数学：山东省德州市2024-2025学年高一下学期期中考试试题（解析版）

这是一份数学：山东省德州市2024-2025学年高一下学期期中考试试题（解析版），文件包含上海市奉贤区2025-2026学年九年级下学期二模英语试卷及答案pdf、上海市奉贤区2025-2026学年九年级下学期二模英语听力音频mp3等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，则，
故选：A.
2. 在中，已知，，，则（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】C
【解析】因为在中，，，，
由余弦定理，
即，所以.
故选：C.
3. 若函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数图象关于直线对称
D. 函数图象关于点中心对称
【答案】B
【解析】A.函数的最小正周期为，故A错误；
B.当，则，故B正确；
C.，所以函数关于对称，故C错误；
D. ，所以不关于对称，故D错误.
故选：B
4. 在中，点在边上，.记，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如下图所示：
易知
.
故选：C
5. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得，又，
可得，即，
因此可得；
所以.
故选：B
6. 已知，，且向量在上的投影的数量为，则（ ）
A. 49B. 41C. 7D.
【答案】D
【解析】由条件可知，，所以，
.
故选：D
7. 记的内角的对边分别为，若的外接圆半径为，且，则面积的最大值为（ ）
A. B. 8
C. D.
【答案】C
【解析】因，则由余弦定理得，，
因，则，设的外接圆半径为，则，
由正弦定理得，，
则化简为，因，
则，等号成立时，时成立，
则
则面积的最大值为.
故选：C
8. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的4倍，得到函数的图象，若，是函数在上的两个零点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意将函数的图象向右平移个单位长度后可得到
；
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的4倍，可以得到，
易知的最小正周期为，且在上，
当时，取得最大值；
画出函数的图象如下图所示：
令，即，
根据正弦函数图象可知与在上仅有两个交点，
且由对称性可知，关于对称，所以；
因此.
故选：D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 记的内角的对边分别为，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则是钝角三角形
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是等腰三角形
D. 若，，，则是直角三角形
【答案】AC
【解析】A.设，则，所以是钝角，故A正确；
B. 若，则，即，即或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
C.若，则，即，即，则，所以是等腰三角形，故C正确；
D.由正弦定理，可得，且，所以或，所以或，是直角三角形或等腰三角形，故D错误.
故选：AC
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若存在实数，使得，则
C. 已知，，则的取值范围为
D. 若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为
【答案】BC
【解析】对于A：如果，则，，则和不一定为共线向量，故A错误；
对于B：向量平行的定义，若存在实数，使得，则，故B正确；
对于C：由，得，因为，
故，即，故C正确；
对于D：向量，，且与的夹角为钝角且向量不反向共线，
故，即且，解得且，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是以为周期的函数
B. 函数存在无穷多个零点
C.
D. 至少存在三个不同的实数，使得为偶函数
【答案】ACD
【解析】因为，
对A：
，
故是以为周期的函数，故A正确；
对B：因为的周期为，所以只需研究在区间上的正负，
当时，，由且，
故在上恒成立；当时，，
设，则，
当时，有最大值，当时，，
当时，，故的最小值为，
综上所述，在上的取值均大于，没有零点，
故在上没有实数根，即在上没有零点，故B错误；
对C：，
，
故，故C正确；
对D：由可得的图象关于直线对称，
当时，，图象关于轴对称，此时为偶函数，
又因为，
所以的图象关于直线对称，可知当时，为偶函数，
，
，
故，即的图象关于直线对称，
当时，，图象关于轴对称，此时为偶函数，
综上所述，当时，至少存在三个值，使得为偶函数，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知，且，则______.
【答案】
【解析】由可得，
由于，故，进而，
因此，
故答案为：
13. 已知函数的图象在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，易知，若其图象在区间上有且仅有2条对称轴，可得，解得.
故答案为：
14. 在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为______；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____
【答案】 16；
【解析】根据题意由为线段上的动点，可知三点共线，又，可得，因此，且，
所以；
当且仅当时，等号成立，即的最小值为16；
取内切圆的圆心为，连接，如下图所示：
易知弦的长度最大时，为直径，此时；
又；
显然当最大时，即在点处时，时，取得最大值，
即.
故答案为：16；.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，点，，.
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若向量与共线，求的取值范围.
解：（1）由题可得，，
因为，所以，即.由，
得，即.解得或.
所以点或，故向量的坐标或.
（2）因为，，且与共线，所以.
易知
由，得
当或1时，取得最小值为0.
当时，取得最大值为.
综上可得的取值范围为.
16. 已知函数的最大值为，两条相邻对称轴之间的距离为，对，.
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）在平面直角坐标系中用五点法画出函数在的图象；
（3）当时，方程只有一个解，求实数的取值范围.
解：（1）由题可得：，，又，所以，
又当时，取得最大值，所以，.
得到，，因为，所以，故，
令，；
解得，；
所以的单调递增区间为；
（2）五点法作图列表如下：
所以函数在的图象如图，
（3）方程只有一解，转化为函数与图象在上只有一个交点，由（2）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，由（2）中图象可得或.
17. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及对称中心；
（2）记的内角的对边分别为，若，，，求.
解：（1）由题可得
；
所以最小正周期为.
令，，即，；
所以函数对称中心为，.
（2）由得，
则，因为，即；
所以，即.
因为，由正弦定理得，
因为，，所以，
因为，所以.
由正弦定理得，即；所以.
18. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）证明：；
（2）若，，求；
（3）若点是边上一点，平分，，且面积是面积的3倍，求的值.
（1）证明：由，得，
由正弦定理得：
所以，即
又，
所以或（舍去）
故，所以结论得证
（2）由及正弦定理得
由，可得，即得，
因为，所以
所以，
所以
又因为且，所以
所以
（3）由（1）知，所以为等腰三角形，
所以，
又，所以
又是的角平分线，由角平分线的性质定理可知：
，所以，
在中由余弦定理：
在中，由余弦定理：
又，所以，
解得：，又，所以.
19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）设向量的“积函数”为，若且，求的值；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，设，且的“积函数”为，其最大值为，证明：.
解：（1）依题意，，则，
由，得，则，
所以.
（2）向量的“积函数”为，令，
则，
于是，，即，，
所以.
（3）设，，
则
于是
，而，
当且仅当存在使得时取等号，，
两式相减得，则，，即，
因此，
所以.