重庆市南开中学校2024−2025学年高三下学期第七次质量检测（3月）数学试题（含解析）

这是一份重庆市南开中学校2024−2025学年高三下学期第七次质量检测（3月）数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合,，则集合的真子集个数为（ ）
A．3B．5C．7D．15
2．若为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
3．设 为非零向量，则 “存在 ，使得 ” 是 “ ” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．在等比数列中，若，则（ ）
A．1B．9C．1或9D．或9
5．已知随机变量 的分布列如下：
若，则（ ）
A．B．C．D．
6．若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，是椭圆的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数 的定义域为 ，若函数 是奇函数， ． 记 的导函数为 ，则 （ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某班级的一次测验后， 随机抽取 7 名同学的成绩作为样本， 这 7 名同学的成绩分别为 80， 82， 83， 84， 85， 86， 88， 则（ ）
A．根据样本数据， 估计这次考试全班成绩的上四分位数为 86
B．根据样本数据， 估计这次考试全班成绩的标准差为 6
C．当该样本中加入一个 84 形成新样本时，新样本数据的方差小于原样本数据的方差
D．若该班成绩 服从正态分布 ，用这 7 名同学的成绩估计总体，则有
10．如图 1，在中，分别在上，且 ．将沿翻折得到图2，其中．记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．直线与所成角的正切值为
C．
D．
11．已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线被圆截得的弦长为 ．
13．某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到 5 个不同班级指导学生体育活动，要求每位体育老师至少指导一个班级，每个班级只有一位体育老师指导，则不同的分配方案有 种．
14．如图，边长为 的一组正三角形 的底边 依次排列在 轴上，其中 与坐标原点 重合． 若所有正三角形顶点 在第一象限，且均落在抛物线 上，则第 个正三角形的边长 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四棱锥中，，，，，二面角大小为 ．
(1)求的长度；
(2)证明：平面．
16．2025年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人Unitree A1具备较强的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月到6月的销售量如下表所示：
用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销量的方差．
(1)求的值(结果精确到0.1)；
(2)求的值，并根据（1）的结果计算5月销售量的残差．
附： 回归系数，相关系数 ．
17．已知函数，若，且对都有．
(1)求的解析式；
(2)若函数，且过点有3条直线与函数的图象相切．求的取值范围．
18．如图， 是抛物线 上一点，过点 的直线 与 轴分别交于 两点，且 是线段 的中点．

(1)证明：直线 是抛物线 的切线；
(2)若点 是抛物线 上异于点 的动点， ， 分别在线段 ， 上，且 ， 交 于点 ．
①证明： 点 是 的重心；
②若直线 过点 ，求 的最小值．
19．一般地，任何一个复数 可以写成 ，其中 是复数的模， 是复数的辐角，我们称 叫做复数 的三角形式． 利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算．如： ，
(1)若复数 ，求复数 的实部和虚部；
(2)利用复数的三角形式计算：的值；
(3)若复数 满足 ，记复数 证明： 且 ．
参考答案
1．【答案】C
【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：.
故选C.
2．【答案】D
【详解】取，则为第二象限角，，AB选项错误；
因为为第二象限角，则，，所以，，C错D对.
故选D.
3．【答案】A
【详解】由题意，存在正数，使得，所以，同向，
所以，即充分性是成立的；
反之，当非零向量夹角为锐角时，满足，而不成立，即必要性不成立，
所以“存在 ，使得 ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选A.
4．【答案】A
【详解】因为数列为等比数列，
则，则，
又因为，所以或9，
且，可知同号，所以.
故选A.
5．【答案】C
【详解】由分布列可得，解得，
由期望可得，解得.
故选C.
6．【答案】C
【详解】，
由题意可知是的解，即，
∴，当时，，
，
∴令，即，，
∴函数的对称轴为，
当时，.
故选C.
7．【答案】A
【详解】椭圆中，，，，∴，
∵，
∴ ，
设，则，解得，即，
∴双曲线的渐近线的斜率，
∴双曲线的离心率.
故选A.
8．【答案】B
【详解】由，得；
因为是奇函数，所以，
由，得，则；
由，得，所以，.
由，得，由，得，
由，得，所以.
因此，.
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】选项A：因为，所以上四分位数为第6个数，即86，故A正确；
选项B：，
，
则标准差，故B错误；
选项C：因为新平均数为84，所以新方差为，故C正确；
选项D：，因为，，所以，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】ABD
【详解】选项A：由图1，在直角中，，，
因为，所以，且，
，，，，
由图2，在直角中，，
因为，且，所以，
所以在直角中，，又，
所以，所以，
又因为，，所以平面，
又平面，所以；
在中，，，，所以，
即，又，所以平面，故A正确；
选项B：因为，所以即为所求，
因为平面，平面，所以，
所以在直角中，，故B正确；
选项C：由上可知平面，，则的中点到距离相等，
因为平面，，则的中点到距离相等，所以为的中点，
同理可知为的中点，
所以，而与不平行，所以与不平行，故C错误；
选项D：由选项C可知：球的半径，球的半径，
所以，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】令，则，，，.
A选项：，故A正确；
B选项：，故B错误；
C选项：，故；，故；从而，故C正确；
D选项：由A知，则，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
所以所求弦长为.
13．【答案】150
【详解】将5个班级分成三组，有和两种类型，
故有种不同的分配方案.
14．【答案】
【详解】记为数列的前项和，则，
即，整理得，
当时，可得，
所以，即，
因为，所以，
又因为，即数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以数列的通项公式为．
15．【答案】(1)2
(2)证明见详解
【详解】（1）取中点，则，
∴，又∵且，
∴四边形为矩形，即且，
又∵，∴且，
∵平面平面，平面，平面，
∴二面角为，即，
在中，.
（2）由（1）可知，∴，
又∵，，平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
又平面，平面，，
∴平面.
16．【答案】(1)
(2)；残差为
【详解】（1）由表可得：，，
因为，可得，
又因为，
可得，
所以.
（2）由表可知：，
由（1）可知回归直线方程为，且，
则，解得，
此时，，可得，符合题意，
所以，
对于回归直线方程，令，可得，
所以5月销售量的残差.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，①，
，
即，
，所以，结合①可得，
所以.
（2），设切点为，
所以切线方程为，
代入得，
，
设，
，
所以在区间单调递减，
在区间单调递增，
，
，
画出的图象如图所示，
因为过点有条直线与函数的图象相切，
即与的图象有个交点，所以，
综上，的取值范围是.
18．【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【详解】（1）设，因为是线段的中点，所以.
则，所以直线的方程为，即.
联立，整理得，所以，
因此，直线是抛物线的切线.
（2）①因为三点共线，所以.
又因为，设，则，
所以，
所以，
因为是线段的中点，所以，即，
所以，所以是的重心.
②设直线，.
联立，整理得，所以，则，
由，，，得，
所以
令，
则，
因此，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以当时，取最小值，最小值为，
所以当时，取最小值.
19．【答案】(1)实部为，虚部为0；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1），
，
复数的实部为，虚部为0；
（2）由可得：
，
令，则
，
，
（3）由可得:，
，，
令,则.
，
又
综上，．
2
3
5
月份
2
3
4
5
6
销量
42
53
66
109