2025-2026学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷（有答案和解析）

这是一份2025-2026学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷（有答案和解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线l：kx−y+1=2k，当k变动时，则直线l恒过定点坐标为( )
A. (0,0)B. (2,1)C. (1,2)D. (0,1)
2.若m为直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m//α，n⊂α，则m//nB. 若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C. 若m//α，m⊥β，则α⊥βD. 若m⊂α，α⊥β，则m⊥β
3.已知直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：a2x−2y−1=0，则“l1//l2”是“a=−1”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.在空间直角坐标系O−xyz中，点A(2,−1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是( )
A. (2,1,3)B. (−2,−1,3)C. (2,1,−3)D. (2,−1,−3)
5.已知圆C：(x−1)2+(y−1)2=9和两点A(a,0)，B(−a,0)(a>0)，若圆C上有且仅有一点P，使得∠APB=90∘，则实数a的值是( )
A. 3+ 2B. 3− 2C. 3+ 2或3− 2D. 2
6.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠BAD=π2，∠BAA1=∠DAA1=π3，则直线B1D与直线A1C1所成角的余弦值为( )
A. 66B. 3 1010C. 63D. 1010
7.已知点P在椭圆x24+y23=1上，点Q在圆x2+(y−2)2=1上，F(1,0)，则|PQ|+|PF|的最大值为( )
A. 5− 5B. 5+ 5C. 10D. 4+2 2
8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，若|AF1|+|BF1|=4|F1F2|，则双曲线C离心率的取值范围是( )
A. [2+ 3,+∞)B. (1,2+ 3]C. [ 7−2,+∞)D. (1,3+ 52]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.点P是椭圆C:x225+y29=1上任意一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，O为原点，则( )
A. △PF1F2的周长为16
B. 当∠F1PF2=60∘时，△PF1F2面积为3 3
C. |OP|的最小值为3
D. |PF1|⋅|PF2|的最小值为9
10.已知平面ABC的一个法向量为m=(1,2,2)，PA=(−1,3,−1)，AB=(x,−1,−1)，则( )
A. 若AB与a=(m,n,3)共线，则m+n=−9
B. 点P到平面ABC的距离为12
C. 向量PA在向量AB上的投影向量为−13AB
D. 直线PA与平面ABC所成角的余弦值为 1111
11.四叶草曲线是数学中的一种曲线，其方程C为(x2+y2)3=8x2y2，给出下列结论正确的有( )
A. 曲线C有2条对称轴
B. 曲线上两点之间的最大距离为2 2
C. 曲线经过5个整点(横、纵坐标都是整数的点)
D. 四个叶片围成的区域面积小于2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线y=8x2的焦点坐标为______.
13.若随机事件A，B相互独立，且P(A)=12，P(B)=13，则P(A∪B)= .
14.在正三棱锥P−ABC中，PA=4，AB=3，点M满足PM=xPA+yPB+(3−x−y)PC，则AM的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的顶点A(2,0)，C(4,−4)，线段AB的垂直平分线方程为2x−y−2=0.
(1)求△ABC外接圆D的标准方程；
(2)若直线l过点P(2,0)，且与圆D相交截所得弦长为8，求直线l的方程.
16.(本小题15分)
记锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知S=12(a2+c2−b2)sinB.
(1)求B；
(2)若b=1，求2a−c的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，且ABCD是矩形，PD=CD=2.点E是PC的中点，过E作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明：PB⊥平面DEF；
(2)若PC与平面DEF所成角的正弦值为45，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
在数学学科周中，举行数学素养选拔赛(满分100分)，为了了解本次比赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组[50,60),第二组[60,70),第三组[70,80),第四组[80,90),第五组[90,100]绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
(1)求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次比赛成绩的平均值(同一组数据用该组数据的中点值代替)；
(2)用分层随机抽样的方法从[80,90),[90,100]两个区间共抽取出5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名进行交流分享，求两人至少一人在[90,100]的概率；
(3)甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为23，乙能解出而丙不能解出该题的概率为18，甲、丙都能解出该题的概率为13，假设他们三人是否解出该题互不影响.求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
19.(本小题17分)
用平面α截圆柱面，圆柱的轴与平面α所成的角记为θ，当θ为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论.已知过球外一点作球的任意一条切线，切线长都相等.
如图一所示，将两个大小相同半径为2的球嵌入高为10的圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切，平面ABCD经过球心O1，O2，A、B、C、D为球与圆柱的切点，球与平面α的切点分别为F1，F2，直线F1F2与直线AD、BC分别交于M，N两点，若点P为截线上任一点.
(1)求P点的轨迹方程；
(2)求|AM|tanθ2的值；
(3)把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图二，由(1)中所截椭圆为底面椭圆柱OO′，MNRS为轴截面，母线长为6，Q为母线上NR的动点，E为线段RS上的动点，G1G2为过点F2的下底面的一条动弦(不与MN重合)，求三棱锥E−QG1G2体积的最大值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，直线l的方程可化为y−1=k(x−2)，
所以直线l表示经过点(2,1)，斜率为k的直线，
可知直线l必定经过定点(2,1)，B项符合题意．
故选：B.
将直线l的方程化简为y−1=k(x−2)，运用直线的点斜式方程进行求解，即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的点斜式方程及其应用，考查了概念的理解力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：若m//α，n⊂α，则m与n可平行或异面，所以A选项错误；
若m⊥α，m⊥β，则α//β，所以B选项错误；
若m//α，m⊥β，则α⊥β，所以C选项正确；
对于D，m⊂α，α⊥β，则m与β可平行或相交或m⊂β，所以D选项错误．
故选：C.
根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：a2x−2y−1=0，
当l1//l2时，则−a2=a22且−62≠−1−2，
解得a=0或a=−1.
则“l1//l2”是“a=−1”的必要不充分条件．
故选：C.
由两条直线平行的充要条件，列方程，可得a的值，判断出结果．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：在空间直角坐标系O−xyz中，
点A(2,−1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是(−2,−1,3).
故选：B.
在空间直角坐标系O−xyz中，点(a,b,c)关于yOz平面对称的点的坐标是(−a,b,c).
本题考查点关于yOz平面对称的点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，圆C：(x−1)2+(y−1)2=9，其圆心为C(1,1)，半径r=3，
由两点A(a,0)，B(−a,0)(a>0)，可得以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2，
设该圆为圆O，其圆心为O(0,0)，半径R=a，
若点P满足∠APB=90∘，则P在圆x2+y2=a2上，
又由圆C上有且只有一点P使得∠APB=90∘，则圆C与圆x2+y2=a2相切，
则有|OC|2=(0−1)2+(0−1)2=(3−a)2或|OC|2=(0−1)2+(0−1)2=(3+a)2，
又因为a>0，解得a=3+ 2或3− 2.
故选：C.
根据题意，求出以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2，由圆C上有且只有一点P使得∠APB=90∘，可得圆C与圆x2+y2=a2相切，由圆与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆与圆的位置关系的应用，是中档题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意知，B1D=AD−AB1=AD−AB−AA1，A1C1=AB+AD，
BD⋅A1C1=(AD−AB−AA1)⋅(AB+AD)=AD⋅AB+AD2−AB2−AB⋅AD−AA1⋅AB−AA1⋅AD=0+4−4−0−2×2×12−2×2×12=−4；
B1D2=(AD−AB−AA1)2=AD2+AB2+AA12−2AD⋅AB−2AD⋅AA1+2AB⋅AA1=4+4+4−0−2×2×2×12+2×2×2×12=12，
所以|B1D|=2 3，|A1C1|=2 2，
所以cs=B1D⋅A1C1|B1D||A1C1|=−42 3×2 2=− 66，
所以异面直线B1D与A1C1所成角的余弦值为 66.
故选：A.
利用空间向量的基本定理将B1D与A1C1用基底AB，AD，AA1表示出来，然后利用数量积的定义求解即可．
本题考查了空间向量数量积的运算，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：已知椭圆x24+y23=1，
则a=2，b= 3，c=1，
不妨设F1为椭圆的左焦点，
则F1(−1,0)，F(1,0)为椭圆的右焦点，
又圆x2+(y−2)2=1的圆心为M(0,2)，半径为1，
则|PQ|≤|PM|+1，
则|PQ|+|PF|=4+|PQ|−|PF1|≤5+|PM|−|PF1|≤5+|MF1|=5+ (0+1)2+(2−0)2=5+ 5，当且仅当M、Q、P、F1四点共线时取等号，
即|PQ|+|PF|的最大值为5+ 5.
故选：B.
由椭圆的方程，结合椭圆的定义及圆与椭圆的位置关系求解即可．
本题考查了椭圆的方程，重点考查了椭圆的定义及圆与椭圆的位置关系，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由已知，设|AF1|≥|BF1|，且|AF1|−|AF2|=2a，|BF1|−|BF2|=2a，
两式相加得|AF1|+|BF1|−(|AF2|+BF2|)=4a，
又|AF2|+|BF2|=|AB|，则|AF1|+|BF1|−|AB|=4a，
又|AF1|+|BF1|=4|F1F2|=8c，则|AB|=8c−4a，
当AB⊥x轴时，|AB|最小，此时|AB|=2b2a，
所以2b2a≤8c−4a，即2c2−8ac+2a2≤0，即e2−4e+1≤0，
得2− 3≤e≤2+ 3，
又双曲线的离心率大于1，则1