初中数学青岛版（2024）八年级下册特殊的平行四边形第4课时课时练习

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[基础梳理]
1.如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线BD上的点,AB=BF=DE,则∠EAF的度数为( ).
A.22.5° B.30° C.45° D.67.5°

（第1题） （第2题）
2.如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,连接DE、BE、BF、DF.下列结论:①△ABE≌△ADE;②∠ABE=∠CBF;③四边形DEBF是菱形,其中正确的个数为( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
3. 如图,数学课上老师给出了以下四个条件:a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.有三位同学给出了不同的组合方式:①a, c, d;②b, c, d;③a, b, c.你认为能得到正方形的是________.(填序号)

（第3题） （第4题）
4.已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
[综合拓展]
5. 问题解决:如图①,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.
类比迁移:如图②,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=7,BF=2,求DE的长.

（第5题）
[参考答案]
C
D
①②
问题解决:(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以∠DAE=∠ABF=90°,
所以∠BAF+∠DAF=90°.
因为DE⊥AF,所以∠AGD=90°,
所以∠ADE+∠DAF=90°,所以∠ADE=∠BAF.
又DE=AF,所以△ADE≌△BAF(AAS)，
所以AD=BA,所以矩形ABCD是正方形.
(2)△AHF是等腰三角形.理由如下:
由(1)得△ADE≌△BAF,所以AE=BF.
因为BH=AE,所以BF=BH.因为∠ABC=90°,即AB⊥BC,
所以AB垂直平分FH,所以AH=AF,
所以△AHF是等腰三角形.
类比迁移:延长CB到点H,使得BH=AE,连接AH,如图.
因为四边形ABCD是菱形,
所以AD∥BC,AB=AD,所以∠ABH=∠BAD.
又BH=AE,所以△DAE≌△ABH(SAS),
所以DE=AH,∠AHB=∠DEA=60°.
因为DE=AF,所以AH=AF,
所以△AHF是等边三角形,
所以AH=HF=BH+BF=AE+BF=7+2=9,
所以DE=AH=9.
（第5题）