甘肃省兰州市2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份甘肃省兰州市2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图是由四块完全相同的正方体木块组成的几何体，其左视图为（ ）
A．B．C．D．
2．一元一次不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．计算：（ ）
A．B．C．1D．x
4．如图，在中，已知，，D为边上一点，且．则（ ）
A．B．C．D．
5．一块含有的直角三角板按如图所示放置，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点A，B，C在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，矩形中，连接，过点D作，交的延长线于点E，若，，则的长为（ ）
A．5B．C．D．
8．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：氨生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（ ）
A．B．C．D．
10．某次物理实验中，小刚将两种不同弹性的小球在相同高度自由下落并记录它们的第一次反弹高度，随后改变起始高度并记录8组数据绘制如下统计图，以下结论正确的是（ ）
A．小球反弹高度与小球的起始高度无关
B．比较两个小球反弹高度的变化情况，小球的弹性大
C．比较每个小球的反弹高度和起始高度，小刚认为反弹高度会超过起始高度
D．当两个小球的起始高度相同时，小球的反弹高度总是小于小球的反弹高度
11．下面的三个问题中都有两个变量：
①含角的直角三角形中，直角三角形的面积y与斜边长x；
②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积y与其中一个正数x；
③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积y与半径x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题
12．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
13．如图，的对角线相交于坐标原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为 ．
14．如图，在正方形中，E是对角线上的一点，，连接．若，则的面积为 ．
15．在数学实践课中，小明提出“任何可以写成的正整数是一个平方数与一个素数的两倍之和，其中n为正整数”的猜想，即：，n为正整数，x为整数，p为素数．例如，当时，可以找到整数，素数，使满足猜想．若整数x在1，2，素数p在3，5中各取一个数，则满足此猜想的概率是 ．
三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．用配方法解方程：．
19．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)一次函数的图象与y轴交于点B，过点B作直线平行于x轴，交反比例函数图象于点C，连接，求的面积．
20．如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状，它的两翼附近生长着梭梭树．建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘（呈对称）两翼端点的水平距离（，沙丘弧顶最高点A到的距离为，边界线与之间为梭梭树生长较茂密地带，且，点C到沙丘左翼端点O的水平距离．
(1)求抛物线状沙丘的表达式：
(2)求梭梭树生长较茂密地带宽度的长．
21．西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？
实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下：
根据上述信息，请你帮助实践小组求出标志物C到桥面的距离．（结果精确到1m）（参考数据：，，）
22．随着人工智能（）技术的不断突破，我国已发展为世界领先的大语言模型，问答在很多领域展现出独特价值．问答方式随着技术的发展而变化，某研究小组将相关数据进行收集、整理、描述和分析，相关信息如下：
信息一：2014—2023年问答演变：
其中，2014—2023这十年间问答演变中“已接受的答案”的数量（单位：千个）分别为：；
信息二：2014—2023年问答演变的统计量如下表：
（以上数据来源于世界经济合作与发展组织）
根据以上信息，解决下列问题：
(1)填空：上表中________；
(2)根据以上信息，下列结论正确的是________；（只填序号）
①2014—2023年，问答演变中“答案”“已接受的答案”的数量都在逐年增加；
②2014—2023年，问答演变中“已接受的答案”的数量比“问题”的数量更稳定；
③2022年问答演变中“问题”的数量与“答案”的数量的差小于2023年问答演变中“问题”的数量与“答案”的数量的差；
④预测2026年问答演变中“问题”的数量在问答演变中数量可能均高于其它两类．
(3)若研究小组成员又计算了2014—2023这十年间连续9年问答演变中“问题”数量的平均数，发现计算的平均数比信息二中的平均数大，你认为该小组有可能去掉的年份是________．
23．综合与实践：数学中的折纸与作图
折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动．
24．如图，内接于，是的直径，过的延长线上一点作于点，交于点，点是的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
25．综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题．
(1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明；
(2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：；
(3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值．
26．在平面直角坐标系中，已知两点，（点，不重合）和另一点，给出如下定义：连接，，如果且，则称点是点，的“等距直角拐点”．例：如图，已知，，，因为且，所以点是点，的“等距直角拐点”．
(1)如图，在点、中，是点，“等距直角拐点”的是_________；
(2)如图，已知直线分别与轴、轴交于，两点，点在线段上．若点是点，的“等距直角拐点”，求的取值范围；
(3)如图，已知点在以为圆心，半径为的圆上，，若在直线上存在点，使点是点，的“等距直角拐点”，直接写出的取值范围．
问题
玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？
工具
皮尺、测领器等测量工具
图形
说明
根据实际问题画出示意图（如上图），为测得玻璃栈桥正下方地面某一标志物C到桥面的距离，小组成员首先借助测倾器在桥面上寻得一观测点A，使得，然后利用皮尺在桥面上寻得离A点的另一观测点B，利用测倾器测量的度数，最后求得标志物C到桥面的距离．
数据
，，．
统计量类别
平均数（千个）
中位数（千个）
方差
问题
119
答案
116
已接受的答案
m
16
探究主题
平行四边形中的折纸与作图
探究素材
如图1，一张平行四边形纸片
折纸过程
如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为．
探究问题
（1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____；
（2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____；
（3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）．
《2025年甘肃省兰州市九年级诊断考试（一模）数学试题》参考答案
1．A
解：左视图为，
故选：A ．
2．B
解：，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
故选：B ．
3．C
解：，
故选：C．
4．D
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
5．D
解：如图，∵
∴，
∴，
∴，
故选：．
6．A
解：∵，
∴所对的优弧的角度：，
∴，
故选：A．
7．C
解：∵矩形，，，
∴，，
∴由勾股定理得，
设，
∴在中：，
∴在中：，
解得：，
∴，
故选：C．
8．D
解：1尺寸，
高9尺就是寸，
所以．
故选：D．
9．B
解：∵直线经过点，
∴关于x的方程的解为，
故选：B．
10．B
解：根据函数图象可得，随着起始高度的增加，小球第一次反弹的高度比小球第一次反弹的高度高，
∴比较两个小球反弹高度的变化情况，小球的弹性大，
故选：B ．
11．C
解：①含角的直角三角形中，
∵斜边长x，
∴较短的直角边的长为，较长的直角边的长为，
∴直角三角形的面积，该函数开口向上，不符合题意；
②设一个正数为，则拆成两个正数中另一个正数为，
则，该函数图象开口向下，符合题意；
③设篱笆的长度为，扇形花园的半径为，
∴扇形的弧长为：，
∴扇形的面积与它的半径之间的函数关系式为：，该函数图象开口向下，符合题意；
故选：C．
12．
解：∵代数式有意义，
∴，
解得，
故答案为：
13．
解：∵点A的坐标为，，
∴C点与A点关于原点对称，
∴，
故答案为：．
14．
解：过点作，
，
∵正方形，，，
∴，，
设，则，，
∴，解得：，
∴的面积：，
故答案为：．
15．
解：∵当时，，
∴，即：，，
∴不是正整数，不满足题意，
当时，
∴，即：，，
∴是正整数，满足题意，
当时，
∴，即：，，
∴不是正整数，不满足题意，
当时，
∴，即：，，
∴不是正整数，不满足题意，
∴满足此猜想的概率是：，
故答案为：．
16．
解：



17．
解：


，
当时， 原式．
18．，
解：移项得，
配方得，即，
两边开方，得，
所以，．
19．(1)反比例函数的表达式：，一次函数的表达式：
(2)
（1）解：∵在反比例函数 的图象上，
∴．
∴反比例函数的表达式：
∵在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式：；
（2）解：∵一次函数的图象交y轴于点 B，
∴，
∴将代入反比例函数的表达式中， 得：

20．(1)该抛物线的表达式为
(2)梭梭树较茂密地带宽度CE的长为
（1）解：由题意知，抛物线的顶点为，
∴可设该抛物线的表达式为
∵抛物线经过点，
∴，
解得：
∴该抛物线的表达式为：
（2）解：∵，
∴点C的横坐标为30．
∴当时，
∴梭梭树较茂密地带宽度的长为 ．
21．标志物C到桥面的距离约为
解： 如图，过点C作于点 D， 设，
在中，
在中，，
，
∵，
∴，解得：，
即标志物C到桥面的距离约为．
22．(1)
(2)②③④
(3)2014
（1）解：∵数据为：，
∴从小到大排序为：，
∴中位数，
故答案为：；
（2）解：∵并不是逐渐减小或增大，
∴2014—2023年，AI问答演变中“答案”“已接受的答案”的数量都在逐年增加是不对的，即①错误，
∵已接受的答案的方差为16，问题的方差为119，
∴②2014—2023年，AI问答演变中“已接受的答案”的数量比“问题”的数量更稳定是正确的，
∵通过条形图可知，2022年AI问答演变中“问题”的数量与“答案”的数量的差：，
2023年AI问答演变中“问题”的数量与“答案”的数量的差：，
∴③正确，
∵通过图表可得，从2014—2023年AI问答演变中“问题”的数量在AI问答演变中数量可能均高于其它两类，
∴预测2026年AI问答演变中“问题”的数量在AI问答演变中数量可能均高于其它两类，
∴④正确，
故答案为：②③④；
（3）解：∵计算的平均数比信息二中的平均数大，
∴去掉的是最小的数值，即2014年的数值，
故答案为：2014．
23．（1）垂直；（2）；（3）见解析
解：（1）∵折叠，点重合，即成轴对称图形，
∴线段与折痕相互垂直，
故答案为：垂直；
（2）∵折叠，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）根据（1），（2）可得，，且平分，
∵折叠，
∴，，
∴，且平分，折痕所在直线，
∴如图所示，
连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，
连接交于点，
以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接，
∴四边形即为四边形关于折痕折叠后的图形．
24．(1)见解析
(2)
（1）证明： 连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵在中， 点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴；
（2）证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G，
，
∵绕点B逆时针旋转得到，
∴．
∵四边形为正方形，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴矩形为正方形．
∴．
∴．
∵四边形为正方形，
，
；
（3）解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接．
，
∴．
∴．
连接交于点，
∴ (两点之间线段最短)．
∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度．
由（2）易得：．
∴，．
∵．
∴．
∴．
过N作于H．
∵，
∴．
∴，
，
．
26．(1)；
(2)；
(3)或．
（1）解：点、、的坐标分别为，，，
，，，
，
又，
，
，
点是点，的“等距直角拐点”；
点、、的坐标分别为，，，
，，，
，
点不是点，的“等距直角拐点”；
故答案为：；
（2）解：如下图所示，
当时，，
点的坐标为，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标为，
点在线段上．若点是点，的“等距直角拐点”，
点在线段以点为中心逆时针或顺时针旋转得到的线段上，
当线段以点为中心逆时针旋转得到线段时，
点的坐标是，点的坐标是，
此时，
当线段以点为中心顺时针旋转得到线段时，
点的坐标是，点的坐标是，
此时，
的取值范围是；
（3）解：如下图所示，
当点绕点逆时针旋转得到点时，
根据题意可知，，
把以点为中心顺时针旋转后，延长与轴交于点，
则，
是等腰直角三角形，
连接，、，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
点的坐标为，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
当点绕点顺时针旋转得到点时，
同理可得：点在以为圆心，为半径的圆上，
点在以或为圆心，为半径的圆上，
如下图所示，
当直线与相切于点，与轴交于点时，连接，
，，，
，
此时，
即；
同理可知，当直线与相切于点时，
；
同理可知，当点绕点顺时针旋转得到点时，，
综上所述，或．