安徽省怀宁县高河中学2024_2025学年高一下学期5月月考数学试卷[含解析]

这是一份安徽省怀宁县高河中学2024_2025学年高一下学期5月月考数学试卷[含解析]，共18页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【详解】由，得复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D．
2. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【详解】因为，所以，解得．
故选：A．
3. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的面积是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【详解】由题可知原图中，，，，
所以面积为．
故选：C．
4. 某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设圆锥的高为，则，解得，母线长为，
所以圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为．
故选：D．
5. 已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，点是棱的中点，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】如图，取的中点，连接，
则，所以就是异面直线与所成角或其补角．
因，，则两两垂直，
在中，，，所以．
连接，在中，，，
由余弦定理，，
在中，，所以，
在中，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：D．
6. 在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由余弦定理得，
所以，所以，故．
由正弦定理，得，
故．
故选：B．
7. 如图，正方形和正方形的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直，点在线段上运动，点在正方形内运动，，且始终保持，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】如图，过点作，垂足为，连接，
而，，，平面，则平面．
又平面，则，又平面平面，
平面平面，平面，则平面，
平面，于是，而，因此，即，
则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧，所以的最小值为．
故选：B
8. 对任意两个非零向量，定义新运算：表示向量的夹角．若非零向量满足，向量的夹角，且是整数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由，知．
因为，所以，．
因为，所以，．
因为是整数，所以，所以，，
而，即，所以，
因为，，所以，即，
故的取值范围为．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则或D. 若，则
【答案】BC
【详解】取，，满足，而虚数不能比较大小，故A错误；
由，知是的共轭复数，则，故B正确；
设，，则，
则即，于是，若，
则成立，此时；
若，，由知；由知：，此时；
同理当时，；若，由得，
则，此时；因此若，则或，故C正确；
取，，满足，而，故D错误．
故选：BC.
10. 已知中，角、、的对边分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若是直角三角形，则
D. 若是锐角三角形，是线段上一点，则的最小值为
【答案】AC
【详解】由，得，由余弦定理得，
即，故A正确；
由及正弦定理，得，即，
所以，即，
所以，故B错误；
由上知，所以均不为直角，进而，则，
代入，得．因为为锐角，所以，，
所以，所以，故C正确；
过作，则．又在之间运动时，与的夹角为钝角，
因此要求的最小值，应在之间运动，即，
又，
当时，取最小值为，故D错误．
故选：AC．
11. 如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A. 正方体的外接球的表面积为
B. 若平面与平面的交线为，则
C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则
D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为
【答案】BC
【详解】对于A，由，得正方体的外接球半径，
因此正方体的外接球表面积为，A错误；
对于B，由，，得四边形是平行四边形，，
而平面，平面，则平面，
是平面与平面的交线，平面，因此，B正确；
对于C，分别取的中点，，连接，则，
，，，又，则，，
因此是平面和平面所成的二面角的平面角，
则，C正确；
对于D，延长使得，连接交于点，连接交于点，
则，，且，，
四边形为菱形，平面截正方体所得截面为五边形，
又，，，
所以的面积为，五边形的面积为，D错误．
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数，则______．
【答案】
【详解】因为；；；，
所以，
那么，所以．
故答案为：.
13. 已知非零向量的夹角为，且，则在上的投影向量为______．
【答案】
【详解】由题知，
所以在上投影向量为．
故答案为：
14. 如图，已知正四棱锥的棱长均为2，分别是的中点，是所在平面内的一点，则的最小值为______．

【答案】
【详解】如图，连接．因为，都为正三角形，为的中点，
所以，，，所以平面．
所以关于平面对称，，，
当且仅当三点共线时，等号成立，即的最小值为．
故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数是关于的方程的一个根，复数．
（1）求；
（2）若复数为纯虚数，求．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由题知，
整理得，
则，解得，所以，
．
【小问2详解】
由（1）知，，
因为复数为纯虚数，所以，解得，
所以，所以．
16. 已知向量满足，且.
（1）求向量与的夹角的余弦值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因为，所以，即，
又，所以，
因为，所以，所以，
所以
，
所以.
【小问2详解】
，
由题意知且向量与不共线，
所以，且，
解得，且，即实数的取值范围为.
17. 在面积为的锐角中，内角所对的边分别为，．
（1）求；
（2）若，为外接圆的圆心，记和的面积分别为，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由及，
得，
又，所以，所以，
由余弦定理得，
因为，所以．
【小问2详解】
设外接圆的半径为，则，且，即．
因为，，
所以，
，
所以，
因为为锐角三角形，所以解得，
所以，
令，则，
所以当时，取得最大值．
18. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点的直线与边分别相交于点．设，．
（1）若，求的值；
（2）求的最小值；
（3）若是边长为的等边三角形，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
为中点，，
为中点，，，
.
【小问2详解】
由（1）得：，
三点共线，，
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
【小问3详解】
，
，
，，，
，
，
，
由（2）知：，即．
又，，解得：（当且仅当时取等号），
，
，当时，取得最小值：，
即的最小值为.
19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【小问1详解】
证明：在中，，，，所以，所以，
中，，，，所以，所以，
又，平面，，所以平面．
【小问2详解】
如图，连接，取的中点，连接．
因为平面，平面平面，平面，所以，
因为，，所以，
因为，，是的中点，所以，，
所以是二面角的平面角．
在等边中，，，所以，
在中，因为，，所以，
在平行四边形中，，
所以，，
在中，，
所以，
故二面角的正弦值为．
【小问3详解】
如图，过点作，交延长线于点．
因为，，，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
又，，，平面，
所以平面，，
所以．
因为，平面，平面，所以平面．
又因为点在棱上，所以点到平面的距离为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
当时，最短，为，
可得直线与平面所成角的正弦值的最大值为，
当点与重合时，最长，为4，
可得直线与平面所成角的正弦值的最小值为，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．