数学：海南省创新中学协作校2024-2025学年高一下学期期中考试试题（解析版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，又，则，所以.
故选：D.
2. 已知在中，点在的延长线上，且满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，根据向量线性运算法则，可得
.
故选：A．
3. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，
，底边长，高，
所以，
直角三角形的周长为．
故选：A．
4. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高为15m，在地面上点处（在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部，建筑物顶部A的仰角分别为和，在处测得木塔顶部的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
在中，，
在中，，
则，
由正弦定理，得，所以，
在中，.
故选：D.
5. 在中，若，，，则边上的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设中角所对边依题意，，
而，
解得，，由余弦定理
故，设边上的高为
故，即，解得.
故选：B
6. 的内角的对边分别为，若，，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不确定
【答案】C
【解析】因为，所以
，
所以
则，即，故.
因为，，
所以，当时，所以或.
若，则. 若，则.
当时，（舍去），
因此的形状为直角三角形.
故选：C
7. 已知平面向量，则的最小值是（ ）
A. 1B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】由题设，分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，
所以，若是的中点，则，而，如下图示，
由图知，，而，即.
所以的最小值是.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
8. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C. 若.则的模为7
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
【答案】BD
【解析】对于A，设，由，则，故A错误；
对于B，由点的坐标为，则，，所以复数对应的点为，对应的点在第三象限，故B正确；
对于C，由，则，故C错误；
对于D，设，由，则，所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确.
故选：BD.
9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为
B. 若的值为3，则
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
【答案】AB
【解析】对于A：若，则，所以的值为，故A正确；
对于B：由可得，又，所以，所以，故B正确；
对于C：当时，，又，所以，所以与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，则，即，即，解得，当时，，，，，，，
所以，当时，，，，，所以，，
所以，故D错误.
故选：AB.
10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ）

A.
B. 点第一次到达最高点需要的时间为
C. 在转动的一个周期内，点在水中的时间是
D. 若在上的值域为，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，
则依题意，满足，所以，
因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，，
则，由可得，
又因为，所以，故A正确；
对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为，所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确；
对于C，在转动的一个周期内，点在水中转动，则所需要的时间是，故C错误；
对于D，若在上的值域为，则在上的值域为，因为，所以，
作出函数的图象，依题意需使即，解得，故D正确.

故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
11. 已知，若复数是纯虚数，则a的值为________.
【答案】
【解析】由题：，解得：，
故答案为：.
12. 已知平面向量、的夹角为60°，且为单位向量，，则＝______.
【答案】
【解析】根据题意可得，
所以，
所以.
故答案为：
13. 已知，若对任意的恒成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为
，
所以，
因为，所以，
所以对任意的恒成立，
只需要即可.
设，
令，因为在上单调递减，
所以当时，取到最大值5，所以，所以a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14. 已知，复数，为虚数单位，.
（1）若在复平面内对应点位于第三象限，求的取值范围；
（2）若满足，，求的值.
解：（1）因为，
所以在复平面内对应的点为，
由在复平面内对应的点位于第三象限，得，解得，
所以的取值范围为.
（2）依题意，，
又，则，解得，，
所以，
所以.
15. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为.

（1）计算该模型的体积.（结果精确到）
（2）现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？（结果精确到元）
解：（1）设圆锥的高为，由题意得圆锥母线为，圆锥的底面半径为，
则，
设圆柱的底面半径为，高为，由已知可得，，
所以圆柱的体积，
圆锥的体积
；
（2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为.
一个模型的表面积，
所以总费用为（元）.
16. 在中，内角的对边分别为，已知.
（1）若的面积为3，求的值；
（2）设，，且，求的值.
解：（1），，则，
的面积为，，
因此；
（2），，且，
所以，
即，.
，
，
，
故.
17. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）若，求的外接圆面积；
（2）若，求角.
解：（1）设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
所以，
在中，由，
可得，又
所以
所以
所以，
所以，
而，所以，即，
因为为内角，所以，所以
所以，故，
所以外接圆的面积为，
（2）由，可得，
在中，由正弦定理得，由（1）
所以，
因为，所以，
所以，
则，得，
，或，
或.
18. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，
（1）请用来表示平行四边形的面积；
（2）若.
①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值；
②记（其中），求的取值范围.
解：（1）过点作的垂线，垂足为，在中，，
在中，，则，
所以，
所以
（2）①若，由题意可得，
由（1）知：
故平行四边形的面积
由于，故，
故当时，即时，取得最大值为.
②根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即
又，则
因，即，
则，，
解得：，，
，
由点是弧上一动点，则，则，
所以即.
则的取值范围为.