高一升高二数学暑假预习课16讲第04讲 空间向量及其运算的坐标表示与6考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第04讲 空间向量及其运算的坐标表示与6考点精讲（学生版），共11页。
\l "_Tc32362" 一、 空间直角坐标系 PAGEREF _Tc32362 \h 2
\l "_Tc22197" 基础知识 PAGEREF _Tc22197 \h 2
\l "_Tc5089" 考点1 求空间点坐标 PAGEREF _Tc5089 \h 2
\l "_Tc31010" 二、 空间向量的坐标运算 PAGEREF _Tc31010 \h 4
\l "_Tc26182" 基础知识 PAGEREF _Tc26182 \h 4
\l "_Tc11925" 考点2 空间向量运算的坐标表示 PAGEREF _Tc11925 \h 4
\l "_Tc13093" 考点3 空间向量数量积运算的坐标表示 PAGEREF _Tc13093 \h 5
\l "_Tc9965" 三、 由空间向量的坐标运算求解相关几何问题 PAGEREF _Tc9965 \h 6
\l "_Tc14687" 基础知识 PAGEREF _Tc14687 \h 6
\l "_Tc8725" 考点4 空间向量模长的坐标运算 PAGEREF _Tc8725 \h 6
\l "_Tc2940" 考点5 空间向量夹角的坐标运算 PAGEREF _Tc2940 \h 7
\l "_Tc6559" 考点6 空间向量平行、垂直的坐标运算 PAGEREF _Tc6559 \h 8
\l "_Tc12643" 四、 课后作业 PAGEREF _Tc12643 \h 9
\l "_Tc0" 单选题 PAGEREF _Tc0 \h 9
\l "_Tc32025" 多选题 PAGEREF _Tc32025 \h 10
\l "_Tc2799" 填空题 PAGEREF _Tc2799 \h 10
\l "_Tc21046" 解答题 PAGEREF _Tc21046 \h 10
一、 空间直角坐标系
基础知识
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
考点1 求空间点坐标
【例1.1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）在空间直角坐标系中，点A2,1,1关于yOz平面对称的点的坐标为（ ）
A．(−2,1,1)B．(2,−1,1)C．(2,1,−1)D．(2,−1,−1)
【例1.2】（23-24高二上·安徽黄山·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点M(3,4,−2)在坐标平面Oyz内的射影是点N，则点N的坐标为（ ）
A．(0,−4,2)B．(3,4,0)C．(0,4,−2)D．(−3,0,2)
【变式1.1】（23-24高二上·北京顺义·期末）在空间直角坐标系O−xyz中，已知点A2,−3,0，若向量AB=1,2,−3，则点B的坐标是（ ）
A．−3,1,3B．1,−5,3C．3,−1,−3D．−1,5,3
【变式1.2】（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）在空间直角坐标系中，点P1,2,3在x轴上的射影和在xOz平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（ ）
A．(0,2,3),(1,2,0)B．(1,0,0),(1,2,0)
C．(0,2,3),(1,0,3)D．(1,0,0),(1,0,3)
二、 空间向量的坐标运算
基础知识
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
考点2 空间向量运算的坐标表示
【例1.1】（23-24高二上·天津·期末）已知空间向量a=1,2,−3，b=2,−1,1，则a−2b=（ ）
A．−3,4,−5B．5,0,−5
C．3,1,−2D．−1,3,−4
【例1.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知a=1,−2,1，a−b=−1,2,−1，则b等于（ ）
A．2,−4,2B．−2,4,−2C．−2,0,−2D．2,1,−3
【变式1.1】（23-24高二上·北京·期中）已知点A−2,3,0，B1,3,2 ，AP=2AB，则点P的坐标为（ ）
A．4,3,4B．−4,−1,−4
C．−1,6,2D．−5,3,−2
【变式1.2】（23-24高三·甘肃武威·单元测试）已知向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,则c=（ ）
A．0,3,−6B．0,6,−20C．0,6,−6D．6,6,−6
考点3 空间向量数量积运算的坐标表示
【例2.1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知向量a=1,−1,−2,b=1,−3,−3，则a⋅b=（ ）
A．1,3,6B．−3C．4D．10
【例2.2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知向量a=x,1,−1，b=2,1,x，若a⋅b=2，则实数x等于（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【变式2.1】（23-24高二上·河北·阶段练习）若a=−1,2,−1，b=1,3,−2，则a+b⋅a−2b=（ ）
A．22B．−22C．−29D．29
【变式2.2】（23-24高二上·北京顺义·期末）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则AP⋅AO的值为（ ）
A．4B．22C．2D．不确定

三、 由空间向量的坐标运算求解相关几何问题
基础知识
1．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
2．空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得．
考点4 空间向量模长的坐标运算
【例1.1】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量a=1,n,2，b=−2,1,2，若2a−b与b垂直，则a等于（ ）
A．532B．352
C．372D．212
【例1.2】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知AB=1,2,3，AC=a,b,b−2，若点A,B,C共线，则BC=（ ）
A．14B．214C．314D．914
【变式1.1】 （23-24高二上·江西·期中）已知O是坐标原点，空间向量OA=1,1,2,OB=−1,3,4,OC=2,4,4，若线段AB的中点为D，则CD=（ ）
A．92B．8C．3D．2
【变式1.2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，点P为棱AC的中点，E,F分别为直线DP,AB上的动点，则线段EF的最小值为（ ）

A．24B．22C．104D．52
考点5 空间向量夹角的坐标运算
【例2.1】（23-24高二上·新疆和田·期末）已知空间向量a=3,0,1,b=−2,1,−4，则向量a与b的夹角的余弦值为（ ）
A．21021B．−21021C．721D．−721
【例2.2】 （23-24高二上·湖北黄石·期中）已知向量a=1,2,3，b=−2,−4,−6，c=14，若a+b⋅c=7，则a与c的夹角为（ ）
A．30°B．60°
C．120°D．150°
【变式2.1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量a=(1,−2,x)与b=(−1,2,3)的夹角为锐角，则x的取值范围是（ ）
A．−3