山东省淄博市淄博中学2024−2025学年高二下学期4月阶段性检测数学试题（含解析）

这是一份山东省淄博市淄博中学2024−2025学年高二下学期4月阶段性检测数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则（ ）
A．B．1C．D．
2．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16B．8C．4D．2
3．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ）
A．15B．101C．21D．19
4．已知为函数的导函数，且．若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．在数列中，，（，），则（ ）
A．B．1C．D．2
6．已知数列的首项为1，且，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前100项和为（ ）
A．11449B．11195C．11209D．11202
7．已知函数在区间上单调递减，则a的值可能为（ ）
A．B．C．D．e
8．已知函数与的图象如图所示，则函数（ ）
A．在区间上是减函数B．在区间上是减函数
C．在区间上是减函数D．在区间上是减函数
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知数列的前项和为，，且，则（ ）
A．
B．是等比数列
C．是等差数列
D．存在，，且，使得，，成等差数列
11．已知数列的通项公式为，，记为数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数的图象在点处的切线方程为，则 ．
13．若数列满足，，则 ．
14．若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的最大值.
16．已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)已知，求数列的前项和．
17．已知数列的前项和为，满足，且，数列满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和．
18．已知数列满足，．设．
(1)求数列通项公式；
(2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数．
(1)当时，求的单调性；
(2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，
又，所以.
故选C.
2．【答案】C
【解析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．
【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
3．【答案】C
【详解】因为数列的前几项为，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，则.
故选C.
4．【答案】D
【详解】由题意可得，所以，解得，
所以，即，
又，当且仅当，即时，等号成立，
所以，，
故选D.
5．【答案】A
【详解】因为，（，），
所以，，，，
所以是以为周期的周期数列，则.
故选A.
6．【答案】D
【详解】数列的首项为1，且，
当时，，
，而满足上式，因此，
，而，
因此数列的前100项和为数列的前107项的和减去数列的前7项的和，
所以数列的前100项和为.
故选D.
7．【答案】C
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意；
当时，则在上恒成立，
令，，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
又，故，即，
综上，所以ABD错误，C正确.
故选C.
8．【答案】B
【详解】由得，
由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增；
当时，，所以，则函数单调递减；
当时，，所以，则函数单调递增；
当时，，所以，则函数单调递减；
故ACD都错，B正确，
故选B.
9．【答案】BD
【详解】对于A.，A错误；
对于B.，B正确；
对于C.，C错误；
对于D. ，D正确.
故选BD.
10．【答案】BC
【详解】对于A，由，，则，解得，
，则，故A错误；
对于B，由，则，又，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，故B正确；
对于C，由B选项，可得，即，
，
，
则，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故C正确；
对于D，假设存在且，使得成等差数列，
则，即，即，
，
，，则，
故上式不成立，假设错误，故D错误.
故选BC.
11．【答案】BD
【详解】因为数列的通项公式为，，故，
所以为等差数列，，公差为，则，
，
当时，，故A不正确；
当为偶数时，；
当为奇数时，，
故，所以B正确；
，
，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以，故C错误；
，
，
所以
，所以D正确．
故选BD．
12．【答案】4
【详解】由函数在点处的切线方程为，
可知当时，，即，
且切线斜率为，则，
所以.
13．【答案】
【详解】因为①，
所以②，
②①得，，
所以有，
所以．
14．【答案】/
【详解】因为，所以，
即，
令，所以，
又因为，所以在上单调递增，
所以，即，
令，所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即的最小值为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，故， 即切点坐标为，
，
故曲线在点处的切线斜率为2，切线方程为.
（2）易得
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以时，，
又时恒成立，
所以的最大值为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，即，由，得，
因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
所以．
17．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，所以是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，，
当时，，
又满足关系，
故．
数列，当时，，
当时，，
时，满足，
所以，．
（2）由题可知，
①，
②，
①②得．
则③，
④
③④得
，
所以．
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，，
可得，，
即数列是首项和公比均为3的等比数列，
则，即；
即
（2）数列，
则，
可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立，
可得，即的取值范围是．
19．【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）当时，，
则，
令，解得或．
令，解得，所以在上单调递减；
令，解得或，即在，上单调递增．
综上，函数在，上单调递增，在上单调递减．
（2）由求导得，
① 当时，恒成立，
令，解得，即在上单调递减；
令，解得，即在上单调递增，
故时，函数在处取得极小值，符合题意；
②当时，令，解得，，且，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，符合题意．
③ 当时，令，解得，此时恒成立且不恒为0，
单调递增，故函数无极值，不符合题意．
④ 当时，令，解得，，且，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，不符合题意．
综上，实数的取值范围是．