安徽省蚌埠市五河县高级中学2024-2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：北师大版必修第二册第一章~第二章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若角，则它是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】根据象限角和弧度制判断.
【详解】因为，所以角是第三象限角.
故选：C.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量就是有向线段
B. 方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
D. 由于零向量的方向不确定，因此零向量与任意向量都不平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的概念、模的概念判断AB，根据相等向量的概念判断C，根据零向量的定义及共线向量的定义判断D.
【详解】对于A，向量可以用有向线段来表示，但并不是有向线段，错误；
对于B，向量是具有方向和大小的量，模有大小，但方向不能比大小，错误；
对于C，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确；
对于D，零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，零向量与任意向量都平行，错误.
故选：C
3. 已知平行四边形中，是的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断.
【详解】在平行四边形中，是的中点，
则.
故选：A
4. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二次根式有意义得，结合正切函数的性质可得结果.
【详解】由题意得，，
∴，
∴，
∴函数的定义域为.
故选：B.
5. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用在上的投影向量的定义求解.
【详解】因为，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：D．
6. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理求出，即可求出．
【详解】由正弦定理得，所以，
因为，所以，所以，
则，
故选：B．
7. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解.
【详解】由，得，而，，
由余弦定理得（米）.
故选：C
8. 如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量数量积的几何意义，即投影向量的意义计算即得.
【详解】
如图过点作直线，交于点，
因，又，
则，而即在直线上投影的数量，
要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大，
由图知，当点与点或重合时投影向量的数量最大.
因，由对称性知，，
在中，，因，解得，
则，故的最大值为.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，下列命题中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量模公式计算可判断A；由向量平行的坐标表示可判断B；由向量垂直的坐标表示可判断C；根据向量模公式计算可判断D.
【详解】因为，所以不平行，B错误；
因为，所以，C正确；
因为，所以，
又，所以，A正确，D错误.
故选：AC
10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则的形状能唯一确定
【答案】AB
【解析】
【分析】应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C.
【详解】因为，所以，故A正确；
因为，则，故B正确；
由余弦定理，可知为锐角，
但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误；
由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误.
故选：AB
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 在上单调递增
B. 的图象关于点对称
C. 关于的方程在上有2个相异实根
D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据函数图象的最值、周期和图象上的点求出的解析式，再根据余弦函数的单调性、对称性和值域判断ABC，根据平移变换判断D.
【详解】由的图象得，，，
所以，故，
由，得，即的单调递增区间为，
令，得，又，故A正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故B错误；
因为，所以由图象知，当时，在上有两个不相等的实根，故C正确；
将的图象向左平移个单位长度，得的图象，
显然为奇函数，故D正确．
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式进行计算即可.
【详解】若扇形圆心角为，半径为，则弧长为：.
所以扇形的半径为.
故答案：
13. 若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定信息，利用向量减法的坐标运算求解.
【详解】相对于的位移为.
故答案为：
14. 如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据图形的对称性得出，再应用共线时周长最小，再应用余弦定理计算即可求值.
【详解】如图，作点关于线段所在的直线的对称点，连接，
由图形的对称性知，
则，
的周长，当且仅当四点共线时取等号，
，
的周长的最小值是.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知点为角θ终边上一点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1），．
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义求解即可；
（2）根据诱导公式化简目标式子，结合（1）的数值求解即可.
小问1详解】
因为，所以，
所以，．
【小问2详解】
由诱导公式，可得，
所以原式．
16. 在中，内角所对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由边的关系代入余弦定理可求角；
（2）由已知条件结合余弦定理化角为边化简得，求解三角形进而判断形状.
【小问1详解】
在中，因为，
所以由正弦定理得，
由余弦定理得，
由，所以.
【小问2详解】
因为，
故，即，又，则，
所以为等腰三角形.
17. 已知向量，，．
（1）求的最小值；
（2）若与共线，求与的夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量线性运算以及模长的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案；
（2）根据共线向量以及数量积与模长的坐标表示，利用向量夹角的计算公式，可得答案.
【小问1详解】
由，，可得，
则，
故当时，取得最小值，即时，取得最小值．
【小问2详解】
，，
由与共线可得，解得，
则，，，，
设与的夹角为，所以，
因为，所以．
18. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）的单调增区间是，单调减区间是
（3）
【解析】
【分析】（1）根据相邻对称中心距离求出最小正周期，进而得到，代入，得到方程，求出，确定表达式；
（2）在（1）基础上，整体法求解出函数的单调递增区间；
（3）整体法得到，令，在时恒成立，利用基本不等式求得，从而得到.
【小问1详解】
因为两相邻对称中心距离为，所以最小正周期为，所以，
由得，所以，，解得，，
又因为，所以，所以；
【小问2详解】
令，得.
令，得.，
故的单调增区间是，单调减区间是；
【小问3详解】
因为，所以，所以，
故.令，则在时恒成立，
即在时恒成立，
令，则，
当且仅当即时等号成立，
所以，则，实数的取值范围.是.
19. 如图，在直角梯形中，，，，，，，分别是线段和上的动点，交于点，且，，.
（1）若，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的运算律可得，结合数量积的定义运算求解；
（2）根据题意整理可得，，结合平面向量基本定理运算求解；
（3）整理可得，模长关系结合数量积运算律运算求解.
【小问1详解】
在直角梯形中，易得，，
因为，
可得，所以.
【小问2详解】
因为
，
当时，，
设，，
则，
又因为，
且，不共线，则，解得，
所以.
小问3详解】
因为，
所以，
，
由题意知，，
所以当时，取到最小值，
当时，取到最大值，
所以的取值范围是.