2023-2024学年安徽省蚌埠市五河一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省蚌埠市五河一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.cs(−150°)=( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
2.下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是
( )
A. (0,π2)B. (π2,π)C. (π,3π2)D. (3π2,2π)
3.把函数y=cs(x+4π3)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值为
( )
A. π6B. 5π6C. 4π3D. π3
4.设a=sin5π7，b=cs2π7，c=tan2π7，则( )
A. a5.函数y=−sin2x−4csx+6的值域是( )
A. [2,10]B. [0,10]C. [0,2]D. [2,8]
6.已知x1，x2是函数f(x)=tan(ωx−φ)(ω>0,0<φ<π)的两个零点，且|x1−x2|的最小值为π3，若将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ的最大值为( )
A. 3π4B. π4C. 7π8D. π8
7.定义运算a*b为a*b=a,a≤bb,a>b，例如，1*2=1，则函数f(x)=sinx⋅csx的值域为( )
A. [−1,1]B. [− 22,1]C. [−1, 22]D. [−1,− 22]
8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x1,x2∈(−π6,π3)，且f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=( )
A. 12
B. 22
C. 32
D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为 5−12时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是(参考数据： 5≈2.236)( )
A. S1S2=θ2π−θ
B. 若S1S2=12，扇形的半径R=3，则S1=2π
C. 若扇面为“美观扇面”，则θ≈138°
D. 若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R=20，则此时的扇形面积为200(3− 5)
10.将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)，则下列说法正确的是( )
A. g(x)的周期为πB. g(x)的一条对称轴为x=π3
C. g(x)是奇函数D. g(x)在区间[−π3,π6]上单调递增
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列关于函数y=f(x)说法正确的有( )
A. 图象关于点(−π3,0)对称
B. 最小正周期为π
C. 图象关于直线x=π6对称
D. 在区间(π6,2π3)上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=sin(πx+φ)(|φ|<π)的图象过点(13,1)，若f(x)在[−2,a]内有5个零点，则a的取值范围为______．
13.已知函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在(0,π12)上单调递增，则ω的最大值是 ．
14.设函数f(x)=sin(2x+π4)，x∈[0,9π8]，若方程f(x)=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知tanα=−13，计算
(1)sinα+2csα5csα−sinα；
(2)12sinαcsα+cs2α；
(3)sinαcsα；
(4)(sinα+csα)2．
16.(本小题15分)
已知a>0，函数f(x)=−2asin(2x+π6)+2a+b，当x∈[0,π2]时，−5≤f(x)≤1．
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)=f(x+π2)且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．
17.(本小题15分)
如图所示，摩天轮的半径为50m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min.甲，乙两游客分别坐在P，Q两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)．
(Ⅰ)求劣弧PQ的弧长l(单位：m)；
(Ⅱ)设游客丙从最低点M处进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于时间t的函数解析式；
(Ⅲ)若游客在距离地面至少85m的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．
18.(本小题17分)
根据市场调查，某种商品一年内内余额的价格满足函数关系：f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)，其中x(x∈N*)为月份，已知3月份，该商品的价格首次达到最高9万元，7月份，该商品的价格首次达到最低5万元．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求此商品的价格超过8万元的月份．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+π,−2).若将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数y=f(kx)+1(k>0)的周期为2π3，当x∈[0,π3]时，方程f(kx)+1=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：cs(−150°)=cs150°=cs(180°−30°)=−cs30°=− 32．
故选：C．
由诱导公式化简后根据特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了诱导公式化简，特殊角的三角函数值等基本知识，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数单调性，是简单题．
本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．
【解答】解：令−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ，k∈Z．
则−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z．
当k=0时，x∈[−π3,2π3]，
(0,π2)⊆[−π3，2π3]，
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：把函数y=cs(x+4π3)的图象向右平移φ个单位，
所得的图象对应的函数解析式为y=cs(x−φ+4π3)，
再根据所得函数的图象正好关于y轴对称，可得−φ+4π3=kπ，k∈z．
故φ的最小正值为π3，
故选：D．
根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得，所得的图象对应的函数解析式为y=cs(x−φ+4π3)，再根据所得函数的图象正好关于y轴对称，可得−φ+4π3=kπ，k∈z，由此求得φ的最小正值．
本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：a=sin5π7=sin2π7，
∵π4<2π7<π2，∴tan2π7>1，
sin2π7>cs2π7，
∴b故选：B．
根据三角函数的诱导公式进行转化，结合三角函数的单调性和取值范围进行比较即可．
本题主要考查三角函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性进行转化是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：函数y=−sin2x−4csx+6=cs2x−4csx+5=(csx−2)2+1，
当csx=1时函数y取得最小值为2，
当csx=−1时函数y取得最大值为10，
所以函数y的值域是[2,10]．
故选：A．
利用同角的三角函数关系和二次函数的图象与性质，即可求出函数的最小值与最大值，得出值域．
本题考查了同角的三角函数关系和二次函数的图象与性质应用问题，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵x1，x2是函数f(x)=tan(ωx−φ)(ω>0,0<φ<π)的两个零点，
且|x1−x2|的最小值为πω=π3，∴ω=3，f(x)=tan(3x−φ)．
将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度后得到y=tan(3x+3×π12−φ)的图象．
再根据所得图象关于原点对称，则3×π12−φ=kπ，k∈Z，
∴φ的最大值为π4，
故选：B．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正切函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正切函数的图象和性质，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得f(x)=sinx⋅csx，
当x∈[π4+2kπ,54π+2kπ]，k∈Z，这时sinx≥csx，所以f(x)=csx，这时函数的值域为[−1, 22];
当x∈[−34π+2kπ,π4+2kπ]，k∈Z，这时sinx≤csx，所以f(x)=sinx，这时函数的值域为[−1, 22];
所以函数的值域为[−1, 22];
故选：C．
由x的范围可得角x的正弦值与余弦值的大小，由题意可得函数f(x)的解析式，进而求出各个区间的值域，进而求出函数的值域。
本题考查三角函数的性质及由自变量的范围求解函数的值域的方法，属于中档题。
8.【答案】C
【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可得A=1，T2=πω=π3+π6，∴ω=2，
结合五点法作图可得2⋅(−π6)+φ=0，∴φ=π3，f(x)=sin(2x+π3).
如果x1,x2∈(−π6,π3)，且f(x1)=f(x2)，结合2x+π3∈(0,π)，可得2x1+π3+(2x2+π3)2=π2，
∴x1+x2=π6，∴f(x1+x2)=f(π6)=sin(π3+π3)= 32，
故选：C．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得f(x1+x2)的值．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．还考查了正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，∵S1与S2所在扇形的圆心角分别为θ，2π−θ，∴S1S2=12⋅θ⋅r212(2π−θ)⋅r2=θ2π−θ，A正确；
对于B，∵S1S2=θ2π−θ=12，∴θ=2π3，∴S1=12⋅θ⋅R2=12×2π3×9=3π，B错误；
对于C，∵S1S2=θ2π−θ= 5−12，∴θ=(3− 5)π，∴θ≈(3−2.236)×180°≈138°，C正确；
对于D，S1=12⋅θ⋅R2=12×(3− 5)π×400=200(3− 5)π，D错误．
故选：AC．
首先确定S1，S2所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由S1S2=θ2π−θ=12可求得θ，代入扇形面积公式可知B错误；由S1S2=θ2π−θ= 5−12即可求得θ，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误．
本题主要考查扇形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)=sin(2x+π6)的图象，
故对于A：函数的最小正周期为2π2=π，故A正确；
对于B：当x=π3时，g(π3)=12≠±1，故B错误；
对于C：由于函数g(x)≠−g(x)，故C错误；
对于D：当x∈[−π3,π6]时，2x+π6∈[−π2,π2]，故函数在该区间上单调递增，故D正确．
故选：AD．
首先利用函数的图象的平移变换求出函数的关系式为g(x)=sin(2x+π6)，进一步利用函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的关系式的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，
可得A=2，由图象经过(0,1)点，可得2sinφ=1，∴φ=π6．
再根据五点法作图，可得ω×11π12+π6=2π，∴ω=2，故f(x)=2sin(2x+π6).
故函数f(x)的最小正周期为2π2=π，故B正确；
令x=−π3，求得f(x)=1≠0，故f(x)的图象不关于点(−π3,0)对称，故A错误；
令x=π6，求得f(x)=2，为最大值，故f(x)的图象关于直线x=π6对称，故C正确；
在区间(π6,2π3)上，2x+π6∈(π2,5π6)，f(x)单调递减，故D正确，
故选：BCD．
由题意，利用由顶点坐标求出A，由特殊点求出φ，由五点法作图求出ω，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出A，由特殊点求出φ，由五点法作图求出ω，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】[176,236)
【解析】解：由题意知，函数f(x)的图象过点(13,1)，所以sin(π3+φ)=1，
解得π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，
因为|φ|<π，所以φ=π6，所以f(x)=sin(πx+π6)，
当x∈[−2,a]时，可得πx+π6∈[−2π+π6,aπ+π6]，
因为f(x)在[−2,a]内有5个零点，结合正弦函数的性质可得3π≤aπ+π6<4π，
所以176≤a<236，即实数a的取值范围是[176,236)．
故答案为：[176,236)．
根据题意求得f(x)=sin(πx+π6)，由x∈[−2,a]时，得到πx+π6∈[−2π+π6,aπ+π6]，结合正弦函数的性质，列出不等式3π≤aπ+π6<4π，即可求解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查正弦型函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查利用正弦型函数的单调性解决参数问题，属于中档题．
根据正弦型函数的单调性即可求解．
【解答】
解：∵函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(0,π12)上单调递增，
∴π6<ωx+π6<π12ω+π6≤π2，
∴0<ω≤4，
∴ω的最大值为4．
故答案为4．
14.【答案】7π4
【解析】解：根据函数f(x)=sin(2x+π4)，
由于x∈[0,9π8]，所以2x+π4∈[π4,5π2]；
画出函数f(x)的图象，
如图所示：
又函数的图象可得：当 22≤a<1时，方程f(x)=a恰有三个交点；
由2x+π4=π2时，解得x=π8；
当2x+π4=3π2时，解得x=5π8；
由图象可知：点(x1,0)和(x2,0)关于x=π8对称；
点(x2,0)和点(x3,0)关于x=5π8对称；
所以x1+x2=2×π8=π4，x2+x3=2×5π8=5π4，
故2x1+3x2+x3=2(x1+x2)+(x2+x3)=7π4．
故答案为：7π4．
直接利用正弦型函数的性质对称性的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题，
15.【答案】解：∵tanα=−13，
(1)sinα+2csα5csα−sinα=tanα+25−tanα=−13+25−(−13)=516；
(2)12sinαcsα+cs2α=sin2α+cs2α2sinαcsα+cs2α=tan2α+12tanα+1=(−13)2+12×(−13)+1=103；
(3)sinαcsα=sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=−13(−13)2+1=−310；
(4)(sinα+csα)2=sin2α+cs2α+2sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α+1+2tanαtan2α+1=(−13)2+1+2×(−13)(−13)2+1=25．
【解析】本题考查了三角函数的基本关系式、“弦化切”等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
(1)利用商数关系和“弦化切”即可得出结果；
(2)把分子用sin2α+cs2α代换，利用“弦化切”即可得出结果．
(3)把分母看作“1”，用sin2α+cs2α代换，利用“弦化切”即可得出结果．
(4)把分母看作“1”，再用sin2α+cs2α代换，利用“弦化切”即可得出结果．
16.【答案】解：f(x)=−2asin(2x+π6)+2a+b，
(1)当x∈[0,π2]时，2x+π6∈[π6,7π6].
∴−12≤sin(2x+π6)≤1．
∴−2a≤−2asin(2x+π6)≤a．
则b≤f(x)≤3a+b．
∵−5≤f(x)≤1．
∴b=−53a+b=1，
解得：a=2，b=−5
得f(x)=−4sin(2x+π6)−1．
(2)g(x)=f(x+π2)，即g(x)=−4sin[2(x+π2)+π6]−1=−4sin(2x+7π6)−1=4sin(2x+π6)−1．
∵lg g(x)>0，即lg g(x)>lg1．
可得：4sin(2x+π6)−1>1．
∴sin(2x+π6)>12．
可得：2kπ+π6<2x+π6≤2kπ+5π6，k∈Z．
求g(x)的单调增区间．
∴2kπ+π6<2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z．
解得：kπg(x)的单调增区间为(kπ,kπ+π6]，k∈Z．
求g(x)的单调减区间．
∴2kπ+π2≤2x+π6<2kπ+5π6，
解得：kπ+π6≤x单调减区间为[kπ+π6,kπ+π3)，k∈Z．
【解析】(1)当x∈[0,π2]时，求出内层函数范围，求解f(x)的值域，根据−5≤f(x)≤1.即可求解a，b的值；
(2)由g(x)=f(x+π2)求解g(x)的解析式，lg g(x)>0，即lg g(x)>lg1.即可求g(x)的单调区间．
本题考查了三角函数的图象即性质的运用和化简能力，解析式的确定．着重考查了对数不等式的求法，讨论三角函数的范围，再结合三角函数的性质求解单调区间，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∠POQ=2π×324=π4，
由弧长公式可得，l=π4×50=12.5πm；
(Ⅱ)设H=Asinωt+φ+B，其中A>0,ω>0,
由题意，T=12，
∴ω=2πT=π6，
A=r=50，B=OM=110−50=60，
∴H=50sinπ6t+φ+60，
当t=0时，可得sinφ=−1，
∴φ=−π2+2kπ,k∈Z，得H=50sinπ6t−π2+600⩽t⩽12；
(Ⅲ)令50sinπ6t−π2+60⩾85，
∴sinπ6t−π2≥12，
则π6+2kπ≤π6t−π2≤5π6+2kπ，k∈Z，
∴4+12k⩽t⩽8+12k,k∈Z，
而甲乙相差324×12=32min，
又4−32=52min，∴有52min甲乙都有最佳视觉效果．
【解析】本题考查三角函数模型的应用，考查运算求解能力，是中档题．
(Ⅰ)求出∠POQ，再由弧长公式求l；
(Ⅱ)设H=Asinωt+φ+B，由题意求得ω、A与B，得到H=50sinπ6t+φ+60，当t=0时，可得sinφ=−1，求得φ，则函数解析式可求；
(Ⅲ)由50sinπ6t−π2+60⩾85，结合甲乙相差324×12=32min，即可求得甲乙都有最佳视觉效果的时间．
18.【答案】解：(1)由题可知T2=7−3=4，∴T=8，∴ω=2πT=π4．
又9+52=B，9−52=A，∴A=2 B=7，
∴f(x)=2sin(π4x+φ)+7．
又函数的图象过点(3,9)，代入f(x)可得2sin(3π4+φ)+7=9，∴sin(3π4+φ)=1，
∴3π4+φ=π2+2kπ，k∈Z．
又|φ|<π2，∴φ=−π4，∴f(x)=2sin(π4x−π4)+7，x∈N，且1≤x≤12．
(2)令f(x)=2sin(π4x−π4)+7>8，∴sin(π4x−π4)>12，∴2kπ+π6<π4x−π4<5π6+2kπ，k∈Z，
可得53+8k∴x=2，3，4，10，11，12，
故2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元．
【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A、B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
(2)由题意可得sin(π4x−π4)>12，再利用正弦函数的图象和性质，求得x的范围，可得结论．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A、B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+π,−2)，
∴A=2，T2=π，即T=2π=2πω，则ω=1，即f(x)=2sin(x+φ)，
若将函数f(x)的图象向左平移π3个单位后所得函数图象关于原点对称，
即y=2sin(x+π3+φ)是奇函数，∵|φ|<π2，∴−π2<φ<π2，
则−π6<φ+π3<5π6，则φ+π3=0，即φ=−π3，
则函数f(x)的解析式为，f(x)=2sin(x−π3)；
(2)函数y=f(kx)+1=2sin(kx−π3)+1，
∵函数y=f(kx)+1(k>0)的周期为2π3，∴2πk=2π3，解得k=3，
则y=f(3x)+1=2sin(3x−π3)+1，即f(3x)=2sin(3x−π3)，
设h(x)=2sin(3x−π3)
若x∈[0,π3]，则3x∈[0,π]，3x−π3∈[−π3,2π3]，
则当x=π3时，y=2sin2π3=2× 32= 3，
则要使方程f(kx)=m恰有两个不同的根，则 3≤m<2，即{m| 3≤m<2}．
【解析】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数性质的考查，根据条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键，属于中档题．
(1)根据函数的图象坐标求出函数的周期和振幅，结合函数是奇偶性进行求解即可．
(2)根据函数是周期求出k的值，利用函数与方程之间的关系进行求解即可．