甘肃省兰州市2025届九年级上学期初中学业水平模拟考试（一）数学试卷(含解析)

这是一份甘肃省兰州市2025届九年级上学期初中学业水平模拟考试（一）数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：全卷共120分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列实数是无理数的是（ ）
A B. C. D.
答案：A
解：A、，是无理数，符合题意；
B、，不是无理数，不符合题意；
C、，是分数，不是无理数，不符合题意；
D、，是负整数，不是无理数，不符合题意；
故选：A ．
2. 如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“壁圆象天，琮方象地”的天地思想．下列是该玉琮主视图的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：这个组合体的主视图为，
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
答案：A
解：A. ，计算正确，故选项A符合题意；
B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意；
C. 与不是同类项不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意．
故选：A．
4. 第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是（ ）

A. 9B. 10C. 11D. 12
答案：D
解：依题意，，，
∴
∴
∴这个正多边形的一个外角为，
所以这个多边形的边数为，
故选：D．
5. 如图，四边形内接于，连接，，已知是等边三角形，是的平分线，则（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解∶是等边三角形，
，
是的平分线，
，
，
四边形内接于，
，
，
故选∶C．
6. 将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
∵将直线向右平移个单位后的解析式为，
∴将点代入，得，
解得：，
故选：．
7. 关于的方程（为常数）无实数根，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：A
解：∵a＝1，b＝−2，c＝a，
∴△＝b2−4ac＝（−2）2−4×1×a＝4−4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a＋1）在第一象限，
故选：A．
8. 已知，相似比为：，且的周长为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：∽，相似比为：，
的周长：的周长：，
的周长为，
的周长为．
故选：C．
9. 据《史记》记载，战国时期，齐威王和他的大臣田忌各用上、中、下三匹马比赛，在同等级的马中，齐威王的马比田忌的马跑得快，但每人较高等级的马都比对方较低等级的马跑得快．双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马只赛一次，赢得两局者为胜．如果齐威王首局出上马，田忌首局出下马，则田忌获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：根据题意，首局齐威王胜，
如图，
共有四种等可能的结果，其中田忌获胜有两种，
，
故选B．
10. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而减小
答案：D
解：由抛物线，可知：
，抛物线开口向上，因此A选项正确；
抛物线的对称轴为直线，因此B选项正确；
当时，y的值最小，最小值是2，所以抛物线的顶点坐标是，因此C选项正确；
因为，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，因此时，y随x的增大而增大，因此D选项错误；
故选D．
11. 如图1，汉代初期《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即如图2，“反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角”．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：，
，
，
即，
，
，
故选：B．
12. 如图1，在等腰中，，动点从点A出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为与之间关系的图象如图2所示，则的长是（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解：设．
①当点在上运动，即时，由题意知：
，
，
∵在等腰中，，
，
，
∴，
，其函数图象为抛物线对称轴（轴）右侧的一部分；
②当点运动到点时，点恰好运动到点，如图，

当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，，
，
由图2知，当时，，
，
解得，（舍去），
的长是．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 分解因式： ________．
答案：
解：，
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点．若，则的
长为_____．
答案：
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 传送带是一种传送工具，可以运输各种形状物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为，如果该转动轮转动了两周后又转过，那么传送带上的物体被传送的距离为（物体A始终在传送带上）__．
答案：##
解∶传送带上的物体A被传送的距离为
故答案为：．
16. 随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
下面有3个推断：
①抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．
其中所有合理推断的序号是______．
答案：②③##③②
解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.511，但“正面向上”的概率不一定是0.511，本小题推断不合理；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本小题推断合理；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本小题推断合理；
故答案为：②③．
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
答案：
18. 解不等式组：．
答案：
解：
解不等式①得：，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
19. 先化简，再求值：，取你喜欢的整数x代入求值．
答案：；当时，原式（答案不唯一）
解：


，
由以上步骤可知，x不等于0，，2，．
当时，原式．（答案不唯一）
20. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且．
抛掷次数
500
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
“正面向上”的次数
260
511
793
1036
1306
1558
2083
2598
“正面向上”的频率
0.520
0.511
0.529
0.518
0.522
0.519
0.521
0.520
（1）求，的值；
（2）连接，求的面积．
答案：（1）；6
（2）
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，．
又∵正比例函数的图象经过点，
，解得，
，．
【小问2详解】
解：如解图，过点B作于点H．
由（1）可知，正比例函数的表达式为x，
反比例函数的表达式为．
∵点C在正比例函数的图象上，且轴，，
∴点C的纵坐标为6．
对于，当时，，
∴点C的坐标为，
，点A的横坐标为4．
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点A的坐标为，
，
，，
．
21. 如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
答案：（1）正方形；理由见解析
（2）1
【小问1详解】
解：四边形为正方形．理由如下：
四边形为矩形，
．
，
，
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，
．
四边形为正方形．
【小问2详解】
解∶∵四边形为正方形，，
．
，
．
∵是的平分线，
．
在和中，
，
．
22. 如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图
．
（1）求表示该抛物线的函数表达式：
（2）若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．
答案：（1）抛物线函数表达式为或
（2）m
【小问1详解】
解：由于点为抛物线的顶点，
因此可设该抛物线的函数表达式为，
由题意得，该抛物线经过点，可得，
解得，
∴该抛物线函数表达式为或．
【小问2详解】
当时，，解得．
答：柱形喷水装置的高度为m．
23. 【观察发现】折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以由作一对对应点连线段的垂直平分线得到，如图1，在中，，①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于两点，作直线，交于点，交于点；③连接．
【操作体验】（1）根据“观察发现”中的步骤，用尺规作图；
【推理论证】（2）在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与BC边交于点，连．小亮根据上面步骤得出，请你补全括号里的证明依据；
证明：
（ 依据1 ）
（ 依据2 ）
【拓展探究】（3）对称的性质在日常生活中也有重要的应用．如图3，某地有两个村庄和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库（在内），希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该仓库P．（保留作图痕迹，不写作法）
答案：（1）见解析；（2）垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换；（3）见解析
（1）解：如图，所示即为所求，
；
（2）证明：
（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
（等量代换），
故答案为：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换；
（3）解：如图所示，即为所求，
24. 中华人民共和国2019－2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．
（以上数据引自《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》）
根据以上信息回答下列问题：
（1）2019－2023年全国居民人均可支配收入的中位数为 ．
（2）下列结论正确的是 ．（填序号）
①2019－2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势；
②2019－2023年全国居民人均可支配收入实际年增长速度先下降后上升；
③2019－2023年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年，因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．
（3）2019－2023年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？
答案：（1）35128
（2）① （3）8485元
【小问1详解】
解：2019－2023年全国居民人均可支配收入的量依次为：30733，32189,35128,36883,39218，
∴中位数为：35128，
故答案为：35128；
【小问2详解】
解：①2019－2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势，正确，符合题意；
②2019－2023年全国居民人均可支配收入实际年增长速度先下降后上升，再下降，再上升，故原结论错误，不符合题意；
③2019－2020年：，2010－2021年：，2011－2022年：，2012－2023年：，
∴2019－2023年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年，因此这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故原结论错误，不符合题意；
故答案为：①；
【小问3详解】
解：收入最高的一年为2023年的为39218元，最低的一年为2019年的为30733元，
∴（元），
答：收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．
25. 甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点两处分别测得木塔顶端的仰角的度数（，，在同一条直线上），再测得两点之间的距离．
数据收集：测角仪，测得．
问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）．
参考数据：，，，，，．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
答案：甘州木塔的高度约为．
解：由题意得，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
设的长为，则
在中，，
，
在中，，
，
∴
解得，
，
∴，
甘州木塔的高度约为．
26. 如图，已知内接于，是的直径，过点作的切线，与的延长线交于点，且，已知是左侧圆周上的一点，连接．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）当是的中点时，求的值．
答案：（1）等腰直角三角形；理由见解析
（2）
【小问1详解】
解：是等腰直角三角形．理由如下：
∵是的直径，
∴．
∵，
∴垂直平分，
∴．
∵与相切于点，为的半径，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【小问2详解】
如解图，连接，设与交于点F．
∵是的中点，
∴，∴，
∴，
∴，
∴．
令，则，
∴，
∴．
27. 综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
（2）【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．
答案：（1）；理由见解析
（2）；理由见解析
（3）；理由见解析
【小问1详解】
解：．理由如下：
由旋转的性质，可知，，，，
∴，
∴E，B，C三线共线．
∵，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：．理由如下：
如图，在上取，连接．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
【小问3详解】
解：．理由如下：
如图，将绕点A逆时针旋转得，
∴．
∵，
∴，
∴E，D，C三点共线．
由（1）同理可得，
∴．
28. 在平面直角坐标系中，对于线段和点C，若是以为一条直角边，且满足的直角三角形，则称点C为线段的“从属点”．
已知点A的坐标为．
（1）如图1，若点B为，在点，，，中，线段AB的“从属点”是___________；
（2）如图2，若点B为，点P在直线上，且点P为线段的“从属点”，求点P的坐标；
（3）点B为x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段上恰有2个线段的“从属点”，直接写出b的取值范围．
答案：（1），
（2）或
（3）或
【小问1详解】
解：，则，且为直角三角形，故是线段的“从属点”；
，则，且为直角三角形，故是线段的“从属点”；
，则不是直角边，故不是线段的“从属点”；
，则，故不是线段的“从属点”；
综上：线段AB的“从属点”是，
【小问2详解】
解：设点P的坐标为，
点P为线段AB的“从属点”，
①时，由题意可知：，
为等腰直角三角形，
，∴，
过点P作轴，垂足为F，交y轴于点E，
可知和为等腰直角三角形，
，，，
则，解得：，点P的坐标为，此时；
②时，过点P作轴，垂足为G，交x轴于点H，
同理可知：，
和为等腰直角三角形，
，，，
则，解得：，
点P的坐标为，此时；
综上，点P的坐标为：或
【小问3详解】
解：如图，
由“从属点”的定义可知：线段的从属点在射线，，上，
当时，当点B和原点重合时，若要满足线段上恰有2个线段的“从属点”，则点C在线段上
此时点，代入，得：
从而当时，总能找到点B，满足条件，
故
当时，若要满足线段上恰有2个线段的“从属点”，
如图，当点E和M重合时，
为等腰直角三角形
可得：，即，代入，得：
而当时，四条射线、、、无法与线段产生两个交点，
从而当时，总能找到点B，满足条件，
故
综上，b的取值范围是：或