山东省青岛第六十七中学2023−2024学年高一下学期期末测试 数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛第六十七中学2023−2024学年高一下学期期末测试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（ ）
A．290B．295C．300D．330
2．已知，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．在平行四边形中，，若交于点M，则（ ）
A．B．
C．D．
5．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点，，，则点A到直线BC的距离是（ ）
A．B．C．D．
7．如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ）
A．1B．C．D．
8．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是（ ）
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
10．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积随着点的运动而变化
B．异面直线与所成角的取值范围是
C．直线平面
D．三棱锥的外接球表面积的最小值为
11．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是所在平面内一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若在方向上的投影向量为，则的最小值为
C．若点P为BC的中点，则
D．若，则为定值18
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知平面向量满足,且，则= ．
13．抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是 .
14．甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)已知点在线段上，且，求长.
16．如图，三棱柱的棱长均为2，点在底面的射影O是的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，BC边的中线长为1．
(1)求角A；
(2)求边a的最小值．
18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
19．树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：
在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为．
(1)证明：；
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．
附：．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.
【详解】将数据从小到大排序为：188，240，260，284，288， 290，300，360，
，所以分位数为.
故选B
2．【答案】B
【详解】，
所以，
所以.
故选B
3．【答案】A
【分析】利用投影向量的定义直接求解即可.
【详解】依题意，，
所以在上的投影向量为.
故选A.
4．【答案】B
【分析】根据三角形相似的性质结合向量的运算，即可得出答案.
【详解】，为线段靠近点的四等分点
显然，即
故选B.
5．【答案】A
【分析】分别用(1根+4根)和(2根+3根)两种情况组成不同的两个数，求出总的组合数，并求出各个组合中两数的和，根据古典概型概率计算方法计算即可．
【详解】用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：
第一种是用1根和4根小木棍可以组成：1与4、1与8，其和分别为5、9，共2种；
第二种是用2根和3根小木棍可以组成：2与3、2与7、6与3、6与7，其和分别为5、9、9、13，共4种；
故用五根小木棍随机摆成图中的两个数，有2+4=6种不同组合，其中两个数的和不小于9的有4种，故所求概率为．
故选A．
6．【答案】B
【分析】计算可得，故，再根据向量的模长公式求出即可得解.
【详解】由已知得，，
所以，
所以，
所以点A到直线BC的距离是.
故选B
7．【答案】C
【分析】过和分别作，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．
【详解】过和分别作，，
在矩形，，
，
，
则，即，
平面与平面所成角的余弦值为，
,
，
则，
即与之间距离为
故选C．
8．【答案】D
【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 .
故选D．
解法二:
设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，.
故选D.
【方法总结】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
9．【答案】BC
【分析】根据复数的模的定义，共轭复数的定义，复数的乘法判断各选项，错误的选项可以举反例．
【详解】A：由复数模的概念可知，不能得到，例如，，A错误；
B：由可得，因为，所以，即，B正确；
C：若，则，有，
又，则，故，故C正确；
D：取，，显然满足，但，D错误.
故选BC．
10．【答案】BC
【分析】对于A选项，连接，由平面，即直线上任意点到平面的距离相等；
对于B选项，为正三角形，则当且仅当在中点时，，即可判断；
对于C选项，证明平面即可，
对于D选项，当为中点时，外接球半径最小，计算即可.
【详解】对于A选项，因为，所以平面，所以，为定值，即A错误；
对于B选项，因为为正三角形，与所成角的范围为，即B正确；
对于C选项，易知，，，，，则平面平面，可知平面，平面，即C正确；
对于D选项，易知当为中点时，外接球半径最小，
此时设的中心为，的中心为，的中点为，
则，，，则易知，
所以最小球即为以为球心，半径，表面积，即D错误．
故选BC.
11．【答案】ACD
【分析】对于，根据向量加法的运算法则及三角函数的诱导公式化简计算；对于B，易知当时，取得最小值，计算可得；对于C，根据向量加法结合律及平行四边形法则计算可得；对于D，根据向量数量积运算律计算即可.
【详解】如图，设BC的中点为E，连接QE，∵，由余弦定理可得：
，∴，∴，
又，∴，∴，∴，
对A选项，∵，∴，∴，又E为中点，
∴，又，∴，
∴，故A选项正确；
对B选项，∵在方向上的投影向量为，∴，又Q是AC的中点，P在BC上，∴当时，PQ最小，此时，故B选项错误；
对C选项，若点P为BC的中点，即P与E点重合，∵，∴，
∴，故C选项正确；
对D选项，∵，∴的平分线与BC垂直，
∴是以BC为底边的等腰三角形，∴，又由A选项分析知，
∴根据向量数量积的几何意义知，
∴，故D选项正确．
故选ACD．

12．【答案】
【分析】由数量积的运算律求出，再由向量的模长公式即可得出答案.
【详解】由,得,
所以.
故答案为：
13．【答案】
【分析】根据题意求得其对立事件，然后根据其与对立事件之和为，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
又因为为相互独立事件，
所以
所以中至少有一件发生的概率为
故答案为:
14．【答案】/
【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理角化边即可得解.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理、正弦定理求解即得.
【详解】（1）在中，由及余弦定理，得，
即，而，
所以.
（2）由（1）知，由余弦定理得，
为三角形内角，则，而，于是，
在中，由正弦定理得，
所以.
16．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意，得平面，以分别为建立的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，结合向量和，利用夹角公式，即可求解；
（2）求得平面的一个法向量，结合（1）中得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）由点在底面的射影O是的中点，可得平面，
又由是等边三角形，所以两两垂直，以分别为建立如图所示的空间直角坐标系，
因为三棱柱的棱长都是2，所以得，
可得，所以，
在平面中，，
设法向量为，则有，可得，
取，可得，所以平面的一个法向量为，
记点到平面的距离d，则.
（2）在平面中，，
设法向量为，则有，可得，
取，可得，所以，
设平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值.
【方法总结】向量法求两个平面的夹角：
首先求出两个平面的法向量m，n，再代入公式cs α＝±(其中m，n分别是两个平面的法向量，α是两个平面的夹角)求解．
17．【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）切化弦，结合正弦的两角和公式化简可得；
（2）将两边平方，由基本不等式可得的最大值，利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
即，
所以，
因为，所以，，，
所以，即，又，所以．
（2）因为BC边的中线长为1，所以，
所以，即，
解得，当且仅当时取等号．
所以
，
所以a的最小值为．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，然后以点为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法求出的值，再利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）因为，，为的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，即.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）因为，为的中点，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为，
如图，以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，其中，
所以，，
又，设平面的法向量为，
则，所以，
取，得，
由题意知平面的一个法向量为，
因为二面角为，所以，
因为，解得，
所以,
易知平面的一个法向量为，.
所以与平面所成角的正弦值为.
【方法总结】求直线与平面所成角的方法
(1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；
②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
③求，利用解三角形的知识求角．
(2)向量法：sin θ＝|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，n〉|＝(其中eq \(AB,\s\up6(→))为平面α的斜线AB的方向向量，n为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角)．
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)平均数为96分，标准差为18分；
(3)将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级．
【详解】（1）
，
同理．
所以.
（2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为，方差记为，
则，
所以
又，所以．
即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分．
（3）由（2）知，所以全年级学生的考试成绩服从正态分布，
所以．
．
故可将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级．性别
参加考试人数
平均成绩
标准差
男
30
100
16
女
20
90
19