2025年九年级数学中考二轮复习专题：圆中切线的证明综合训练

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2．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
4．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若AD＝，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长．
6．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E
（1）求证：EM是圆O的切线；
（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；
（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EF＝，求AF长．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长．
9．已知等边△ABC内接于⊙O，D为弧BC的中点，连接DB、DC，过C作AB的平行线，交BD的延长线于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若AB长为6，求CE长．
10．在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：
（1）DE是⊙O的切线；
（2）AB＝AC．
11．如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC长．
12．如图，⊙O的直径AD＝8，AB、CD是⊙O的两条切线，AB＝3，CD＝
（1）求证：△ABO∽△DOC；
（2）求证：BC是⊙O的切线．
13．如图所示，点A、B、C在⊙O上，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA＝PD．求证：PA与⊙O相切．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O在AC上，OA＝2，以OA为半径的⊙O交AB于点D，AC于G，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求线段DE的长；
（3）求线段AD的长．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，BC＝4，OA＝1，求线段DE的长．
参考答案
1．【解答】证明：连接OC，如图所示：
∵点A、B在⊙O上，
∴OA＝OB，
∵CB为⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
在△OAC和△OBC中，，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线．
2．【解答】（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴，
∴AD＝5．
∴⊙O的半径为．
3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴＝4，
∵点D是AC的中点，
∴，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BCD中，＝＝2，
在Rt△BED中，BE＝＝＝5，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴，即，
∴．
4．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵DE∥OC，
∴∠DEB＝∠COB，∠DOC＝∠ODE．
∵∠ODE＝∠OED，
∴∠DOC＝∠BOC．
∵OD＝OD，OC＝OC，
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
∴∠ODA＝90°．
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，
∴AB•AE＝k，
如图2，连接DB，
∵EB是⊙O的直径，
∴∠EDB＝90°，
∴∠DEB+∠EBD＝90°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADE+∠EDO＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴∠ADE＝∠EBD，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴AD2＝AE•AB，
∵，
∴，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴x1＝3，x2＝1，
∴AE＝1，AB＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
∴⊙O的半径为1．
∵∠B＝90°，AC是⊙O的切线，
∴DC＝BC，
设CD＝x，在Rt△ABC中，AC＝x+，AB＝3，BC＝x，
∴，
解得：x＝．
∴．
5．【解答】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴BD＝AB＝＝4．
6．【解答】（1）证明：连接FO，
∵CN＝AC，
∴∠CAN＝∠CNA，
∵AC∥ME，
∴∠CAN＝∠MFN，
∵∠CAN＝∠FNM，
∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，
∵CD⊥AB，
∴∠HAN+∠HNA＝90°，
∵AO＝FO，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，
∴EM是圆O的切线；
（2）解：连接OC，
∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，
∵CA＝CN，
∴NH＝a，
∴AN＝＝＝a＝3，
∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，
设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，
在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，
由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，
解得：r＝，
∴圆O的直径为25；
（3）∵CH＝DH＝12，
∴CD＝24，
∵AC：CD＝5：8，
∴CN＝AC＝15，
∴DN＝24﹣15＝9，
∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，
∴△FND∽△CNA，
∴，
∵AN＝3，
∴，
∴FN＝．
7．【解答】证明：（1）如图1，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连结DE．
∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF．
（3）解：由（2）得CD＝HF，又CD＝1，
∴HF＝1，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠EHF＝∠BEF＝90°，
∵∠EFH＝∠BFE，
∴△EHF∽△BEF，
∴，即 ，
∴BF＝10，
∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4，
∴Rt△OHE中，cs∠EOA＝，
∴Rt△EOA中，cs∠EOA＝，
∴，
∴OA＝，
∴AF＝．
8．【解答】解：（1）连接DC，
∵＝，
∴∠DCA＝∠DOA，
∵∠ADQ＝∠DOQ，
∴∠DCA＝∠ADQ，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°
∴∠DCA+∠DAC＝90°，
∵∠ADQ+∠DAC＝90°，∠ADO＝∠DAO，
∴∠ADQ+∠ADO＝90°，
∴DP是⊙O切线；
（2）∵∠C＝90°，OC为半径．
∴PC是⊙O切线，
∴PD＝PC，
连接OP，
∴∠DPO＝∠CPO，
∴OP⊥CD，
∴OP∥AD，
∵AQ＝AC＝2OA，
∴＝＝，
∵AD＝4，
∴OP＝6，
∵OP是△ACB的中位线，
∴AB＝12，
∵CD⊥AB，∠C＝90°，
∴BC2＝BD•BA＝96，
∴BC＝4，
∴BP＝2．
9．【解答】（1）证明：连接OC，OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，
∵AB∥CE，
∴∠BCE＝∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠OCE＝∠OCB+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∴CE与⊙O相切；
（2）∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝120°，
∵D为弧BC的中点，
∴∠DBC＝∠BCD＝30°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝90°，
∵AB＝BC＝6，
∴．
10．【解答】证明：（1）连接OD，
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC．
11.【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
则DF为圆O的切线；
（2）解：连接OG，
∵AC与圆O相切，
∴OG⊥AC，
∴∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，且OG＝OD，
∴四边形ODFG为边长为3的正方形，
设AB＝AC＝x，则有AG＝x﹣3﹣1＝x﹣4，AO＝x﹣3，
在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2＝AG2+OG2，即（x﹣3）2＝（x﹣4）2+32，
解得：x＝8，
则AC＝8．
12．【解答】（1）证明：∵AD、BC是⊙O的两条切线，
∴∠OAD＝∠OBC＝90°，
∵AB＝3，CD＝，AD＝8，
∴OA＝OD＝4，
∴＝，＝＝，
∴＝，
∴△ABO∽△DOC；
（3）证明：过O作OE⊥BC，交BC于点E，
∵△ABO∽△DOC，
∴∠ABO＝∠COD，
∵∠ABO+∠AOB＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝90°，
∵∠BOC＝90°，
∵∠OBE＝∠CBO，∠OEB＝∠BOC＝90°，
∴△BOE∽△BCO，
∴＝，
由∵OB＝＝5，OC＝＝，
∴BC＝＝，
∴＝，
∴OE＝4＝OA，
∴BC是⊙O切线．
13．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠EBA＝90°，
∵PA＝PD，
∴∠1+∠CAD＝∠2，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠ABD+∠BAD＝∠2，
∴∠1＝∠ABC，
∵∠CBE＝∠EAC，∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠CAE+∠1＝90°，
∴PA与⊙O相切．
14．【解答】（1）证明：连接OD，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠EDB+∠ODA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE于D，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接OE，
设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x，
∵OE2＝DE2+OD2＝EC2+OC2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得x＝4.75，
∴DE＝4.75．
（3）连结BG，DG．
∵AG是直径，
∴GD⊥AB，
由S△ABG＝AG•BC＝AB•GD可得：4×8＝10×GD，
∴GD＝3.2，
∴AD＝＝2.4，
15．【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵EF垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠B，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥AD于H，如图，则AH＝DH，
在Rt△OAB中，sinA＝＝，
在Rt△OAH中，sinA＝＝，
∴OH＝，
∴AH＝＝，
∴AD＝2AH＝，
∴BD＝5﹣＝，
∴BF＝BD＝，
在Rt△ABC中，csB＝，
在Rt△BEF中，csB＝＝，
∴BE＝×＝，
∴线段DE的长为．