2024-2025学年海南省创新中学协作校高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年海南省创新中学协作校高二（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为( )
A. 12种B. 7种C. 4种D. 3种
2.已知函数f(x)=x+lnx，则f′(1e)的值为( )
A. 1−eB. −1C. 1+eD. 1e
3.在等差数列{an}中，a5=8，2a3=a2+6，则公差等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.函数f(x)=ex−ex的最小值为( )
A. −eB. −1C. 0D. 1
5.现要用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色.已知这4个区县的连接关系如下：区A与区B、区C相邻；区B与区A、区D相邻；区C与区A、区D相邻；区D与区B、区C相邻.则共有( )种不同的着色方法．
A. 72B. 84C. 96D. 180
6.甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为35，310，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为( )
A. 712B. 79C. 23D. 56
7.已知函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x−1，且f(0)=1，设数列{an}满足a1=1，当n≥2时，an=1 f(n)f(n+1)，则数列{an}的前n项和的表达式为( )
A. 1−1 nB. 2−1 nC. 1−1nD. 2−1n
8.定义在(0,+∞)的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知xf′(x)−f(x)=x3且f(1)=0，则下列结论正确的是( )
A. f(x)在(0,+∞)单调递增B. f(x)在(0,+∞)单调递减
C. f(x)在(0,+∞)上有极小值D. f(x)在(0,+∞)上有极大值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(x+2 x)7的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 展开式共7项B. 含x项的系数为480
C. 无常数项D. 所有项的二项式系数之和为128
10.设函数f(x)=ex−e−x−2x，x∈R，则下列说法正确的是( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)在R上是单调函数
C. f(x)的最小值为1D. 当x>0时，f(x)>0
11.设函数f(x)=3x+22x+3，数列{xn}满足x1=32，xn+1=f(xn)，则( )
A. x2=1312B. f(xn)+f(1xn)为定值
C. 数列|xn+1xn−1|为等比数列D. xn34f(1)．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：依题意，从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，
不同的选法为4+3=7．
故选：B．
根据分类加法计数原理求得正确答案．
本题考查分类加法计数原理，属于中档题．
2.【答案】C
【解析】解：因为f′(x)=1+1x，故f′(1e)=1+e．
故选：C．
求出f′(x)，代值计算可得f′(1e)的值．
本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：等差数列{an}中，a5=8，2a3=a2+6，
设等差数列的首项为a1=2，公差为d，
∵a5=8，2a3=a2+6，
∴a1+4d=82(a1+2d)=a1+d+6，
解得a1=0d=2．
故选：B．
利用等差数列通项公式列出等式，联立两个等式即可求得结果．
本题考查等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=ex−ex，则f′(x)=ex−e，
令f′(x)1，
所以函数f(x)的单调减区间为(−∞,1)，单调增区间为(1,+∞)，
所以f(x)min=f(1)=0．
故选：C．
求导，再利用导数求出函数的单调区间，即可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，
可分两种情况：
①A和D颜色相同，有C41种，B和C需选择与A或D不同的颜色，各有C31种，则有C41⋅C31⋅C31=36种；
②A和D颜色不同，A有C41种，D有C31种(不同于A)，B和C需选择与A和D均不同的颜色，各有C21种选择，
则有C41⋅C31⋅C21⋅C21=48种，
着色总数36+48=84种．
故选：B．
分为A和D颜色相同和A和D颜色不同讨论，再结合组合公式计算即可．
本题考查了排列组合的运用，是中档题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，设第一关中甲乙两人通过为事件A、B，两人有资格挑战第二关即两人通过第一关为事件E，
则P(A)=35，P(B)=310，
P(E)=1−P(A−B−)=1−(1−35)×(1−310)=1825，
P(AE)=P(AB+AB−)=35×310+35×(1−310)=35，
故P(A|E)=P(AE)P(E)=351825=56．
故选：D．
根据题意，设第一关中甲乙两人通过为事件A、B，两人有资格挑战第二关即两人通过第一关为事件E，求出P(E)和P(AE)，由贝叶斯公式计算可得答案．
本题考查贝叶斯公式的应用，涉及条件概率的计算，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：f(x+1)−f(x)=2x−1，且f(0)=1，则f(1)=0，
则f(n)=f(n)−f(n−1)+f(n−1)−f(n−2)+⋯+f(2)−f(1)+f(1)
=1+3+⋯+(2n−5)+(2n−3)=(n−1)(1+2n−3)2=(n−1)2，
显然n=1时，符合．
则an=1n(n−1)=1n−1−1n，n≥2，又a1=1，
Sn=1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=2−1n．
故选：D．
根据f(x+1)−f(x)=2x−1，利用累加法求出f(n)=(n−1)2，n≥2，继而得到a1=1和an=1n−1−1n，n≥2，利用裂项相消法，即可求得．
本题主要考查了裂项求和公式的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：令g(x)=f(x)x，则g′(x)=xf′(x)−f(x)x2=x，即g(x)=12x2+C，C为常数，
又g(1)=f(1)=0，则C+12=0，即C=−12，f(x)x=12x2−12，
所以f(x)=12x3−12x，则f′(x)=32x2−12=12(3x2−1)，
当00，即f(x)单调递增，
所以x= 33处f(x)取极小值．
故选：C．
令g(x)=f(x)x并求导，结合已知可得f(x)=12x3−12x，再应用导数研究f(x)的性质判断各项的正误．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：由于二项式(x+2 x)7的展开式满足Tr+1=C7r⋅2r⋅x7−3r2(r=0,1,2,3,4,5,6,7)，
对于A：展开式一共有8项，故A错误；
对于B：根据二项式的展开式含x项的系数为r=4时，C74⋅24=560，故B错误；
对于C：由于r为整数，故无论r为何值，x的指数不可能为0，故C正确；
对于D：所有项的二项式系数和为27=128，故D正确．
故选：CD．
直接利用二项式的展开式，赋值法的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识点：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：因为f(−x)=e−x−ex+2x=−(ex−e−x−2x)=−f(x)，
所以f(x)是奇函数，故A正确；
因为f′(x)=ex+e−x−2≥2 ex⋅e−x−2=0，当且仅当x=0时“=”成立，
所以f(x)在R上是单调递增函数，故B正确；
因为f(x)在R上是单调递增函数，
所以f(x)无最小值，故C错误；
因为f(x)是奇函数，且在R上是单调递增函数，
所以当x>0时，f(x)>f(0)=0，故D正确．
故选：ABD．
由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验选项A，B，结合函数性质及导数与单调性关系检验选项C，D即可判断．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由xn+1=f(xn)=3xn+22xn+3，x1=32，则x2=3x1+22x1+3=3×32+22×32+3=1312，故A正确；
由f(xn)+f(1xn)=3xn+22xn+3+3+2xn2+3xn=(3xn+2)2+(2xn+3)2(2xn+3)(2+3xn)=13xn2+24xn+136xn2+13xn+6，
根据题目函数f(x)=3x+22x+3，数列{xn}满足x1=32，xn+1=f(xn)，
则显然f(xn)+f(1xn)非常数，故B错误；
由|xn+1+1xn+1−1|=|3xn+22xn+3+13xn+22xn+3−1|=|3xn+2+2xn+33xn+2−2xn−3|=5|xn+1xn−1|，又|x1+1x1−1|=5，则|xn+1+1xn+1−1||xn+1xn−1|=5，
则数列{|xn+1xn−1|}是以5为首项，以5为公比的等比数列，故C正确；
则|xn+1xn−1|=5n，即xn=25n−1+1，
由1+15n−1−xn=1+15n−1−(25n−1+1)=3⋅5n−1−15n−1(5n−1)>0，则xn0，函数f(x)单调递增，
当x∈(0,+∞)时，f′(x)0时，g′(x)0时，y=a与g(x)在(−∞,−1)上有一个交点，方程有一个实根，
当a=0时，x=0时方程x2=0的唯一实根；
当aℎ(12)=12+ln12+1=32−ln2>0，
因此g(x)=lnx是T函数．
(2)由于函数f(x)=x2−ax，那么导函数f′(x)=2x−a，
函数p(x)=f(x)+x(x+1)f′(x)=x2−ax+x(x+1)(2x−a)=x[2x2+(3−a)x−2a]，
设函数q(x)=2x2+(3−a)x−2a，
由于f(x)为T函数，那么对任意的x∈(12,+∞)，p(x)>0，所以q(x)>0，
由于q(x)的图象开口向上，对称轴为直线x=a−34，
当a−34≤12时，所以当a≤5时，那么q(x)在(12,+∞)上为增函数，
只需q(12)=12+3−a2−2a=2−52a≥0，解得a≤45，此时a≤45；
当a−34>12时，即当a>5时，只需根的判别式Δ=(3−a)2+16a=a2+10a+9