重庆市酉阳第二中学校2024~2025学年高一下册4月质量检测数学试题【附解析】

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满分：150分 考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，则的虚部为（ ）
A. 4B. -4C. 4iD. -4i
2. 用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是
A 圆锥B. 圆柱C. 球D. 棱柱
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
4. 已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，且，，则
D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分
5. 一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 直三棱柱中，，，，则它的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
7. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台，下列说法错误的是（ ）

A. 高为B. 体积为
C. 表面积为14πD. 轴截面面积为
8. 已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则的取值范围是
A. [，0）B. [，0]C. [，1）D. [，1]
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是复数，下列说法正确的是
A. B. 若，则或
C. D. 若，则
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 两个非零向量和，若，则与垂直
C. 若，则与平行的单位向量的坐标为或
D. 已知，，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则
11. 如图，为圆锥底面圆O直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为9
C. 的取值范围是
D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______．
13. 如图，平行四边形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是___________．
14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知向量，，且与的夹角为．
（1）求及；
（2）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
16. 如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：；
（2）线段AD上否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．
17. 在锐角中，角A，B，C所对的边a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积；
（3）若，求的周长的取值范围.
18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成的角；
（3）求直线到平面的距离.
19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数值；
（3）如图2，过点的直线与边分别交于点，设，；
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围．