山东省淄博市第七中学2024−2025学年高一下学期4月阶段性检测 数学试题（含解析）

这是一份山东省淄博市第七中学2024−2025学年高一下学期4月阶段性检测 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．给出下列四个命题，正确的是（ ）．
A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（ ）

A．3B．4C．5D．6
5．若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．下列命题中不正确的是（ ）．
A．在中，，则
B．在锐角中，恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
7．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F分别是边BC，AB上的点，且满足＝λ，则当＝0时，λ的值所在的区间是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若是纯虚数，则
D．若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则
10．若是函数图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是函数图象的一条对称轴
C．点是函数图象的一个对称中心
D．函数在上单调递减
11．已知向量，将绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到的位置，则（ ）.
A．B．
C．D．点坐标为
三、填空题
12．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 ；原平面图形的周长是 ．
13．已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影向量的模是 ．
14．定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝ (a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a⊗b＝b⊗a；
②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)；
③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；
④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是 ．(填上所有正确结论的序号)
四、解答题
15．如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，).
（1）当时，用向量，表示向量；
（2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值.
16．如图，在平面四边形中，．
（1）若，求；
（2）若，求四边形的面积．
17．在中，角，，所对的边分别为，，，，，且．求：
（1）求的值；
（2）求三角函数式的取值范围．
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，求边上的中线长度的最小值；
（3）若，，若为角平分线，求的长度．
19．已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数的最大值为2；
②函数的图象可由的图象平移得到；
③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式；
（2）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，
①求面积的最大值．
②求周长的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】，
复平面内对应的点位于第四象限.
故选D
2．【答案】D
【详解】解：对于A，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱，
当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A错误；
对于B，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B错误；
对于C，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C错误；
对于D，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直，
所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D正确.
故选D.
3．【答案】B
【详解】因，所以.
故选B
4．【答案】A
【详解】设，则
，
又因为G是的重心，故，
所以有.
故选A
5．【答案】B
【详解】由题意，函数，
因为，可得，
要使得函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，
则满足，解得，
所以的取值范围为.
故选B.
6．【答案】C
【详解】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，A正确；
对于B，锐角中，，则，
故，B正确；
对于C，在中，若，则，
即得，故或，
故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，，，则，
故，，结合，可知是等边三角形，D正确，
故选C
7．【答案】D
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选D

8．【答案】B
【详解】在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，
可得
所以，，
所以
又，所以
则
所以
代入可得：
即2λ2－7λ＋2＝0，解得(舍去)或.
故选B
9．【答案】BC
【详解】解析对于A，，A错误；
对于B，∵，∴．
又，
∴，B正确；
对于C ∵为纯虚数，∴，解得，C正确；
对于D，由题意得，，∴，
∴，D错误．
故选BC.
10．【答案】ABC
【详解】对于A，因为是函数图象的一条对称轴，所以，所以，得，所以A正确，
对于B，由A选项可知，则，所以是函数图象的一条对称轴，所以B正确，
对于C，因为，所以点是函数图象的一个对称中心，所以C正确，
对于D，当时，，即，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以D错误，
故选ABC
11．【答案】ABC
【详解】因为绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到，
所以与的夹角为，故，A选项正确；
由题意知，,所以，即，故B正确；
因为,,
所以由数量积的定义知，故C正确；
若点坐标为，则，故D不正确.
故选ABC
12．【答案】
【详解】直观图中，梯形的下底长为，
作出原图形如下图所示：
由图可知，原图形为直角梯形，且该梯形的上底长为，下底长为，高为，，
因此，原图形的面积为.，
原图形的周长为.
13．【答案】
【详解】依题意得，，
所以，
所以向量在向量方向上的投影向量的模是.
14．【答案】①④
【详解】当共线时，
当不共线时，，故①正确；
当时，时，，，故②不正确；
当与共线时，则存在与不共线，则，
，显然，故③不正确；
当与不共线时，
当与共线时，设，，，故④正确，
故答案为①④
点睛：本题考查了对新定义的理解和应用，难度较大，解题的关键是掌握向量的相关运算法则．对于①，分共线和不共线两种情况求出的结果，再与右边比较即可判断正确；对于②，同样分别算出和，比较即可，接下来利用同样的方法分析其他结论．
15．【答案】（1）＋
（2），
【详解】（1）解：因为当时，＝，
所以＝ (＋)
＝ [(－)＋(＋)]
＝
＝＋
（2）因为＝(＋)
＝[(－)＋(＋)]
＝
＝
＝＋，
由于||＝2，，＝2，知||＝||＝2，
∴||2＝2＋2＋
＝＝，
因为，所以当λ＝时，||2有最小值，
即||有最小值.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）连接，在中，，
且，，所以．
在中，由余弦定理得，
所以．
所以
（2）在中，由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
所以四边形的面积为
17．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）∵，∴，根据正弦定理，
得，
又，
∴，∵，∴，
又∵，∴，．
（2）原式
，
∵,∴,
∴,∴,
∴的值域是．
18．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得，
即，而，则，又，
所以.
（2）由（1）知，由余弦定理得，
，当且仅当取等号，则，又，
因此，
所以当时，边上的中线取得最小值.
（3）依题意，，，，
由，得，
则，解得，
所以的长度为.
19．【答案】（1）选①③，；
（2）①；②
【详解】（1）若②成立，则的最大值为，分析条件知①②矛盾，
若③成立，则的最小正周期为，而②成立，则其最小正周期为，则②③矛盾，故满足的条件为①③，
由③知，则，故.
（2）①，由，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，
又，故面积最大值为.
②，，，，，所以，
由，得，，
，
因为，所以，，
所以，即．即周长范围是．