2025年全国普通高校招生全国统一考试数学试卷（新高考Ⅰ卷）(含答案）

这是一份2025年全国普通高校招生全国统一考试数学试卷（新高考Ⅰ卷）(含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(1+5i)i的虚部为( )
A. −1B. 0C. 1D. 6
2.设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1,3,5}，则∁ UA中元素个数为( )
A. 0B. 3C. 5D. 8
3.已知双曲线C的虚轴长为实轴长的 7倍，则C的离心率为( )
A. 2B. 2C. 7D. 2 2
4.已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x−π3)的图象的一个对称中心，则a的最小值为( )
A. π6B. π3C. π2D. 4π3
5.已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5−2x，则f(−34)=( )
A. −12B. −14C. 14D. 12
6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同，单位：m/s)，则真风为( )
图1 图2
A. 轻风B. 微风C. 和风D. 劲风
7.已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y= 3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是( )
A. (0,1)B. (1,3)C. (3,+∞)D. (0,+∞)
8.已知实数x，y，z满足2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z，则x，y，z的大小关系不可能是( )
A. x>y>zB. x>z>yC. y>x>zD. y>z>x
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为BC中点，则( )
A. AD⊥A1CB. BC⊥平面AA1D
C. AD//A1B1D. CC1//平面AA1D
10.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l:x=−32的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则( )
A. |AD|=|AF|B. |AE|=|AB|C. |AB|≥6D. |AE|⋅|BE|≥18
11.已知△ABC的面积为14，若cs2A+cs2B+2sinC=2，csAcsBsinC=14，则( )
A. sinC=sin2A+sin2BB. AB= 2
C. sinA+sinB= 62D. AC2+BC2=3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a= ．
13.若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 ．
14.有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值;
(2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
16.(本小题15分)
已知数列an中，a1=3，an+1n=ann+1+1n(n+1)．
(1)证明：数列{nan}为等差数列;
(2)给定正整数m，设函数f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxm，求f′(−2)．
17.(本小题15分)
如图所示的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC//AD，AB⊥AD．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=AB= 2，AD= 3+1，BC=2，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O
(i)证明：O在平面ABCD上;
(ii)求直线AC与直线PO所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2 23，下顶点为A，右顶点为B，|AB|= 10．
(1)求C的方程;
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|⋅|AP|=3．
(i)设P(m,n)，求点R的坐标(用m，n表示);
(ii)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值．
19.(本小题17分)
设函数f(x)=5csx−cs5x．
(1)求f(x)在[0,π4]的最大值;
(2)给定θ∈(0,π)，设a为实数，证明：存在y∈[a−θ,a+θ]，使得csy≤csθ;
(3)若存在φ使得对任意x，都有5csx−cs(5x+φ)≤b，求b的最小值．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.A
6.A
7.B
8.B
9.BD
10.ACD
11.ABC
12.4
13.2
14.6125
15.解：(1)由题可知，超声波检查结果不正常者有200人，这200人中患该疾病的有180人，
则p=180200=910
(2)零假设为H0:超声波检查结果与是否患该疾病无关
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2=1000(20×20−180×780)2800×200×200×800≈765.625>10.828
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
16.解：(1)已知an+1n=ann+1+1n(n+1)，两边同时乘以n(n+1)，
得(n+1)an+1=nan+1，即(n+1)an+1−nan=1，
又a1=3，
所以{nan}是以3为首项，公差为1的等差数列．
(2)因为f(x)=a1x+a2x2+a3x3+……+amxm,所以f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+……+mamxm−1，f′(−2)=a1+2a2·(−2)+3a3·(−2)2+……+mam·(−2)m−1，
由(1)可知，{nan}是公差为1的等差数列，
所以f ′(−2)=a1·(−2)0+2a2·(−2)1+……+mam·(−2)m−1,①
则−2·f′(−2)=a1·(−2)1+2a2·(−2)2+……+(m−1)am−1·(−2)m−1−mam·(−2)m,②
由①−②得
3f′(−2)=a1+(2a2−a1)·(−2)1+(3a3−2a2)·(−2)2+
……+[mam−(m−1)am−1]·(−2)m−1−mam·(−2)m
由(1)知，{nan}首项为3，公差为1，
即3f′(−2)=a1+(−2)1+(−2)2+……+(−2)m−1−mam·(−2)m
=a1−mam·(−2)m+(−2)[1−(−2)m−1]3，
又因为a1=3，所以3f ′(−2)=3−(3+m−1)·(−2)m−23−(−2)m3=73−(−2)m(73+m)
所以,f ′(−2)=79−(−2)m(79+m3)．
17.证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥AB．
∵AB⊥AD，PA⊥AD，且PA∩AB=A，
又∵AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴AD⊥平面PAB．
∵AD⊂平面PAD，
∴平面PAB⊥平面PAD．
(2)(i)证明：
由(1)知：PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥AD，以A为原点，直线AB、AD、AP方向为x>y>z轴正方向建立空间直角坐标系．
则有：A(0,0,0)，B( 2,0,0)，C( 2,2,0)，D(0, 3+1,0)，P(0,0, 2)，
设O(a,b,c)，由O是球心，可得OB=OC=OD=OP
∴(a− 2)2+b2+c2=(a− 2)2+(b−2)2+c2=a2+(b− 3−1)2+c2=a2+b2+(c− 2)2
解得a=0，b=1，c=0，即O(0,1,0)．
故点O在平面ABCD上．
(ii)解：由(2)可得：OP=(0,−1, 2)，AC=( 2,2,0)．
设直线AC和直线OP所成角为θ．
∴csθ=|cs⟨AC，OP⟩|=|AC⋅OP||AC|⋅|OP|=|−2| 3× 6= 23
即直线AC和直线OP所成角的余弦值为 23．
18.解：(1)由题意得AB= a2+b2= 10e=ca=2 23a2=b2+c2，解得a=3，b=1，
故椭圆方程为x29+y2=1；
(2)(i)由题意A(0,−1)，P(m,n)，
则AP=(m,n+1)
∵点R在射线AP上，
∴存在唯一的实数t，使得AR=tAP=tm,t(n+1)，
∴AP·AR=AP·AR=tAP2=tm2+t(n+1)2=3，
∴t=3m2+(n+1)2，
∴AR=tAP=3mm2+(n+1)2,3(n+1)m2+(n+1)2，
∴R3mm2+(n+1)2,3(n+1)m2+(n+1)2−1(m≠0)；
(ii)kOP=nm，kOR=3(n+1)m2+(n+1)2−13mm2+(n+1)2=3(n+1)−m2−(n+1)23m，
∴3nm=3(n+1)−m2−(n+1)23m，
即9n=3(n+1)−m2−(n+1)2，
整理得m2+n2+8n−2=0，
即m2+(n+4)2=18，
所以点P在以M(0,−4)为圆心，3 2为半径的圆上，
故|PQ|的最大值为Q到圆心M距离的最大值加上半径，
设椭圆C上的点Q(x0,y0)，则x029+y02=1，
故|QM|2=x02+(y0+4)2=9−9y02+y02+8y0+16=−8y02+8y0+25，
由椭圆方程得y0∈−1,1，
所以y0=12时，|QM|最大，为3 3，
所以|PQ|的最大值为3 3+3 2．
19.解：(1)易得f′(x)=−5sinx+5sin5x=5(sin5x−sinx)=10sin2xcs3x．
令f′(x)=0，因为x∈[0,π4]，解得x=0或π6．
结合单调性可知，当x∈(0,π6)时，f′(x)>0，f(x)单调递增;当x∈(π6,π4)时，f′(x)