四川省泸州市龙马潭区田家炳中学联考2024−2025学年高二下学期5月期中 数学试题（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题）
1．在等差数列中，，，则（ ）
A．0B．5C．10D．15
2．已知函数，则（ ）
A．1B．－1C．－2D．0
3．若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的极小值为，则（ ）
A．1B．C．1或D．0
5．设是等比数列，成等差数列，则（ ）
A．1B．2C．4D．6
6．设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间是的“缓减区间”的是（ ）
A．B．C．D．
7．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（ ）
A．前内球滚下的垂直距离的增量B．在时间内球滚下的垂直距离的增量
C．前内球在垂直方向上的平均速度为D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为
10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．若是等比数列，则
B．若，则
C．若是等差数列，，若，则
D．若，，则
11．如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．时，平面
B．时，四面体的体积为定值
C．时，，使得平面
D．若三棱锥的外接球表面积为，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．若直线与曲线相切，则实数的值为 .
13．已知函数，若关于的方程有3个实数解，则实数的取值范围为 ．
14．已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
16．已知函数
(1)求的单调递增区间和单调递减区间；
(2)若在区间上的最小值为，求实数的值.
17．如图，在长方体中，，，为的中点．
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知椭圆：经过点，一个焦点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求的取值范围.
19．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）当时，函数的图象与的图象关于直线对称.若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】，又，，成等差数列，
，.
故选A
2．【答案】B
【详解】由导数定义可知，
由得，
所以.
故选B．
3．【答案】D
【详解】由题意，
所以，解得.
故选D.
4．【答案】A
【分析】对求导，就导函数中的参数,分情况讨论函数的极值情况即得.
【详解】由求导得，.
①当时，由可得或，由可得，
即当或时，单调递增，当时，单调递减，
故的极小值为，不合题意；
②当时，，故在R上单调递增，无极值，不合题意；
③当时，由可得或，由可得，
即当或时，单调递增，当时，单调递减，
故的极小值为，解得.
综上，.
故选A.
5．【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，因为成等差数列，
所以，即，
所以，解得，
所以.
故选A
6．【答案】A
【详解】由题意得，
又，由，得,
解得，，
即的单调递减区间为，.
设，
则，
由，得，
即，
又，则，
解得，，
即的单调递增区间为，．
由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为，，
而是的子集，是“缓减区间”；
不是的子集，不是“缓减区间”；
不是的子集，不是“缓减区间”；
不是的子集，不是“缓减区间”.
故选A.
7．【答案】C
【详解】因为有两个不同的极值点，
所以在上有2个不同的零点，且零点两侧异号，
所以在有2个不同的实数根，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号，
所以，解得.
故选C.
8．【答案】A
【详解】函数的定义域为，且，
令，可得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以函数的唯一极值点为，
因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，
则函数在区间上存在极值点，且，
所以，解得.
故选A.
9．【答案】BCD
【详解】前内，，，
此时球在垂直方向上的平均速度为，A错误；C正确；
在时间内，，，B正确；
，，则第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为，
D正确．
故选BCD．
10．【答案】BCD
【详解】对于A，因为是等比数列，
所以成等比数列，
所以，即，
解得，故A错误；
对于B，因为，所以，
所以是等差数列，
由得，
所以
，故B正确；
对于C，设等差数列的公差为，
因为，所以，
所以，故C正确；
对于D， 因为，
所以，
所以，又，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
所以，所以，故D正确.
故选BCD
11．【答案】ABD
【详解】对于A，当时，，即，
而平面，平面，因此平面，故A正确；
对于B，正方体中，当时，面积是定值，
又，平面，平面，则平面，
于是点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，故B正确；
对于C，当时，，
而，则
，因此不垂直于，不存在，使得平面，故C错误；
对于D，显然平面，则三棱锥与以线段为棱的长方体有相同的外接球，
令球半径为，则，
球的表面积，解得，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】由，可得，设切点为，
则，
所以，解得.
13．【答案】
【详解】．
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，有极小值．
作出函数的图象如图，

令，则方程，化成，
即，解得或，
显然有1个实数解，应该有2个实数解，
，实数的取值范围为．
14．【答案】/
【详解】由得，显然，
所以有解，
令，则，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，则，即的最小值是.
15．【答案】（1）；
（2）；最小值为.
【详解】（1）设等差数列公差为，则，解得：，
；
（2）由（1）得：，
，当或时，；
则，的最小值为.
16．【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是和；
(2).
【详解】（1），令，得或，
如图，的变化关系如下表，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；
（2）根据（1）的结果，得到如下表，
如表可知，的最小值为，得.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，以，，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，， ，
所以，，
所以，即，
所以；
（2）因为，，
设平面的法向量为，
则，即，
令则，所以，
由（1）可知，
又，，且，平面，
平面，
则是平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题意得，，
根据椭圆定义可得：，解得
根据，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设，，
由得：，
，即，
，，，
所以，所以，
故，解得，
所以.
故的取值范围为
19．【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【详解】（1）当时，，则，
则切线方程的斜率，切点，
故切线方程为，即.
（2）当时，，
则，，
，
当时，
则单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，
则单调递增区间为，单调递减区间为、；
当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，
则单调递增区间为，单调递减区间为、，
综上：当时，则单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，则单调递增区间为，单调递减区间为、；
当时，则单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，则单调递增区间为，单调递减区间为、.
（3）当时，，
因为函数的图象与的图象关于直线对称，所以，
因为对恒成立，
所以对恒成立，
整理可得对恒成立，
令，，则，
由有且仅有唯一的根为，
则所以，则，
则，解得.0
0
单调递减
单调递增
单调递减
4
0
0
单调递减
单调递增
单调递减
x
0
小于零
等于零
大于零
单调递减
极小值
单调递增
x
0
小于零
等于零
大于零
等于零
小于零
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
x
0
小于零
等于零
大于零
等于零
小于零
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
x
大于零
等于零
小于零
单调递增
极大值
单调递减