贵州省北京师范大学贵阳附属中学2024-2025学年九年级下学期5月信心考数学试题

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一、选择题（3 分×12=36 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D B A A C A B A C D
二、填空题（4 分×4=16 分）
13 (x+2)(x-2) 14 k=2 15 16
二、解答题
17、（本题满分 12 分）
（1）x1=-1,x2= 分
（2）x=3,是方式方程的解 分
18、（本题满分 10 分）解：任务 1：由折线统计图可知， 款机器人测试员打分从低到高排列为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
款机器人测试员打分的中位数 ， 分
由扇形统计图可知， 款机器人运动能力得分出现次数最多的是 分，
款机器人运动能力得分的众数 ， 分
任务 2： 的综合成绩为： （分），
的综合成绩为：
的综合成绩为：
， 机器人的综合成绩最高； 分
任务 3：
①选择 机器人，因为 机器人得运动能力测试能力比较高；
②选择 机器人，因为 B 机器人运动能力成绩得方差比较小，说明 机器人得运动能力比较稳定；
③选择 机器人，因为 机器人运动能力测试得众数是 和 ，说明较多专业测试员认为 机器人
得运动能力很好.(答案不唯一，言之有理即可) 分
19、（本题满分 10 分）【详解】（1）证明：∵矩形 中，
∴ ， ， ， ， ∴ ，
∵ ， ∴点 是线段 的中点，
∵点 F 是 的中点， ∴ 是 的中位线，
∴ ， ， ∴四边形 是平行四边形，
∵ ， ∴四边形 是菱形； 分
（2）解：∵矩形 中， ∴ ， ， ，
∵矩形 的周长为 20， ∴ ， ∴ ，∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 或 ，
∵ ， ∴ ， ， ∴ ，
∴菱形 的面积 ． 分
20、（本题满分 10 分）解：（1）∵点 A（2，3）在反比例函数 的图象上，
∵k＝2×3＝6， 故 k 的值为 分
（2）∵点 A（2，3），AB⊥x 轴于点 B， ∴，B（2，0），
设直线 OA 的函数解析式为 y＝kx，把 A（2，3）代入 y＝kx 得 k ，
∴直线 OA 的函数解析式为 y x，
∵直线 BD∥OA， ∴设直线 BD 的解析式为 y x+b，
把 B 点的坐标代入得，b＝﹣3，
∴直线 BD 的解析式为 y x﹣3，
把 x＝6 代入 y 得 y＝1，把 x＝6 代入 y x﹣3 得 y＝6，
∴E（6，1），D（6，6），
∴DE＝6﹣1＝5． 分
21、（本题满分 10 分）解：（1）设每本《论语》的价格为 x 元，每本《弟子规》的价格为 y 元，
依题意得： ， 解得： ．
答：每本《论语》的价格为 20 元，每本《弟子规》的价格为 15 元． 分别
（2）设购买《论语》m 本，则购买《弟子规》（100﹣m）本，
依题意得：100﹣m≤2m， 解得：m ．
设学校购买《论语》和《弟子规》的总费用为 w 元，则 w＝20m+15（100﹣m）＝5m+1500．
∵5＞0， ∴w 随 m 的增大而增大， 又∵m 且 m 为正整数，
∴当 m＝34 时，w 取得最小值，最小值＝5×34+1500＝1670，此时 100﹣m＝100﹣34＝66．
答：当购买《论语》34 本，《弟子规》66 本时，总费用最少，最少总费用为 1670 元． 分
22、（本题满分 10 分）解：（1）如图，过点 C 作 CN⊥ED，交 ED 的延长线于点 N，垂足为 N，
∵∠CDE＝97°， ∴∠CDN＝83°，
在 Rt△CDN 中， ，CD＝6.7m，
∴CN＝CDsin83°＝6.7×0.993≈6.65（m），
答：点 C 到地面 DE 的距离为 6.65m； 分
（2）如图，过点 B 作 BP⊥CF，垂足为 P，
∵CF∥DE， ∴∠FCD＝∠CDN＝83°，
∵∠BCD＝98°， ∴∠BCP＝∠BCD﹣∠FCD＝15°，
∵平行线间的距离处处相等， ∴EF＝CN＝6.65m，
∵AE＝8.5m， ∴BP＝AF＝AE﹣EF＝8.5﹣6.65＝1.85，
在 Rt△BCP 中 ，
∴ （m），
答：顶部线段 BC 的长为 7.14m． 分
23、（本题满分 12 分）解：（1）如图 1，连接 OG．
∵EG 为切线， ∴∠KGE+∠OGA＝90°．
∵CD⊥AB， ∴∠AKH+∠OAG＝90°，
又∵OA＝OG， ∴∠OGA＝∠OAG，
∴∠KGE＝∠AKH＝∠GKE， ∴KE＝GE． 分
（2）KG2＝KD•GE．理由如下：
如图 2，连接 GD．∵AC∥EF， ∴∠C＝∠E．
又∵∠C＝∠AGD， ∴∠KGD＝∠E．
又∵由（1）知∠KGE＝∠GKE， ∴△GKD∽△EGK，
∴ ，即 KG2＝KD•GE； 分
（3）连接 OG，OC，如图 3 所示．sinE＝sin∠ACH ，设 AH＝3t，则 AC＝5t，CH＝4t，
∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5t， ∴HK＝CK﹣CH＝t．
在 Rt△AHK 中，根据勾股定理得 AH2+HK2＝AK2，
即（3t）2+t2＝（2 ）2，解得 t ．
设⊙O 半径为 r，在 Rt△OCH 中，OC＝r，OH＝r﹣3t，CH＝4t，
由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2， 即（r﹣3t）2+（4t）2＝r2，解得 r t ．
∵EF 为切线，∴△OGF 为直角三角形，
在 Rt△OGF 中，OG＝r ，tan∠OFG＝tan∠CAH ，
∴FG ． 分
24、（本题满分 12 分）1）解：依题得： ， ，最高点 纵坐标为 ，
， ，
绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线，
点是该抛物线的顶点，横坐标应为 ， ，
设抛物线解析式为 ，
将 代入可得 ，
该抛物线解析式为 ． 分
（2）解：依题得，小明所站位置的横坐标为 ，
将 代入抛物线解析式 得 ，
绳子能刚好甩过他的头顶上方 ，
当绳子甩到最高处，小明站在距离点 的水平距离为 时，绳子不能刚好甩过他的头顶上方
． 分
（3）解：当 时，即 ，
解得 ， ，
可以站立跳绳的距离范围为 ，
人队伍的总长度为 ，
左边第一位同学跑离点 的水平距离 需满足 ，，
综合可得， 的取值范围是 分
25、（本题满分 12 分）在正方形 中， ．
∵ ， 由折叠性质可知 ，且 ．
∴ ∴
∵ ， ∴ ． ∴ ．
∴ ． ∴
因为 ， ， ，
∴ ． ∴ ，故答案为：45； 分
（2）由折叠可知 ， ， ．
四边形 为正方形， ．
又 ， ， ．
又 ， ．
由折叠的性质可得 ， ．
点 为 的中点， ，
在正方形 中， ，
， ． 分
（3）情况一： 当 是等边三角形， 是等腰三角形时，如图：
此时 ，因为 ，所以 ．
已知 ，在 中， ，解得 ．
情况二：当 是等边三角形， 是等腰三角形时：
此时 ，则 ．
在 中， ，
解得 ．
综上所述：段 的长度为 或 ． 分