山东省淄博第七中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省淄博第七中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在数列中，，，则（ ）
A. B. 1C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由题中条件得，经过递推可得，进而可得结果.
详解】依题意得，则，
所以（），故.
故选：B.
2. 已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列
【答案】A
【解析】
【分析】
作差得出和的大小关系，进而可判断出数列的单调性.
【详解】，，
，因此，数列是递增数列.
故选：A.
【点睛】本题考查数列单调性的判断，涉及数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.
3. 已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象，由导数的意义和割线的斜率求解即可.
【详解】因为在上为递增函数，
由导数的意义可知，为曲线在处切线的斜率，
所以，
又由斜率的定义可以，表示割线的斜率，
所以，
故选：A.
4. 已知数列 是等差数列， 是其前 项和， 若 ， 则数列 的公差是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质由求出，再根据等差数列的通项公式列出方程求解即可.
【详解】因为数列 是等差数列，
所以，
解得，
则，
解得.
故选：B
5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14B. 12C. 6D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
6. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列下标和性质可得，进而求得结果.
【详解】由是等差数列的前项和，
.
故选：D.
7. 数列满足，a且，，则该数列的前40项之和为（ ）
A. B. 80C. 60D. 230
【答案】C
【解析】
【分析】由知，分奇数项和偶数项两种情况考虑，接下来可以相邻奇偶项并项求和，也可以奇数项和偶数项分组求和.
【详解】法一：由，得，，
所以，所以数列的前40项和为．
法二：也可以分奇数项和偶数项分别求和，奇数项成公差为的等差数列，偶数项成公差为1的等差数列，所以前40项中奇数项有20项，
其和为，偶数项有20项，其和为，故前40项和为.
故选： C．
8. 《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是（ ）（结果精确到0.1．参考数据：，．）
A. 2.9天B. 3.9天C. 4.9天D. 5.9天
【答案】C
【解析】
【分析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．
【详解】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．
莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，
其前n项和为Bn．则An，Bn，
由题意可得：，
解得2n＝ ，2n＝1（舍去）．
∴n．
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据选项取值验算可得正确答案.
【详解】当时，，故C不正确；
当时，，排除B；
当，时，经验算，AD均正确，由周期性可知AD正确，
故选：AD.
10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 是数列中的最大值
D. 数列无最大值
【答案】AB
【解析】
【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的即可判断.
【详解】对于A，由可得，（*），
由可得.
当时，因，则，则（*）不成立；
所以，则，（*）成立，故，即A正确；
对于B，因，故B正确；
对于C,D，由上分析，且，
则是数列中的最大值，故C错误，D错误.
故选：AB
【点睛】易错点睛：边界条件的遗漏：在判断数列的公比时，容易忽略公比为正的条件，尤其是当涉及到前项和与前项积的比较时，应特别注意各个条件的限制.最大值的判断：在判断数列是否存在最大值时，容易因数列项的变化规律分析不准确而得出错误结论.对于无穷项的数列，要明确变化的趋向.
11. 1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 为偶数
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据递推关系计算出值可判断选项A；根据数列中项的特点可判断选项B；由可得，再化简可判断选项C；由，化简整理可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，，
故选项A正确；
对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，选项B错误；
对于C：由题意知：，所以
，故选项C正确；
对于D：，
故选项D正确，
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 某品牌汽车在启动后的行驶路程（单位：米）关于时间（单位：秒）的关系满足：，，则第5秒时汽车的瞬时速度为_______．
【答案】米/秒
【解析】
【分析】根据导数的意义，结合其物理意义求解即可.
【详解】由导数的实际意义可知，唯一关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度，
则为第5秒时汽车的瞬时速度，
因为，所以，
故答案为：米/秒
13. 如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中从左向右数的第个数，那么的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据图中每一行的第一个数和每一行的个数，即可总结规律，得到递推关系式，即可求出所在具体位置，求出结果.
【详解】根据图中规律可知，每一行第一个数为，且个数为，
则第一个数为，个数为，，
因为，
所以排在第行最后一个，
又第行个数为，
所以，
所以.
故答案为：
14. 设数列满足，则an＝________．
【答案】
【解析】
【分析】先由题意得时，，再作差得，
验证时也满足．
【详解】①
当时，；
当时，②
①②得，当也成立.
即
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求下列函数的导数.
（1）
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）由基本初等函数的求导公式，结合四则运算的导数公式化简即可求解.
（2）由基本初等函数的求导公式，结合四则运算的导数公式化简即可求解.
（3）由基本初等函数的求导公式，结合四则运算的导数公式化简即可求解.
（4）由基本初等函数的求导公式，结合四则运算的导数公式化简即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
.
【小问3详解】
.
【小问4详解】
.
16. 已知函数，且．
（1）求的值；
（2）求函数的图象在点处的切线方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求导即可代入求解，
（2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解.
【小问1详解】
由，得，
又，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）知，，
∴，即切点为，
又，，
∴切线的斜率为，
故函数的图象在点处的切线方程为：，
即.
17. 已知数列满足，（其中且）.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知得（，），利用累加法求通项公式；
（2）写出，利用裂项相消法求
【详解】（1）（，）
∴，（），
当时满足上式，
∴.
（2）
∴
.
【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题.
18. 设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列.
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和，求和.
【答案】（1），；
（2），
【解析】
【分析】（1）设出等比数列的公比，利用等差中项列式求解即可.
（2）由（1）的结论，利用等比数列前n项和公式及错位相减法求和得解.
【小问1详解】
设的公比为q，则，
由，，成等差数列，得，则有，解得，
所以和的通项公式是，.
【小问2详解】
由（1）知；
，
则，
两式相减得，
所以.
19. 已知数列的前项和为，且
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式
（3）求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3），理由见解析.
【解析】
【分析】(1)由前项和为与通项的关系，得出的递推公式，即可证明结论；
(2)由(1)和等比数列的通项公式即可求出；
(3)由(2)求出，通过研究的单调性，即可求解.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
整理得，
，
是以-15为首项，为公比的等比数列；
【小问2详解】
由(1)知，是以-15为首项，为公比的等比数列，
得，所以，
【小问3详解】
由(2)得，
，
当时，，
故，
当时，，
所以当时，，同理当时，；
故时，取得最小值，即为最小值.