重庆市酉阳第二中学2024-2025学年高一上学期10月质量检测数学试卷（Word版附解析）

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满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合用列举法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可.
【详解】由题意可得：集合.
故选：B．
2. 命题，，则命题的否定形式是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．
【详解】命题，，为全称量词命题，
则该命题的否定为：，.
故选：C．
3. 下列四组函数中，与不相等的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的三要素：定义域，对应关系，值域进行判断即可.
【详解】对A：因为，且两个函数定义域相同，所以与表示相同的函数；
对B：因为两个函数只是表示自变量的字母不同，函数的定义域，对应关系都一样，所以它们表示相同的函数；
对C：因为，所以它们表示相同的函数；
对D：由或，所以函数的定义域为，
由，所以的定义域为：，所以两个函数定义域不同，所以与表示不同的函数.
故选：D
4. 已知p：，那么命题p一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】解得.
对于选项A，，反之不能推出，所以是命题p的一个充分不必要条件，故A错误；
对于选项B，，反之不能推出，所以是命题p的一个必要不充分条件，故B正确；
对于选项C，不能推出，反之也不能推出，所以是命题p的一个既不充分也不必要条件，故C错误；
对于选项D，是命题p的充要条件，故D错误.
故选：B
5. 若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“，”是真命题得到方程有解，然后根据根的判别式列方程求解即可.
【详解】因为“，”是真命题，所以，解得.
故选：C.
6. 设函数若为奇函数，则（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分段函数得，再利用为奇函数得，，代入计算即得.
【详解】因是奇函数，
故.
故选：A.
7. 若正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】整理已知等式，利用基本不等式建立不等式，解出即可得答案.
【详解】∵
∴
∵
∴
∴
∴，当且仅当时取等号，
故选：B
8. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数在各段上的单调性结合分段点的高低得关于参数的不等式，从而可求其范围.
【详解】根据题意，因为在上满足，
则在上单调递减，
而，
则有，解得，
即实数的取值范围为．
故选：B．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据不等式的性质进行判断可得结论.
【详解】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确；
同理：，故BC正确.
如，，但不成立，故D错误.
故选：ABC
10. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用基本不等式逐个选项判断正误即可．
【详解】对于A，，，当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B，C，由，可得，当且仅当时等号成立，故B正确，C错误；
对于D，，，
，当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：AB.
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 函数，若为奇函数，则，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据并集的结果，可得，根据子集个数的求法，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，根据元素的个
数，求得a的值，即可判断B的正误；根据二次方程的判别式及韦达定理，结合充分、必要条件的定义，可判断C的正误；根据奇
函数的性质及条件，代入求解，可得a，b值，即可判断D的正误.
【详解】选项A：因为，所以，即集合N为集合M的子集，
又集合，所以集合M的子集个数为，故A正确；
选项B：当时，，解得，此时集合A中只有一个元素，符合题意；
当时，判别式，解得，
综上，a值为0或，故B错误；
选项C：当时，，故该二次方程有两个不相等实根，且设为，
由韦达定理得，所以一元二次方程有一正一负根，充分性成立；
当一元二次方程有一正一负根时，，
可得，必要性成立，
所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确；
选项D，因为为奇函数，，
所以，
所以，
则，
所以，
所以，，
解得，，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示集合为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据图形及集合的交集、补集运算求解.
【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为,
又，，，
所以
故答案为：
13. 已知函数定义域为，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】结合抽象函数与具体函数定义域的求法，解不等式组即可得出答案.
【详解】因为的定义域为，
要使有意义，
则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14. 设函数满足：对任意的非零实数x，均有．则在区间上的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】原式当中代入，可解出，，从而写出表达式，结合基本不等式可求出最大值.
【详解】因为对任意非零实数，均有，
所以，解得，
所以，解得，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
即在上的最大值为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，.
（1）求，；
（2）求，.
【答案】（1），或
（2）或，
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，可得集合B，根据交集、并集运算的概念，即可得答案.
（2）先求得，，根据并集、交集运算的概念，即可得答案.
【小问1详解】
因为，解得或，
所以集合或，
所以，或
【小问2详解】
由（1）得，又或，
所以或，
16. 已知集合、集合（）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；
（2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
【小问2详解】
∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
17. 经过长期观测得到：在交通繁忙时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【答案】（1）当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
（2）大于千米/小时且小于千米/小时．
【解析】
【分析】（1）根据题意将表达式整理可得，利用基本不等式即可求得当千米/小时时，车流量最大约为千辆/时；
（2）将不等式整理可得，解得.
【小问1详解】
依题意，由于，
所以
当且仅当，即时，上式等号成立，
此时（千辆/时）．
当千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
【小问2详解】
由条件得，
整理得，即，
解得．
所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于千米/小时且小于千米/小时．
18. 已知函数，且.
（1）的解析式，并写出其定义域；
（2）用函数单调性的定义证明：在上单调递减.
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）已知代入解方程组可得；
（2）根据单调性的定义证明；
（3）不等式转化为，利用（2）的结论求得的最小值即可得参数范围．
【小问1详解】
由已知可得，解得，，
∴．
【小问2详解】
任取，，且，则，
∵，，且，
∴，，，
∴，即，
∴在上单调递减．
【小问3详解】
由，不等式可化为，
因为对任意，不等式恒成立，即，
由（1）知，函数在为单调递减函数，
所以，所以，即实数的取值范围.
19. 已知集合A为非空数集，定义：，
（1）若集合，直接写出集合S，T；
（2）若集合，，且，求证：；
（3）若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值．
【答案】（1），.
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合；
（2）根据两集合相等即可找到的关系；
（3）通过假设集合，其中，求出相应的，通过建立不等关系，进而求出相应的值．
【小问1详解】
由题设中的定义可得：，.
【小问2详解】
取，则，而，
且，故，又，
而均为中元素且非零，故即，
故.
【小问3详解】
设，其中，
不妨设，
则，
所以，
因为，
又因为，所以，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
所以，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，
则，，
依题意有，解得，
故的最小值为，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值为.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.