宁夏六盘山高级中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份宁夏六盘山高级中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数从到的平均变化率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知机器中有7个娃娃，机器中有8个娃娃，且这15个娃娃互不相同，某人从，机器中分别抓取1个娃娃，则此人抓取娃娃的不同情况共有（ ）
A．15种B．30种C．45种D．56种
3．已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ）
A．B．C．D．
4．今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ）
A．10种B．60种C．125种D．243种
5．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．在区间上单调递增B．是的极大值点
C．当时，D．在区间上单调递减
6．若曲线在处的切线方程为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．0
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的是（ ）
A．
B．已知函数在上可导，若，则
C．已知函数，若，则
D．设函数的导函数为，且，则
10．已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A．可以组成无重复数字的四位数96个B．可以组成有重复数字的四位数404个
C．可以组成无重复数字的四位偶数66个D．可以组成百位是奇数的四位偶数28个
11．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ）
A．时，恒成立
B．时，存在零点，
C．时，是的极值点
D．若有3个零点，则a的范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．某种型号的飞机从着陆到停止，滑行路程(米)与着陆时间(秒)之间的函数关系为：，则此飞机着陆后滑行秒时的瞬时速度是 米/秒.
13．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 种不同的走法．
14．已知函数，.若，则k的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．求下列函数在给定点处的导数：
（1）在处的导数；
（2）在处的导数.
16．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最值．
17．设函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上单调递增，求的取值范围.
18．已知函数
（1）当时，求函数的极值.
（2）求函数的单调区间.
19．已知函数
（1）函数在处取得极小值，求的值；
（2）证明：当时，恒成立；
（3）若函数有一个零点，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题得所求平均变化率为.
故选C.
2．【答案】D
【详解】已知机器中有个娃娃，那么从机器中抓取个娃娃，就有种不同的情况.
已知机器中有个娃娃，那么从机器中抓取个娃娃，就有种不同的情况.
根据分步乘法计数原理，得到总的不同情况数为（种）.
故选D
3．【答案】D
【详解】，，所以，
所以.
故选D.
4．【答案】D
【详解】五人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种，
故选D．
5．【答案】C
【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确；
时，，函数单调递增，，，函数单调递减，
所以是的极大值点，B正确；
在区间上单调递减，D正确；
当时，函数单调递增，可能，所以C不正确；
故选C．
6．【答案】D
【详解】因为，则，则，
可得，所以，曲线在处的切线方程为，
将切点的坐标代入切线方程可得，解得，
又因为，解得，因此，，.
故选D.
7．【答案】A
【详解】令，
则，
，，
在上单调递增，
，即，
.
故选A.
8．【答案】B
【详解】不妨设，因为，所以，
构造函数，则，所以单调递增，
恒成立，即恒成立，
令函数，，
当时，，当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故．
故选B.
9．【答案】BC
【详解】对于A，，A错误；
对于B，由导数定义知，B正确；
对于C，，则，
由，得，解得或(舍去)，C正确；
对于D，由，得，
故，D错误，
故选BC
10．【答案】AB
【详解】对于A，可以组成无重复数字的四位数（个），A正确；
对于B，可以组成有重复数字的四位数（个），B正确；
对于C，若个位数为0，则有（个），
若个位数不为0，则有（个），
所以可以组成无重复数字的四位偶数（个），C错误；
对于D，可以组成百位是奇数的四位偶数（个），D错误．
故选AB
11．【答案】BD
【详解】A.，，故A错误；
B.，，所以单调递增，
，，所以存在零点，，故B正确；
C.，，设，则，得，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以当时，取得最小值，，即，
所以不是函数的极值点，故C错误；
D.令，当时，，当时，得，
设，，
当或时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，
当，，，，且恒成立，
时的最小值为，
所以与有3个交点，则，故D正确.
故选BD
12．【答案】
【详解】,
13．【答案】14
【详解】分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3=6种，
第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2=8种，
根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，
故从甲地到丁地共有14条不同的路线．
14．【答案】
【详解】因为，所以.
由得，
即，
即.
构造函数，
则可化为.
因为，
令，则，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以时，取得最小值，即，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以在上单调递增.
因为，所以，
即，即.
令，则，
令，即，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以时，取得最大值，即，
所以，所以.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为函数可以看作函数和的复合函数，
所以，
所以当时，.
（2）根据导数的除法法则可知：，
所以当时，.
16．【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)最大值为16，最小值为.
【分析】(1)利用导数求解函数的单调区间即可.
(2)利用导数求解函数在闭区间上的最值即可.
【详解】（1）
令.则，
则当和时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）由(1)知当时，取极大值为，当时，取极小值为，
，则在上最大值为16，最小值为.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）当时，，则，
则曲线在点处的切线斜率为，又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），由题意得，恒成立．
令，则，且在单调递增，
令，解得，
所以当时，，故单调递减；
当时，，故单调递增；
所以，
又，当且仅当，故．
18．【答案】（1）极大值为，极小值为；
（2）答案见解析
【详解】（1）当时，的定义域为，
故，
令得或，
令得或，令得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
故极大值为，极小值为；
（2）的定义域为，
，
当时，令得，令得，
故单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，令得或，令得，
故单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，此时恒成立，故单调递增区间为；
当时，，令得或，令得，
故单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
19．【答案】（1）1
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1），
的定义域为，.
当时，在上恒成立，
在上单调递减，无极值，不符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，函数取得极小值.
又∵函数在处取得极小值，，即.
（2）由（1）可知：当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得最小值，
.
∴当时，恒成立
（3）函数在有一个零点，等价于方程在有一个根，
即方程在有一个根，
即直线与函数的图象在上有一个交点.
令，则.
令，即，解得；令，即为，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
又因为，当时，，
且时，，当时，，
所以当或时，函数有一个零点，
即的取值范围为.