河南省郑州市2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份河南省郑州市2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下表是某一时刻河南四个城市的气温情况，其中气温最低的城市是（ ）
A．郑州B．开封C．洛阳D．濮阳
2．如图是月牙纹彩陶罐，是仰韶村遗址第三次发掘出土的唯一一件完整的彩陶罐，现藏于三门峡庙底沟博物馆．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）

A．主视图和俯视图相同B．左视图和俯视图相同
C．主视图和左视图相同D．三视图各不相同
3．我国低空经济呈现快速增长态势，据中国民航局预计，到2025年，国内低空经济市场规模将达到1.5万亿元．数据“1.5万亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知直线，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．李老师是“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了近10天“健步走”的步数，并将记录结果整理成如下统计表：
李老师这10天平均每天“健步走”的步数为（ ）
A．1.2万步B．11.8万步C．1.18万步D．1.15万步
6．已知一次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
7．如图，点A，B，C在上，，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量（单位：g）分别记为，它们随温度t（单位：）的变化情况如图所示．若，则温度t的范围应控制在（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在矩形中，E，F分别是边，上的点，且，，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．2
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与x轴正半轴重合，将绕点O逆时针旋转，得到，再作，关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O逆时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到……按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转，再作关于原点O的中心对称图形，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．请写出一个函数解析式 ，使它符合条件“当时，y随x的增大而增大” ．
12．2024年11月，“郑州大学生夜骑开封”突然爆火，小郑和小封到达开封后，从清明上河园、万岁山、大相国寺、包公祠中各随机选择一个景点去游玩，则两人选择的景点恰好相同的概率是 ．
13．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则a的取值范围是 ．
14．如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面所成的夹角，把一根长为的竹竿斜靠在石坝上，量得竿长处离地面的高度，又量得竿顶与坝脚的距离，则 ．
15．如图，在矩形中，，，P是的中点，Q为边上的动点，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，在旋转过程中，记点Q的对应点为，则线段长度的最大值是 ，最小值是 ．
三、解答题
16．（1）计算：．
（2）化简：．
17．【项目背景】
山楂是河南省辉县特产，具有色泽鲜红、果实浑圆、酸甜适口的特点．在山楂收获的季节，某班同学前往某村甲、乙两个山楂园开展综合实践活动，在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两个山楂园的山楂质量进行调查统计．
【数据的收集与整理】
从两个山楂园采摘的山楂中各随机选取200个，测量每个山楂的质量记为x（单位：g），并将收集的样本数据进行如下分组：
绘制甲、乙两个山楂园样本数据的频数直方图，信息如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为_________．
(2)乙山楂园样本数据的中位数落在_________组．（填“A”“B”“C”“D”或“E”）
(3)辉县山楂一般分为优质品、合格品、次品三个等级．其中C，D两组的山楂为优质品，B组的山楂为合格品，A，E两组的山楂为次品．试估计哪个山楂园的山楂品质更优，并说明理由．
18．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？
已知：如图，在中，
求证：．
(1)尺规作图：作的平分线交于点D，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：．
19．如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）．
(1)2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？
(2)数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”．
设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？
20．2024年11月15日，郑州市热力公司开启了全市供暖，但由于供暖后室内干燥，因此大多数市民们选择使用室内空气加湿器．某商场根据民众需要，代理销售每台进价分别为220元、180元的A，B两种型号的空气加湿器，如表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A，B两种型号的空气加湿器每台的售价．
(2)若商场准备用不超过5880元的金额再采购这两种型号的空气加湿器共30台，如何购买才可以使商场销售完这30台空气加湿器后获得最大利润？请给出相应的采购方案，并求出最大利润．
21．阅读与思考
下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
完成下列任务：
(1)连接，求证：．
(2)若，求的长．
22．郑州彩虹桥以其独特的造型成为城市地标，三个连续拱形设计雄伟壮观．已知彩虹桥中间拱形的最高点距离桥面，建立如图所示的平面直角坐标系，中间拱形的一端点为坐标原点，另一端点为，拱的形状可以近似看作二次函数图像的一部分．
(1)求彩虹桥中间拱形的二次函数表达式．
(2)一架无人机从原点出发，沿着拱形的轨迹匀速飞行，已知无人机飞行时在水平方向的速度为，同时有一遥控车从原点出发，沿方向以的速度匀速行驶，设运动时间为，问在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得无人机到点O的距离是遥控车到点距离的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
23．综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片，组织同学们进行折纸探究活动．
【动手操作】如图1，将正方形纸片对折，使与重合，展开纸片，得到折痕；过点，折叠纸片，使点落在点处；再沿过点的直线折叠纸片使得与重合，折痕交于点．求知小组的同学们通过观察猜测是的三等分点，并进行证明，过程如下：
（1）请将上述过程补充完整：①__________________；②__________________．
【深入探究】乐学小组尝试了另一种折叠方法，如图2，将正方形纸片对折，使与重合，展开纸片，得到折痕；折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为，交于点．
（2）判断点是否为的三等分点，并说明理由．
【拓展延伸】善思小组继续探究，如图3，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在点处，折痕交边于点；再沿过点的直线折叠，使与重合，折痕交边于点，将沿折叠，得到．
（3）若正方形的边长为，当点落在的边上时，请直接写出的长．
郑州
开封
洛阳
濮阳
每天步数/万步
1.3
1.2
1.1
0.9
天数
3
4
2
1
组别
A
B
C
D
E
x/g
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
2400元
第二周
6台
9台
5100元
实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点D，点O为所在圆的圆心．
小东同学读数时，从点E处俯视点D（点E在上），记录量筒上点E处的高度为．
小华同学记录量筒上点A处的高度为．
设，，则，．
四边形是正方形，，，
由折叠的性质，得，，
，即，，三点在同一条直线上．
在中，，可列方程①__________________，
整理，得②__________________．
，即是的三等分点．
《2025年河南省郑州市中考一模数学试题》参考答案
1．D
解：由，可知气温最低的是濮阳．
故选：D．
2．C
解：由实物图，可知月牙纹彩陶罐的主视图和左视图相同，俯视图与主视图、左视图均不相司，
故选：C．
3．B
解：1.5万亿，
故选：B．
4．C
解：，
，
又，
，
故选：C．
5．C
解：（万步），
故选：C．
6．C
解：可知，
，
故选：C．
7．B
解：，
，
，
故选：B．
8．B
解：由题图，可知时，，
故选：B．
9．A
如图，连接并延长交于点G，连接
．
∵M，N分别是，的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
，
∴，
，即N是CG的中点．
∴是的中位线．
．
∵，，，，
∴，，．
在中
．
，
故选：A．
10．B
解：如图，作轴，轴，垂足分别为，
由题意得，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
如图，与关于原点对称，
，，，，，，，
观察可知点回到点B的位置后从点开始重复点到点的变换规律，
即由点到点为一个变换周期，
，
即点的坐标为，
故选：B．
11．（答案不唯一）
解：由题意知，函数，在时，随着的增大而增大，
故答案为：．
12．
解：记清明上河园、万岁山、大相国寺、包公祠分别为A，B，C，D，画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两人选择的景点恰好相同的结果有4种，
故两人选择的景点恰好相同的概率是．
故答案为：．
13．
解：若点P在第二象限，则，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，即a的取值范围是，
故答案为：．
14．
如解图，过点C作于点F，
，
，
，
则，
即．
．
故答案为：．
15． 2
解：如图，
P是的中点，
，
，
，
当取得最大值时，最大，
如图，
当与重合时，即与重合时，此时取得最大值，
，
在矩形中，，，
四边形是矩形，
，，
，
；
如图，
当点Q与点B重合时最小．
当点Q与点B重合时，
的最小值为．
综上所述，的最大值为，最小值为2．
故答案为：，2．
16．（1）1；（2）
（1）解：

；
（2）解：

．
17．(1)
(2)C
(3)乙山楂园，理由见解析
（1）解：，
甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为．
故答案为：．
（2）解：由样本数据频数直方图可知，乙山楂园样本数据的中位数落在C组．
故答案为：C．
（3）解：乙山楂园的山楂品质更优，理由如下：
由样本数据频数直方图，可知乙山楂园优质品山楂所占比例大于甲山楂园，因此乙山楂园的山楂品质更优（答案不唯一，合理即可）．
18．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如解图，，即为所求．
（2）证明：平分，
．
又，
．
．
，
．
19．(1)91
(2)能够被2整除，理由见解析
（1）解：∵2025年是本世纪的“平方年”（），
∴2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是．
（2）解：能够被2整除．
理由如下：
由题意，得．
能被2整除，
由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除．
20．(1)A型空气加湿器每台的售价为400元，B型空气加湿器每台的售价为300元
(2)当购进12台A型空气加湿器，18台B型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为4320元
（1）解：设A型空气加湿器每台的售价为x元，B型空气加湿器每台的售价为y元．
由题意，得，
解得：，
答：A型空气加湿器每台的售价为400元，B型空气加湿器每台的售价为300元．
（2）解：设购进A型空气加湿器a台，则购进B型空气加湿器台．
由题意，得，
解得：．
设总利润为W元．
由题意，得．
，
W随a的增大而增大．
当时，W有最大值为4320元，此时，．
答：当购进12台A型空气加湿器，18台B型空气加湿器时，可获得最大利润，最大利润为4320元．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接并延长，交于点G，连接，如图所示：
为的切线，
，
，
为的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
（2）解：设，
，
，
，
，
∵，
∴，
由（1），得，
，
，即，
，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
的长为．
22．(1)
(2)存在，
（1）解：由题意可知，二次函数图象的顶点坐标为，
设二次函数表达式为，
把点代入，得，
解得：．
彩虹桥中间拱形的二次函数表达式为；
（2）存在．
如图，无人机所处位置记为点，遥控车所处位置记为点，连接、，过点作轴于点，
无人机水平方向的速度为，遥控车的速度为，
，
又，
四边形为矩形．
，
由题意得：，
，
，
，
设点的坐标为．
，
解得：（舍去），，
当时，无人机到点的距离是遥控车到点距离的倍．
23．（1），；（2）点是的三等分点，理由见解析；（3）的长为或
解：（1）可列方程①：，
②整理方程如下：
，
故答案为：，；
（2）点是的三等分点．
理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，，
设，，则，，，
在中，，即，
整理得：，
，
，
．
，
，
，即．
，
即点G是的三等分点；
（3）四边形是正方形，
，，
分情况讨论：
①如图1，当点落在边上时，
由折叠的性质得：，
，
，
，
；
②如图2，当点落在边上时，
由折叠的性质得：，
；
综上所述，的长为或．