重庆市酉阳第二中学校2024−2025学年高一下学期4月质量检测 数学试题（含解析）

这是一份重庆市酉阳第二中学校2024−2025学年高一下学期4月质量检测 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设复数，则的虚部为（ ）
A．4B．-4C．4iD．-4i
2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是
A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱
3．已知向量，若，则（ ）
A．B．1C．2D．3
4．已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，且，，则
D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分
5．一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
7．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台，下列说法错误的是（ ）

A．高为B．体积为
C．表面积为14πD．轴截面面积为
8．已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则的取值范围是
A．[，0）B．[，0]C．[，1）D．[，1]
二、多选题
9．已知是复数，下列说法正确的是
A．B．若，则或
C．D．若，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．两个非零向量和，若，则与垂直
C．若，则与平行的单位向量的坐标为或
D．已知，，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则
11．如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为9
C．的取值范围是
D．若，E为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题
12．在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ．
13．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是 ．
14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则 ；若，则的值为 .
四、解答题
15．已知向量，，且与的夹角为．
（1）求及；
（2）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
16．如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：；
（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．
17．在锐角中，角A，B，C所对的边a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积；
（3）若，求的周长的取值范围.
18．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成的角；
（3）求直线到平面的距离.
19．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值；
（3）如图2，过点的直线与边分别交于点，设，；
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意复数，则的虚部为-4.
故选B.
2．【答案】D
【详解】根据旋转体的定义，可知用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，
根据棱柱的定义，可知平面截棱柱得到的截面为一个多边形，一定不会产生圆面，
故选D.
3．【答案】D
【详解】由题意知，向量，所以，
因为，所以，即，所以，
故选D.
4．【答案】D
【分析】对于A，与相交、平行或异面；对于B，或；对于C，由于直线未必相交，故无法判定与平行；对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分．
【详解】直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，
对于A，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，且，，由于直线未必相交，所以与不一定平行，故C错误；
对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分，故D正确
故选D．
5．【答案】B
【详解】作出示意图如图所示，，
，，则.
由正弦定理，可得，则.
所以这时船与灯塔的距离为.
故选B
6．【答案】C
【详解】由题意，直三棱柱中，，，，画出长方体，如图所示：
则长方体的外接球即为三棱柱的外接球，所求的外接球的直径为体对角线，则外接球的表面积是，
故选C
7．【答案】B
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
依题意，，解得，
又圆台的母线长，则圆台的高为，故A正确；
圆台的体积为，故B错误；
圆台的表面积为，故C正确；
圆台的轴截面面积为，故D正确.
故选B.
8．【答案】A
【详解】建立如图所示的坐标系，
到直线的距离，
则，
的取值范围是，
故选A.
9．【答案】BC
【详解】设，.
对A：，，显然，A错误；
对B：，
若，则， 解得或，
也即或，故B正确；
对C：，；
，，故C正确；
对D：若，则可取，但，故D错误.
故选BC.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，当时，满足，，但得不出，故A错误；
对于B，由两边取平方，，
整理得，故与垂直，即B正确；
对于C，由可得，则与平行的单位向量为，
即或，故C正确；
对于D，因在上的投影向量为，
依题意，，解得，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】ABD
【详解】由题意，易得，.
对于A：圆锥的侧面积为，故A正确；
对于B：由图知，当时，的面积最大，此时，
则三棱锥体积的最大值为：，故B正确；
对于C：当点B与点A重合时，为最小角；
当点B与点C重合时，，达到最大值，又因为点B与A，C不重合，
则.
又，可得，故C错误；
对于D：因为，，，所以.
又，所以为等边三角形，∴.
将以为轴旋转到与共面，
得到，则为等边三角形，.
如图：.
因为，，
由余弦定理，，
则，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】复数对应的向量分别是,则
.则向量对应的复数为.
13．【答案】
【详解】直观图是一个平行四边形，其中，，，
所以直观图的面积为
又，所以原视图的面积为
14．【答案】/0.75
【详解】设外接圆半径为，则，
由正弦定理，可知，
即，由于是锐角，故，
又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故，
所以；
设，
则，
由于，不妨假设，
由余弦定理知，
设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 ,
故 ,
则得，
所以，
同理可得，
所以.
15．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为，
则，解得，
所以，，则，
故.
（2）由（1）可得，且，
因为与所成的角是锐角，则，解得，
且向量与不共线，则，即，
因此，实数的取值范围是.
16．【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，当点是的中点时满足题意. 证明见解析解.
【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以；
（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明：
因为、分别是、的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，从而，
又平面，平面，所以平面.
又因为，所以，平面平面
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由和正弦定理，可得，
即（*），又由余弦定理，可得，
∵，∴；
（2）∵，，∴，代入（*），可得，
解得，∴，
∴；
（3）由（1）可知，由正弦定理可得，
∴，，
∴
，
∵为锐角三角形，∴，解得，
则，所以，
则，
故的周长，
即的周长的取值范围.
18．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【详解】（1）因为底面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，是侧棱的中点，所以，
又，平面，平面，所以平面.
（2）
连，，两直线交于点，连，
因为底面是正方形，所以是的中点，
又分别是的中点，所以，
所以或其补角就是异面直线与所成的角，
因为为正方形，且，
所以，，
，
故，，，
即是正三角边，
所以.
所以异面直线与所成的角为.
（3）因为，平面，平面，所以平面，
则直线到平面的距离等于点到平面的距离，
又底面，平面，所以，
又底面为正方形，，
，平面，所以平面，
且平面，所以，则，
则，
设点到平面的距离为，
由可得，
即，解得，
所以直线到平面的距离为.
19．【答案】（1），
（2）
（3）（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）因为，所以，
所以，
又，且、不共线，所以，；
（2）因为、、三点共线，所以存在实数使得，
所以，
因为，即，
所以，
又因为，
即，又、不共线，
所以，解得，
所以．
（3）（i）根据题意．
同理可得：，
由（2）可知，，
所以，
因为，，三点共线，所以，
化简得，又因为，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
（ⅱ）根据题意，，
，
所以
，
由（i）可知，则，
所以，
所以，
易知，当时，有最大值，又因为，
所以.