2025年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（全国新课标Ⅰ卷）（无答案）

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注意事项:
1. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动,请用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。作答非选择题, 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
4. 本试卷共 4 页, 满分 150 分, 考试时间为 120 分钟。考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分. 每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 1+5ii 的虚部为
A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
2. 设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={1,3,5} ,则 ∁UA 中元素个数为
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
3. 若双曲线 C 的虚轴长为实轴长的 7 倍,则 C 的离心率为
A. 2 B. 2 C. 7 D. 22
4. 若点 a,0a>0 是函数 y=2tanx−π3 的图象的一个对称中心,则 a 的最小值为
A. 30∘ B. 60° C. 90° D. 135∘
5. 设 fx 是定义在 R 上且周期为 2 的偶函数,当 2≤x≤3 时, fx=5−2x ,则 f−34=
A. −12 B. −14 C. 14 D. 12
6. 帆船运动员借助风力驾驶帆船,
7. 若圆 x2+y+22=r2r>0 上到直线 y=3x+2 的距离为 1 的点有且仅有 2 哥,则 r 的取值范围是
A.(0,1) B.(1,3) C. 3,+∞ D. 0,+∞
8. 若实数 x,y,z 满足 2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z ,则 x,y,z 的大小关系不可能是
A. x>y>z B. x>z>y C. y>x>z D. y>z>x
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
9. 在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中, D 为 BC 中点,则
A. AD⊥A1C B. B1C⊥ 平面 AA1D
C. CC1// 平面 AA!D D. AD//A1B1
10. 设抛物线 C:y2=6x 的焦点为 F ,过 F 的直线交 C 于 A、B ,过 F 且垂直于 AB 的直线交 l:y=−32x 于 E ,则
A. AD=AF B. AE=AB
C. AB≥6 D. AE⋅BE≥18
11. 已知 △ABC 的面积为 14 ,若 cs2A+cs2B+cs2C=2,csAcsBsinC=14 ,则
A. sinC=sin2A+sin2B B. AB=2
C. sinA+sinB=62 D. AC2+BC2=3
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12. 若直线 y=2x+5 是曲线 y=ex+x+a 的切线,则 a= _____.
13. 若一个等比数列的前 4 项和为 4 , 前 8 项和为 68 ,则该等比数列的公比为_____.
14. 一个箱子里有 5 个球,分别以 1∼5 标号,若有放回取三次,记至少取出一次的球的个数 X ,则 EX= _____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分)
16.(15 分)
设数列 an 满足 an+1n=ann+1+1nn+1 .
(1)证明: nan 为等差数列；
(2)设 fx=a1x+a2x2+⋯+amxm ,求 f′2 .
17.(15 分)
如图所示的四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD , BC//AD,AB⊥AD .

(1)证明:平面 PAB⊥ 平面 PAD ；
(2)若 PA=AB=2,AD=3+1,BC=2,P,B,C,D 在同一个球面上,设该球面的球心为 O .
(i)证明: O 在平面 ABCD 上；
(ii) 求直线 AC 与直线 PO 所成角的余弦值.
18.(17 分)
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 ,记 A 为椭圆下端点, B 为右端点, AB=10 ,且椭圆 C 的离心率为 223 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2) 设点 Pm,n .
( i ) 若 P 不在 y 轴上,设 R 是射线 AP 上一点, AR⋅AP=3 ,用 m,n 表示点 R 的坐标;
(ii) 设直线 OQ 的斜率为 k1 ,直线 OP 的斜率为 k2 ,若 k1=3k2,M 为椭圆上一点,求 PM 的最大值.
19.(17 分)
设函数 fx=5csx−cs5x .
(1)求 fx 在 0,π4 的最大值；
(2)给定 θ∈0,π , a 为给定实数,证明:存在 y∈a−θ,a+θ ,使得 csy≤csθ ；
(3)若存在 φ ,使得对任意 x ,都有 5csx−cs5x+φ≤b ,求 b 的最小值.