当时，在单调递减，在单调递增；
当时，函数在单调递增，单调递减，单调递增；
当时，，所以函数在单调递增；
当时，函数在单调递增，单调递减，单调递增；
【小问2详解】
由（1）知当时函数至多两个零点，不满足条件．
当时，函数至多一个零点，不满足条件；
当时函数在单调递增，单调递减，单调递增，，函数至多一个零点，不满足
当时，函数在单调递增，单调递减，单调递增．
，令，
在区间单调递减，单调递增，
即
综上：的取值范围是
请考生在第22、23两题中选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，伯努利双纽线（如图）的普通方程为，直线的参数方程为（其中为直线倾斜角，为参数）．
（1）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求和的极坐标方程；
（2）设，是曲线与轴异于原点的两个交点，与在第一象限的交点为．当时，求的面积．
【答案】（1）极坐标方程为，直线的极坐标方程为，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用极坐标方程转换公式，，，就可以得到和的极坐标方程；
（2）利用极坐标方程当时，可得，即，，再利用当时，可得，从而利用面积公式，可求出面积.
【小问1详解】
由，，，
则为，
极坐标方程为，
由题意易得直线的极坐标方程为，
【小问2详解】
由题意，是曲线与轴异于原点的两个交点，即当时，代入极坐标方程，可得，即，，
由直线与曲线方程组得：，
消去得：，又因为，
所以，
即， 因为为的中点，
所以 .
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数的最小值为．
（1）求实数的值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）利用绝对值的三角不等式计算即可；
（2）法一、利用基本不等式灵活运用“1”计算即可；法二、利用柯西不等式配凑即可；法三、利用权方和不等式计算即可.
【小问1详解】
,
当时取“＝”，
；
【小问2详解】
法一：由（1）可知，即原式
，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为；
法二：由柯西不等式得
原式
，
当且仅当时，即时取得等号，
所以的最小值为；
法三：由权方和不等式得
原式，
当，即时取得等号，
所以的最小值为.男生
女生
合计
物理类
历史类
合计
1000
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
男生
女生
合计
物理类
480
420
900
历史类
40
60
100
合计
520
480
1000
X
0
1
2
P