高一升高二数学暑假预习课16讲第三章 圆锥曲线的方程检测卷（解析版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第三章 圆锥曲线的方程检测卷（解析版），共19页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc12418" 第三章 圆锥曲线的方程全章综合检测卷 PAGEREF _Tc12418 \h 1
\l "_Tc1190" 参考答案与试题解析 PAGEREF _Tc1190 \h 1
\l "_Tc22931" 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） PAGEREF _Tc22931 \h 2
\l "_Tc9453" 二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） PAGEREF _Tc9453 \h 7
\l "_Tc27112" 三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） PAGEREF _Tc27112 \h 11
\l "_Tc21904" 四、解答题（共6小题，满分70分） PAGEREF _Tc21904 \h 13
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（23-24高二上·陕西榆林·期中）双曲线y23−x26=1的焦点坐标为（ ）
A．±3,0B．0,±3C．±3,0D．(0,±3)
【解题思路】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【解答过程】由双曲线y23−x26=1，可得a=3,b=6，则c=a2+b2=3，
且双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的焦点坐标为(0,±3).
故选：D.
2．（5分）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为12，且过点2,0的椭圆方程是（ ）
A．x24+y23=1B．x24+y2=1或x2+y24=1
C．x24+3y216=1D．x24+y23=1或x24+3y216=1
【解题思路】由于不知道焦点在哪个轴上，所以需要分类讨论.
【解答过程】当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
由离心率为12，可得b2=a2−c2=34a2.
∵椭圆过点2,0∴a=2，b=3，∴椭圆的标准方程为x24+y23=1；
当椭圆的焦点在y轴上时，b=2，b2=34a2，得a=433，
可得椭圆C的标准方程为y2163+x24=1，整理为3y216+x24=1.
故选：D.
3．（5分）（23-24高二上·福建厦门·期中）已知抛物线x2=4y的焦点为F，点B1,3，若点A为抛物线上任意一点，当AB+AF取最小值时，点A的坐标为（ ）
A．(1,4)B．(4,1)C．14,1D．1,14
【解题思路】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求AB+AD取得最小值，数形结合求解即可.
【解答过程】抛物线x2=4y的焦点为F0,1，准线为y=−1，
设点A在准线上的射影为D，如图，

则根据抛物线的定义可知|AF|=|AD|，
求AB+AF的最小值，即求AB+AD的最小值，
显然当B，A，D三点共线时AB+AD取得最小值，
此时A点的横坐标为1，则12=4y，解得y=14，即A1,14.
故选：D.
4．（5分）（22-23高三下·全国·阶段练习）已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点，点P在椭圆上，PF1⊥PF2，且|PF1|=2b，则椭圆的离心率为（ ）
A．35B．53C．56D．36
【解题思路】根据PF1⊥PF2，得到2b2+2a−2b2=4c2，求解即可.
【解答过程】因为|PF1|=2b，所以|PF2|=2a−|PF1|=2a−2b，
因为PF1⊥PF2，在Rt△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
即2b2+2a−2b2=4c2，
又c2=a2−b2，所以b2+a2+b2−2ab=a2−b2，
所以3b2=2ab，即ba=23，
解得e=ca=a2−b2a2=1−b2a2=53，
故选：B.
5．（5分）（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为40cm，最大直径为60cm，双曲线的离心率为6，则该花瓶的高为（ ）

A．90cmB．100cmC．110cmD．120cm
【解题思路】由a,b,c关系以及离心率、a=20可得双曲线方程，进一步代入x=30即可求解.
【解答过程】由该花瓶横截面圆的最小直径为40cm，有a=20，
又由双曲线的离心率为6，有c=206,b=205，
可得双曲线的方程为x2400−y22000=1，代入x=30，可得y=±50，故该花瓶的高为100cm.
故选：B.
6．（5分）（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知A,B为双曲线x2−y29=1上两点，且线段AB的中点坐标为−1,−4，则直线AB的斜率为（ ）
A．32B．94C．−94D．−32
【解题思路】设出A(x1,y1),B(x2,y2)，利用点差法即可求出结果.
【解答过程】设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x12−y129=1，x22−y229=1，
两式相减得到(x1−x2)(x1+x2)−19(y1−y2)(y1+y2)=0，
又线段AB的中点坐标为−1,−4，
所以(x1−x2)(−2)−19(y1−y2)(−8)=0，得到y2−y1x2−x1=94，
所以AB的斜率为94.
故选：B.
7．（5分）（23-24高二上·福建泉州·期末）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点A−32p,0，点M在抛物线上，且满足MA=3MF，若△MAF的面积为123，则p的值为（ ）
A．23B．4C．22D．9
【解题思路】利用两点间距离公式，通过解方程组、三角形面积公式进行求解即可.
【解答过程】由y2=2px⇒Fp2,0，根据抛物线的对称性，设Mx,yx>0,y>0，
因为MA=3MF，
所以x+32p2+y2=3×x−12p2+y2⇒x2−3px+y2−34p2=0，
而点M在抛物线上，所以y2=2px，
则有x2−3px+2px−34p2=0⇒x=32p，或x=−12p舍去，
即y2=2p⋅32p⇒y=3p，y=−3p，
又因为△MAF的面积为123，
所以有12×12p−−32p⋅3p=123⇒p=23，p=−23舍去.
故选：A.
8．（5分）（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于点A,B两点，若△F1AB面积是△F2AB的2倍，则m=（ ）
A．23B．22C．−23D．−23
【解题思路】由三角形的面积关系得出|MF1|=2|MF2|并用含m的关系式表示，再由直曲联立判别式大于零得出m的取值范围即可.
【解答过程】设直线y=x+m与x轴的交点为M，则M−m,0.
所以S△F1AB=12|MF1||yA−yB|，S△F2AB=12|MF2||yA−yB|.
因为S△F1AB=2S△F2AB,所以|MF1|=2|MF2|.
由x23+y2=1得c=2，即F1−2,0,F22,0 ，|F1F2|=22.
所以|−2+m|=2|2+m|，解得 m=−23或−32.
因为y=x+m与C有两个交点，
联立y=x+mx23+y2=1 消y得4x2+6mx+3m2−3=0，
则Δ=36m2−16(3m2−3)>0,解得m20，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线交两条渐近线于点A，B，且AF1=3AB．若点A在x轴上的射影为M，则S△AF1MS△BF1F2= 1516 ．
【解题思路】画出图形，数形结合，由已知条件和双曲线的几何性质运算求解即可.
【解答过程】如图所示，

设直线AB交y轴于点C，
则S△AF1MS△BF1F2=12F1M⋅yA12F1F2⋅yB=F1MF1F2⋅AF1BF1=32⋅F1MF1F2=34⋅F1MF1O=34⋅F1AF1C．
∵双曲线E的渐近线方程为y=±bax，
∴xAxB=yAyB=AF1BF1=32，∴|AC||BC|=xAxB=32．
不妨设BF1=2，AF1=3，则|AB|=1，则|AC|=35，|BC|=25，F1C=125，
∴F1AF1C=54，∴S△AF1MS△BF1F2=34⋅F1AF1C=1516．
故答案为：1516.
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2024高二上·江苏·专题练习）求满足下列条件的参数的值．
(1)已知双曲线方程为2x2−y2=k,焦距为6，求k的值；
(2)椭圆x24+y2a2=1与双曲线x2a−y22=1有相同的焦点，求a的值．
【解题思路】
（1）分焦点位置进行讨论即可.
（2）根据椭圆和双曲线的方程判断焦点的位置，求出焦点坐标，从而求出参数.
【解答过程】
（1）若焦点在x轴上，则方程可化为x2k2−y2k=1，所以k2+k=32，即k=6；
若焦点在y轴上，则方程可化为y2−k−x2−k2=1，所以−k2+−k=32，即k=−6．
综上所述，k的值为6或−6．
（2）由双曲线方程知焦点在x轴上且c2=a+2a>0．
由椭圆方程，知c2=4−a2，所以a+2=4−a2，
即a2+a−2=0，解得a=1或a=−2(舍去)．
因此a的值为1．
18．（12分）（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知点P到F0,4的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB中点的横坐标为−4，求l的斜率.
【解题思路】
（1）根据两点间距离公式，结合绝对值的性质进行求解即可；
（2）利用点差法进行求解即可.
【解答过程】
（1）设Px,y，由题意可知：PF−y=4⇒x2+y−42=4+y，
两边同时平方，
得x2+y2−8y+16=16+y2+8y⇒x2=8y+8y⇒x2=16y,y≥00,y0，
即k2−4k+2>0，解得k>2+2或k2+2或k0恒成立.
由韦达定理可得，y1y2=y127−4x1，
所以y2=y17−4x1，x2=x1−2y1⋅y17−4x1+2=12−7x17−4x1，B12−7x17−4x1,y17−4x1.
根据已知可知，y1>0,y2b>0)，离心率为32，点3,12在椭圆上．
(1)求E的方程；
(2)过K−1,0作互相垂直的两条直线l1与l2，设l1交E于A，B两点，l2交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．探究：△OMN与△KMN的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【解题思路】
（1）由椭圆的几何性质求解；
（2）设直线AB:x=my−1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，设CD:x=−1my−1，求出点M−4m2+4,mm2+4及N−4m24m2+1,−m4m2+1，得到直线MN恒过定点T−45,0，即可求解.
【解答过程】
（1）由题意ca=32，3a2+14b2=1，解得a=2，b=1，
则E的方程x24+y2=1.
（2）△OMN与△KMN面积之比为定值，定值为4，理由如下：
设直线AB:x=my−1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
讨论：①当m≠0，且m≠±1时，
联立x=my−1x24+y2=1，可得m2+4y2−2my−3=0，
Δ=16m2+48>0，则y1+y2=2mm2+4，
所以yM=y1+y22=mm2+4，xM=myM−1=m⋅mm2+4−1=−4m2+4，
所以M−4m2+4,mm2+4，
设CD:x=−1my−1，同理可得N−4m24m2+1,−m4m2+1．
所以kMN=−m4m2+1−mm2+4−4m24m2+1+4m2+4=54mm2−1（m≠0，且m≠±1），
所以直线MN:y−mm2+4=54mm2−1x+4m2+4，即y=mm2−154x+1，
所以直线MN恒过定点T−45,0；
②当m=±1时，不妨设直线l1:y=x+1；l2:y=−x−1，可发现MN⊥x轴，且MN过T−45,0，
③当m=0时，直线MN依然过T−45,0，但无法形成三角形.
综上，直线MN恒过点T−45,0，
设点O，K到直线MN的距离分别是d1,d2，S△OMNS△KMN=12MN×d112MN×d2=d1d2=OTKT=45:15=4.