重庆市部分学校2024~2025学年高二下册四月质量检测数学试题【附解析】

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一、单选题
1. 如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是，那么之间的关系为（ ）

A. B.
C D.
2. 已知某地区高中生的身高近似服从正态分布，若，则（ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
3. 在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现如图形状，被后人称为“三角垛”．已知＂三角垛＂的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，设各层球数构成数列，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列为等比数列且，设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 或18B. C. 18D. 2
5. 展开式中的系数为（ ）
A. 200B. 210C. 220D. 230
6. 在四面体中，，且，E，F分别为，的中点，则与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止，则下列说法错误的是（ ）
A. 甲从M必须经过到达N处的方法有9种
B. 甲乙两人在处相遇概率为
C. 甲、乙两人相遇的概率为
D. 甲从M到达N处的方法有120种
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 可表示为
B. 5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手10次
C. 若把英语单词“happy”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种
D. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有8种不同的分派方法
10. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，
B. 直线与平面所成角的正弦值最大值为
C. 当平面截直四棱柱所得截面面积为时，
D. 四面体的体积为定值
11. 若对一切恒成立，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题
12. 某公司收集了某商品销售收入（单位：万元）与相应的广告支出（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如图，并利用线性回归模型进行拟合．若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法错误的是________．

①决定系数变小 ②残差平方和变小
③相关系数的值变小 ④自变量与因变量相关性变弱
13. 在某抽奖活动中，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球2个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球3个，黄球1个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个．要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束．若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品．若甲为参与者，在其第一次抽取的不是红球的条件下，获得奖品的概率为________．
14. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12,；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为，则的取值范围是________
四、解答题
15. 现将近几日某地区门锁销售的数量进行统计，得到如下表格：
（1）若y与x线性相关，求出y关于x经验回归方程，并预测第10天该地区门锁的销售数量；（参考公式和数据:）
（2）某人手里有三把钥匙，其中只有一把可以打开门锁，他现在无法分清哪一把能够打．记X为他有放回的进行开锁时的开锁次数，Y为他无放回的进行开锁时的开锁次数．求的概率．
16. “马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：
附：，其中．
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？
（2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．
①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；
②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望．
17. 已知椭圆的离心率为，E的左顶点N到点的距离为．
（1）求椭圆E的标准方程．
（2）过点M作斜率和为2的直线，，直线，分别与E交于A，B两点和C，D两点．
（i）若（点B在点A的下方）的面积为，求直线的方程；
（ii）设AB，CD中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求证.
19. 新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学生有100人，其中的学生得部分分，的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签．假设每个学生在第11题得分情况相互独立．
（1）从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为个，求的分布列和数学期望；
（2）从第11题得分的100名学生中随机抽取人，记这人得到书签的总数为个的概率为，求的值；
（3）已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应该提前准备多少个书签比较合理？
第x天
1
2
3
4
5
6
7
数量y
200
260
280
350
420
440
500
不喜爱
喜爱
合计
男性
90
120
女性
25
合计
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828