初中数学北京课改版九年级上册第二十二章 圆（下）22.2 圆的切线巩固练习

这是一份初中数学北京课改版九年级上册第二十二章 圆（下）22.2 圆的切线巩固练习，共29页。试卷主要包含了如图，，，、、、四点共圆，且.，已知等内容，欢迎下载使用。

中考专题训练——圆的切线的证明
1．如图，已知直线与相离，于点，交于点，点是上一点，连结并延长，交直线于点，使得.
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径.

2．如图所示，C，D分别是的半径和弦上的点，，点在的延长线上，且ED=EB．

（1）求证：与相切；
（2）如图所示，已知AC=2CO，△DEB为等边三角形，若，求的半径.
3．如图，，，、、、四点共圆，且.
（1）确定圆的位置，圆心记为点（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求证：与相切于点：
（3）若，，，求半径的长.


4．如图，以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．

5．如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED，
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．

6．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．

7．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．

（1）求证：CT为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．

8．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B,
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求⊙O 的半径．

9．已知：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）连接BE交圆于F，连AF并延长ED于G，若GE＝2，AF＝3，求∠EAF的度数．

10．已知：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA＝∠B，求证：
（1）MC是⊙O的切线；
（2）△DCF是等腰三角形．

11．如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙O的直径交底边BC于D，DE⊥AC于E．
求证：（1）DB＝DC；
（2）DE为⊙O的切线

12．如图，△ABC内接于⊙O，AB⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD和BD，过点D作DP∥AB交CA的延长线于P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当AC＝6，BC＝8时，求CD的长．

13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．
(1)求证：直线BF是⊙O的切线．
(2)若CD=2，OP=1，求线段BF的长．

14．如图，ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．
（1）求证：AE=CD；
（2）求证：直线AB是⊙O的切线．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠A＝2∠CBF，
(1)求证：BF与⊙O相切．
(2)若BC＝CF＝4，求BF的长度．


16．如图，AB是的直径，AF是切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为点E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，已知，．
求AD的长；
求证：FC是的切线．

17．如图，中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.

（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求和的长.
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．





19．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD、BC的延长线相交于点E．

（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）连结CD，求证：∠A＝2∠CDE．
20．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点.

（1）求证：是的切线；
（2）设，，试用含的代数式表示线段的长；
（3）若，，求的长.

参考答案：
1．（1）见解析；（2）半径为3.
【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形性质得出∠ABC=∠ACB，∠OBP=∠OPB，求出∠ABC+∠OBP=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）延长AO交⊙O于D，连接BD，设⊙O半径为R，则AP=5-R，OB=R，根据勾股定理得出方程，求出R即可．
【解析】（1）连结，

∵，，，，
∴，∴，
∵过，∴是的切线；
（2）设半径为，则，，在中，，在中，，
∵，∴，解得：，即半径为3.
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
2．（1）见解析；（2）的半径为.
【分析】（1）连接OB，由CD与OA垂直，得到∠DCA=90°，进而得到两个角互余，由OA=OB，ED=EB，利用等边对等角分别得到两对角相等，等量代换得到OB与BE垂直，由OB为圆的半径，即可证明BE与相切；（2）延长AO，交于点F，设OC=x，由CD⊥OA，△DEB为等边三角形可得∠CAD=30°，BD=BE=，根据圆周角定理可得∠ABF=90°，利用∠CAD的余弦可用x表示出AD、AB的长，根据AB=AD+BD列方程可求出x的值，进而可得OA的长，即可得答案.
【解析】（1）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴∠OAB=∠OBA，
∵，
∴，∠OBE=90°
∵OB是的半径，
∴与相切.

（2）延长AO，交于点F，连接BF，设，则AC=2x，OA=3x，AF=6x，
∵，为等边三角形，
∴∠EDB=60°，
∴∠ADC=60°，，BD=BE=，
∴AC=AD，
∴AD=x，
∵AF是直径，∠ABF是AF所对的圆周角，
∴∠ABF=90°，
∴AB=AF=3x，
∵AB=AD+BD，
∴3x=x+，
解得：，
∴OA=3x=，
∴的半径为.
【点评】此题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握切线的判定方法把正确作出辅助线是解本题的关键．
3．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4.
【分析】（1）根据圆周角定理可知，圆心是直角三角形斜边的中点；（2）连接，只需证，，即可；（3）根据勾股定理先求AF,再次根据勾股定理得，可求出r.
【解析】解：（1）如图⊙O为所求：

（2）证明：连接

∵
∴
∵
∴
∵是直径
∴
∴
∴是⊙O切线.
（3）解：∵，
∴，垂足为
∵，
∴
∵，∴
设半径为，则
即
∴
【点评】考核知识点：切线的判定，确定圆心,垂径定理.根据圆周角定理确定圆心是关键.
4．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接圆心和切点，只要证得∠ODB=90°即可．
（2）应得到DE所在的三角形的一条线段的长和一个角的度数，利用三角函数求解即可．
【解析】(1)证明：连接AD，连接OD；

∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点．
∴OD∥AC，DE⊥AC．
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．
（2）∵在等腰△ABC中，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∵⊙O的半径为5，
∴AB=BC=10，CD＝BC＝5．
∴DE＝CD•sin60°＝.
【点评】连接圆心和切点，做直径所对的圆周角是常用的辅助线方法；需注意利用直角三角形的三角函数来进行求解．
5．(1)证明见解析
(2)BC=
【分析】（1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）可证明△ABC∽△BDC，则，即可得出BC=．
【解析】（1）∵AB是⊙O的切直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，
∴∠BAD=∠DBC，
∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，
∴BC=．
考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定和性质.

6．（1)证明见解析；
（2）平行四边形OABC的面积S=12
【解析】试题分析：（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可．
试题解析：（1）连接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠A，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
又∵OE=OD，OC=OC，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵△EOC≌△DOC，
∴CE=CD=4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=3，
∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12．

考点：1、全等三角形的性质和判定；2、切线的判定与性质；3、平行四边形的性质．
7．（1）证明见解析；（2）2．
【分析】（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线．
（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．
【解析】解：（1）证明：连接OT，

∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA．
又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT=∠OAT．∴∠DAT=∠OTA．
∴OT∥AC．
又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT．
∵OT是⊙O的半径，∴CT为⊙O的切线．
（2）过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，
∵CT⊥AC，∴OE∥CT．∴四边形OTCE为矩形．
∵CT=，∴OE=．
又∵OA=2，
∴在Rt△OAE中，．
∴AD=2AE=2．
8．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解析】（1）证明：连接，

，
，
，
，
在中，，
，
，
则为圆的切线；
（2）设圆的半径为，
在中，，
根据勾股定理得：，
，
在中，，
，
根据勾股定理得：，
在中，，即，
解得：．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
9．（1）详见解析；（2）∠EAF的度数为30°．
【分析】（1）连接OD，如图，先证明OD∥AC，再利用DE⊥AC得到OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明Rt△GEF∽△Rt△GAE，利用相似比得到，于是可求出GF=1，然后在Rt△AEG中利用正弦定义求出∠EAG的度数即可．
【解析】（1）证明：连接OD，如图，

∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠EGF＝∠AGF，
∴Rt△GEF∽△Rt△GAE，
∴，即，
整理得GF2+3GF﹣4＝0，解得GF＝1或GF＝﹣4（舍去），
在Rt△AEG中，sin∠EAG＝，
∴∠EAG＝30°，
即∠EAF的度数为30°．
【点评】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
10．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠2+∠3=90°，再证明∠1=∠3得到∠1+∠2=90°，即∠OCM=90°，然后根据切线的判定定理可得到结论；
（2）利用EG⊥AB得到∠B+∠BFH=90°，利用对顶角相等得到∠4+∠B=90°，而根据切线的性质得到∠5+∠3=90°，从而得到∠4=∠5，然后根据等腰三角形的判定定理可得结论．
【解析】证明：（1）连接OC，如图，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠2+∠3＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠3，
而∠1＝∠B，
∴∠1＝∠3，
∴∠1+∠2＝90°，
即∠OCM＝90°，
∴OC⊥CM，
∴MC是⊙O的切线；
（2）∵EG⊥AB，
∴∠B+∠BFH＝90°，
而∠BFH＝∠4，
∴∠4+∠B＝90°，
∵MD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠5+∠3＝90°，
而∠3＝∠B，
∴∠4＝∠5，
∴△DCF是等腰三角形．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
11．（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角，得到AD⊥BC，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；
（2）连接OD，根据三角形的中位线定理得到OD∥AC，结合DE⊥AC得到OD⊥DE，从而证明结论．
【解析】（1）连AD，

∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，AD⊥BC，
又AB＝AC，
∴D为BC中点，
即DB＝DC；
（2）连OD，
∵D为BC中点，OA＝OB，
∴OD为△ABC中位线，
∴OD∥AC
又∵DE⊥AC于E，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∴DE为圆的切线．
【点评】此题综合运用了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是直角；等腰三角形的性质，即等腰三角形底边上的高也是底边上的中线；三角形的中位线定理以及平行线的性质；切线的判定，即经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线．
注意：构造直径所对的圆周角和连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．
12．（1）详见解析；（2）7.
【分析】（1）欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PD即可；
（2）如图2中，连接AD、BD，作DE⊥CP与E，DF⊥BC于F．只要证明四边形DECF是正方形且边长为7，即可解决问题；
【解析】（1）证明：如图1中，连接OD．

∵∠DCA=∠DCB，

∴OD⊥AB，
∵AB∥PD，
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线．
（2）如图2中，连接AD、BD，作DE⊥CP与E，DF⊥BC于F．

∵AB是直径，
∴∠ECF=∠CED=∠CFD=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵DC平分∠ACB，DE⊥CA，DF⊥CB，
∴DE=DF，
∴四边形DECF是正方形，
∵∵∠DCA=∠DCB，

∴AD=BD，

∴ AE=BF，
∴ CE+CF=AC+AE+CB﹣BF=AC+BC=14，
∴ CE=CF=DE=DF=7，
∴CD=CE=7．
【点评】本题考查切线的判定、正方形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或全等三角形解决问题．
13．(1)证明见解析；(2)BF=.
【分析】（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只要证明AB⊥BF即可．
（2）连接OD，在Rt△ODE中，利用勾股定理求出由△APD∽△ABF，=，由此即可解决问题．
【解析】(1)∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠AFB=∠ADC，
∴CD∥BF，∴∠AFD=∠ABF，
∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∴直线BF是⊙O的切线．
(2)连接OD，∵CD⊥AB，∴PD=0.5CD=，
∵OP=1，∴OD=2，∵∠PAD=∠BAF，∠APO=∠ABF，∴△APD∽△ABF，
∴=，∴=，∴BF=．

【点评】本题考查了切线的判定，解题的关键是熟练的掌握切线的判定.
14．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题意可求AB=CD，∠B=∠ADC，根据圆的内接四边形的性质可得∠D=∠AEB，即∠B=∠AEB，则AE=AB=CD；
（2）连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．由题意可得∠AEF=90°，即可得∠EAF+∠AFE=90°，根据圆周角定理可得∠AFE=∠ACE=∠BAE，即可得∠BAE+∠EAF=90°，则可证直线AB是⊙O的切线．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠ADC，
∵四边形ADCE是⊙O内接四边形，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∵∠AEC+∠AEB=180°，
∴∠ADC=∠AEB，
∴∠B=∠AEB，
∴AE=CD；
（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF，

∵AF是直径，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE+∠EAF=90°，
∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE，
∴∠AFE=∠BAE，
∴∠BAE+∠EAF=90°，
∴∠BAF=90°且AO是半径，
∴直线AB是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，圆周角定理，添加恰当辅助线是本题的关键．
15．（1）证明见解析；（2）BF=4.
【分析】（1）连接AE，根据三角形的性质求出∠AEB=90°，根据切线的判定定理证明即可；
（2）结合图形根据直角三角形的性质求出BF．
【解析】解：（1）连接AE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵∠BAC=2∠4，
∴∠1=∠4，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF与⊙O相切；
（2）∵BC=CF=4，
∴∠F=∠4，
而∠BAC=2∠4，
∴∠BAC=2∠F，
∴∠F=30°，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=4，
∴BF=．

【点评】本题考查了圆周角和勾股定理，解题的关键是掌握它们的性质和方法进行解题.
16．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）首先连接OD，由垂径定理，可求得DE的长，又由勾股定理，可求得半径OD的长，然后由勾股定理求得AD的长；
（2）连接OF、OC，先证明四边形AFCD是菱形，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．
【解析】证明：连接OD，

是的直径，，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得：，
，，
，
在中，；
连接OF、OC，
是切线，
，
，
，
，
四边形FADC是平行四边形，


，
平行四边形FADC是菱形
，
，
，
，
，
即，
即，
点C在上，
是的切线．
【点评】此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
17．（1）证明见解析；（2）
【解析】分析：（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；
（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得，由此构建方程即可解决问题；
解析：（1）如图，连接OD，AD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥FG，
∴直线FG与⊙O相切，即DF是⊙O的切线；
（2）如图，连接BE．∵BD=2，
∴CD＝BD＝2，
∵CF=2，
∴DF==4，
∴BE=2DF=8，
∵cos∠C=cos∠ABC，
∴，
∴，
∴AB=10，
∴AE=，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥GF，
∴△AEB∽△AFG，
∴，
∴，
∴BG=．
点评：本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．（1）证明见解析；（2）BC=，AD=．
【分析】（1）连接OE，由OB=OE知∠OBE=∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE=∠CBE，据此得∠OEB=∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证；
（2）证△BDE∽△BEC得，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC得，据此可得AD的长．
【解析】（1）如图，连接OE，

∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵ED⊥BE，
∴∠BED=∠C=90°，
又∵∠DBE=∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴，即，
∴BC=；
∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴，即，
解得：AD=．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）如图，连接OD，BD，
∵AB是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，
∴∠ADO=∠ABO=90°，
∴AD是半圆O的切线．

（2）由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，
∴∠A=360°–∠ADO–∠ABO–∠BOD=180°–∠BOD=∠DOC，
∵AD是半圆O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠CDE，
∵∠BDO=∠OBD，
∴∠DOC=2∠BDO，
∴∠DOC=2∠CDE，
∴∠A=2∠CDE．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】分析：（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；
（2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；
（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出DG的长即可．
解析：（1）证明：如图，连接OD，

∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC为圆O的切线；
（2）连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，
∴∠FDC=∠DAF，
∴∠CDA=∠CFD，
∴∠AFD=∠ADB，
∵∠BAD=∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴
，即AD2=AB•AF=xy，
则AD=
（3）连接EF，在Rt△BOD中，sinB=，
设圆的半径为r，可得，
解得：r=5，
∴AE=10，AB=18，
∵AE是直径，
∴∠AFE=∠C=90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，
∴sin∠AEF=，
∴AF=AE•sin∠AEF=10×，
∵AF∥OD，
∴，即DG=AD，
∵AD=，
则DG=×=．
点评：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．