山东省淄博第七中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省淄博第七中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在数列中，，，则（ ）
A．B．1C．7D．8
2．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列
3．已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）

A．B．
C．D．
4．已知数列 是等差数列， 是其前 项和， 若 ， 则数列 的公差是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
6．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．2D．3
7．数列满足，a且，，则该数列的前40项之和为（ ）
A．B．80C．60D．230
8．《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是（ ）（结果精确到0.1．参考数据：，．）
A．2.9天B．3.9天C．4.9天D．5.9天
二、多选题（本大题共3小题）
9．数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是数列中的最大值
D．数列无最大值
11．1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为偶数
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．某品牌汽车在启动后的行驶路程（单位：米）关于时间（单位：秒）的关系满足：，，则第5秒时汽车的瞬时速度为 ．
13．如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中从左向右数的第个数，那么的值是 ．
14．设数列满足，则an＝ ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．求下列函数的导数.
(1)
(2)；
(3)；
(4)
16．已知函数，且．
(1)求的值；
(2)求函数的图象在点处的切线方程．
17．已知数列满足，（其中且）.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项和.
18．设是首项为1的等比数列，数列满足，已知,,成等差数列.
(1)求和的通项公式；
(2)记和分别为和的前n项和，求和.
19．已知数列的前项和为，且
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式
(3)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【详解】依题意得，则，
所以（），故.
故选B.
2．【答案】A
【解析】作差得出和的大小关系，进而可判断出数列的单调性.
【详解】，，
，因此，数列是递增数列.
故选A.
3．【答案】A
【详解】因为在上为递增函数，
由导数的意义可知，为曲线在处切线的斜率，
所以，
又由斜率的定义可以，表示割线的斜率，
所以，
故选A.
4．【答案】B
【详解】因为数列 是等差数列，
所以，
解得，
则，
解得.
故选B.
5．【答案】D
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选D.
6．【答案】D
【详解】由是等差数列的前项和，
.
故选D.
7．【答案】C
【详解】法一：由，得，，
所以，所以数列的前40项和为．
法二：也可以分奇数项和偶数项分别求和，奇数项成公差为的等差数列，偶数项成公差为1的等差数列，所以前40项中奇数项有20项，
其和为，偶数项有20项，其和为，故前40项和为.
故选 C．
8．【答案】C
【详解】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．
莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，
其前n项和为Bn．则An，Bn，
由题意可得：，
解得2n＝ ，2n＝1（舍去）．
∴n．
故选C．
9．【答案】AD
【详解】当时，，故C不正确；
当时，，排除B；
当，时，经验算，AD均正确，由周期性可知AD正确，
故选AD.
10．【答案】AB
【详解】对于A，由可得，（*），
由可得.
当时，因，则，则（*）不成立；
所以，则，（*）成立，故，即A正确；
对于B，因，故B正确；
对于C,D，由上分析，且，
则是数列中的最大值，故C错误，D错误.
故选AB.
11．【答案】ACD
【详解】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，，
故选项A正确；
对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，选项B错误；
对于C：由题意知：，所以
，故选项C正确；
对于D：，
故选项D正确，
故选ACD.
12．【答案】米/秒
【详解】由导数的实际意义可知，唯一关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度，
则为第5秒时汽车的瞬时速度，
因为，所以.
13．【答案】
【详解】根据图中规律可知，每一行的最后一个数为，且个数为，
则第n行的最后一个数为，个数为，，
因为，
所以排在第行最后一个，
又第行个数为，
所以，
所以.
14．【答案】
【详解】①
当时，；
当时，②
①②得，当也成立.
即.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，得，
又，
所以，解得.
（2）由（1）知，，
∴，即切点为，
又，，
∴切线的斜率为，
故函数的图象在点处的切线方程为：，
即.
17．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）（，）
∴，（），
当时满足上式，
∴.
（2）
∴
.
18．【答案】(1)，；
(2)，.
【分析】（1）设出等比数列的公比，利用等差中项列式求解即可.
（2）由（1）的结论，利用等比数列前n项和公式及错位相减法求和得解.
【详解】（1）设的公比为q，则，
由，，成等差数列，得，
则有，解得，
所以和的通项公式是，.
（2）由（1）知；
，
则，
两式相减得，
所以.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)，理由见解析.
【详解】（1）当时，，
当时，，
整理得，
，
是以-15为首项，为公比的等比数列；
（2）由(1)知，是以-15为首项，为公比的等比数列，
得，所以，
（3）由(2)得，
，
当时，，
故，
当时，，
所以当时，，同理当时，；
故时，取得最小值，即为最小值.