山东省德州市2024-2025学年高一下学期6月校际联考（四）数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省德州市2024-2025学年高一下学期6月校际联考（四）数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，的虚部是（ ）
A．B．2C．D．
2．已知，为平面内一组基底，，，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．2D．5
3．已知，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下面四个命题错误的有（ ）
A．若，，则；
B．若，，，，则；
C．若，，则；
D．，，则.
4．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是5的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中一组的频率为0.015
B．估计样本数据的众数
C．估计样本数据的分位数为88.75
D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7000人
6．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了在同一水平面上的，，三处（垂直于平面），如图.已知在，，处测得该建筑顶部的仰角分别为，，，是的中点，米，则该建筑的高度（ ）
A．米B．米C．米D．米
7．已知函数，是偶函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若复数，则（ ）
A．B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．D．复数满足，则的最小值为
10．为加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心，某校举办一场篮球赛，其中每队上场5人，每人得分情况如下表（单位：分），则下列结论正确的是（ ）
A．运动员得分极差甲队大于乙队B．运动员得分均值甲队小于乙队
C．甲队运动员得分的75%分位数为8D．相较于甲队，乙队运动员实力更均衡
11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使平面MBNB．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
C．三棱锥Q-BCN的体积是定值D．经过C，M，B，N四点的球的表面积
三、填空题
12．哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母共4个人物手办，小明随机购买2个盲盒（2个盲盒内人物一定不同），则恰有哪吒及其父母中的一位的概率为 .
13．多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的体积的比为 .
14．四面体中且异面直线与所成角为若四面体外接球半径为则四面体的体积的最大值为 .
四、解答题
15．已知．
(1)若，求；
(2)若：
（i）求函数的单调递减区间；
（ii）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值．（结果精确到小数点后3位，参考数据：）
16．如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
(3)若，，求三棱锥的体积.
17．在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并估算高一学生的物理平均分数；
(2)若根据这次成绩，学校建议70%的学生选报物理，30%的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分？（小数点后保留一位）
(3)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试.考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两个模块成绩均为，则直接参加；若一个模块成绩为，另一个模块成绩不低于，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得，，，，的概率分别为；乙在每个模块考试中取得，，，，的概率分别为，甲、乙在实验操作中通过的概率分别为.求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率.
18．在中，内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的值；
(2)若的面积，且，求；
(3)若，求三角形周长的取值范围.
19．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，过，，三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.

(1)在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；
(2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
(3)若点是侧面内的动点，且，当最小时，求三棱锥的外接球的表面积.
山东省德州市2024-2025学年高一下学期校际联考（四）（6月）数学试题参考答案
1．A
【详解】由，则，
所以，所以复数的虚部为.
故选：A.
2．D
【详解】由，又，且，，三点共线，
所以，则.
故选：D
3．C
【详解】A：由，，根据面面平行的性质知，故A正确；
B：若，，，，
若或与相交，则相交或异面，显然与矛盾，
故都不与相交，即，，此时有，故B正确；
C：若，，则可能平行或异面，故C错误；
D：由，，根据线面垂直的性质知，故D正确.
故选：C.
4．B
【详解】由题设，两次向上的数字如下表（列表示第一次，行表示第二次），
所以抛掷两次的基本事件有36种，其中向上的数字之和是5的倍数的有7种，
分别为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,5)，(6,4)，(4,6)，
所以向上的数字之和是5的倍数的概率为.
故选：B
5．C
【详解】由图知，可得，故一组的频率为，A错；
由，，
所以众数为，B错；
由上分位数位于，设为，则，
所以，C对；
由题设，80分以上的占比有，所以人，D错.
故选：C
6．B
【详解】设，可得，，，
因为是的中点，所以米，
由，得，
由，得，
所以，
，解得，
所以该建筑的高度米.
故选：B.
7．C
【详解】由是偶函数，得，
展开整理得，所以，
又，，得，解得，
所以
，
当时，取得最大值.
故选：C.
8．D
【详解】如图，连接，设，连接，则平面，
取的中点，连接，由正四棱锥的结构特征知，
所以为侧面与底面所成的角，
设，则，
在中，，所以，
又，所以，
所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，
所以顶点处的各面角分别为、、，该顶点处的曲率为.
故选：D
9．ACD
【详解】，
对于A，，故A正确；
对于B，复数在复平面内对应的点位于第四象限，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，由，得复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，
表示该圆上的点与点的距离，其最小值为圆心到点的距离减1，即，故D正确.
故选：ACD.
10．AD
【详解】对于A，甲队的极差为，乙队的极差为，，故A正确；
对于B，甲队得分平均数，
乙队得分平均数，，故B错误；
对于C，将甲队的数据由小到大排列：，因为，所以甲队运动员得分的75%分位数为12，故C错误；
对于D，由表中数据观察，乙队的得分更加集中，即相较于甲队，乙队运动员实力更均衡，故D正确.
故选：AD.
11．ACD
【详解】
连接，当是的中点时，
因为，所以．
因为平面，平面，所以平面，故A正确，
如图，在正方体中，连接，
因为分别是的中点，所以，
又因为，所以，所以四点共面，
即当与点重合时，四点共面，故B错误，
因为为正方体，所以平面，
直线上的点到面的距离为，而，
所以是定值，故C正确，
设G，H分别为的中点，
则为长宽高分别为，，的长方体，
根据分割补形法知：经过四点的球即为长方体的外接球，
所求球的直径满足：，
经过四点的球的表面积为，故D正确．
故选：ACD．
12．
【详解】记哪吒、敖丙、哪吒父亲，母亲分别为，
小明随机购买2个盲盒，包含的情况如下：，共6种情况，
其中恰有哪吒及其父母中的一位的情况有：，包含2种，
所以恰有哪吒及其父母中的一位的概率.
故答案为：.
13．
【详解】由正八面体的结构特征易知，其外接球和内切球的球心重合，且为体对角线的交点，
令正八面体的棱长为2，外接球和内切球的半径分别为，则外接球半径，
各侧面积，构成正八面体的两个正四棱锥的高为，
所以正八面体的体积，解得，
所以正八面体外接球和内切球的体积比为.
故答案为：.
14．
【详解】解：四面体中且异面直线与所成的角为
构建直三棱柱，设分别为的外心，连结，取其中点，
则为直三棱柱的外接球的球心，也是四面体ABCD的外接球的球心，
异面直线与所成角为或，
设三棱柱底面的外接圆半径为r，
则
当，
由余弦定理得：，
，
，当且仅当时等号成立，
四面体ABCD的体积：
当，
由余弦定理得：，
，
，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立，
四面体ABCD的体积：
综上可知四面体ABCD的体积的最大值为
故答案为：
15．(1)或
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）若，则，
若，满足要求，此时，
若；
故或．
（2）（ⅰ），
令，
即，
所以函数的单调递减区间．
（ⅱ）因为，
所以，
由泰勒公式得：，
所以．
16．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）取的中点，连接，又，分别为，的中点，
所以且，故四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，则平面；
（2）取中点，连，结合中位线及直棱锥的性质知，
由且都在平面内，则平面，
由平面，则；
（3）由，，，则.
17．(1)，；
(2)；
(3).
【详解】（1）依题意，，所以；
物理平均分数.
（2）由（1）知，，
，
因此第分位数位于，且，
所以他的物理成绩应不低于分较为合适.
（3）依题意，甲能参加物理竞赛的概率，
乙能参加物理竞赛的概率，
所以甲、乙能同时参加物理竞赛的概率.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，结合正弦定理得，
，化简整理得，
，，得，故.
（2）由，得，解得，
由余弦定理，，
解得.
（3）由余弦定理，可得，
，，
，当且仅当取等号，
又有，
所以周长的取值范围为.
19．(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）设中点为，连接，，则由正方体性质可得，且，
故四边形为平行四边形，则.
又中点为，中点为，故，则，故这个多边形为四边形.

（2）在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，设，连接，
由为的中点，得为的中点，，
所以平面即为平面，
因为为的中点，所以为的中点，
所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，
因为正方体的棱长为，
所以
，
另一部分几何体的体积，
两部分的体积．

（3）取的中点，的中点，连接、、、，
显然，，所以，平面，平面，
所以平面，
又为的中点，所以且，又且，
所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又点是侧面内的动点，且，
所以在线段上，又，
即为等腰三角形，所以当为的中点时最小，
因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为，
令，则为的中点，连接，则，所以平面，
所以球心在上，设球心为，连接、、，
设外接球的半径为，，则，
又，，
所以，，解得，则，
所以外接球的表面积.甲队
乙队
5
10
23
12
8
8
8
15
7
6
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
C
B
C
D
ACD
AD
题号
11









答案
ACD









1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)