山东省德州市2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

高一数学试题

第Ⅰ卷    选择题（共60分）

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）

1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则的虛部为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的几何意义及复数的乘法运算，结合复数的概念即可求解.

【详解】因为复数对应的点的坐标是，

所以，

所以，

故的虛部为.

故选：D.

2. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出，再由垂直得到方程，求出答案.

【详解】由题意得，

故，解得.

故选：A

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简即可.

【详解】

所以.

故选：D

4. 已知，，则在上的投影向量是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据在上投影向量是计算即可解决.

【详解】由题知，，

所以，

设与夹角为，

所以在上的投影向量是.

故选：B

5. 在中，，为上一点，且，若，则的长度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出的长，设，则，，利用余弦定理可得出关于的等式，求出的值，即可求得的长度.

【详解】在中，，为上一点，且，则，

因为，设，则，，

由余弦定理可得，

即，解得，故.

故选：B.

6. 已知平行四边形中，，，．若点满足，点为中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将向量、、用基底表示，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.

【详解】如下图所示：

因为，则，又因为点为的中点，则，

，

，

所以，

.

故选：C.

7. 三国时期的数学家刘徽在对《九章算数》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一．现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ）

A.  B.  C. 8 D.

【答案】C

【解析】

【分析】将代入，结合三角函数的基本关系式、三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解.

【详解】由题意，将代入，

可得

.

故选：C.

8. 在中，角、、的对边分别为、、，记以、、为边长的三个正三角形的面积分别为、、且，若，，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角形的面积公式、余弦定理结合已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，求出的值，利用三角形的面积公式可求得该三角形的面积.

【详解】因为，同理可得，，

所以，，所以，，①

，即，②

又因为，③，联立①②③可得，，，

因为，则为锐角，且，

因此，.

故选：A.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 已知复数，则（    ）

A. 的共轭复数是 B. 对应的点在第二象限

C.  D. 若复数满足，则的最大值是6

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于选项A，由共轭复数的定义即可判断；对于选项B，先求，再判断对应的点所在的象限；对于选项C，分别求出和即可判断；对于选项D，可用复数模的三角不等式求解，或用复数模的几何意义转化为圆上的点和定点的距离的最值问题来求解.

【详解】对于选项A，由复数，得的共轭复数是，

故选项A正确.

对于选项B，由复数，得，

所以对应的点为在第二象限.

故选项B正确.

对于选项C，，，

故选项C错误.

对于选项D，

解法一：因为，

利用复数模的三角不等式得.

解法二：如图，

因为在复平面上对应的点为， 表示在复平面上对应的点到的距离等于，

所以表示的点的轨迹为圆心在，半径等于的圆.

因为，，

所以当对应的点在处时，的最大值为.

故选项D正确.

故选：ABD

10. 关于平面向量，下列说法不正确的是（    ）

A. 若，则

B. 两个非零向量，，若，则与共线且反向

C. 若向量与向量共线，则

D. 若，，且与的夹角为锐角，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】AC选项，可举出反例；B选项，由两边平方后化简得到，故与共线且反向，B正确；D选项，根据两向量夹角为锐角得到不等式组，求出的取值范围.

【详解】A选项，设，满足，但，A错误；

B选项，两边平方得，，

即，即，

又，故，故，

所以与共线且反向，B正确；

C选项，可设，此时向量为零向量，

不论为何值，向量与向量共线，C错误；

D选项，，

因为与的夹角为锐角，

所以且与不同向共线，

即，

解得，D错误.

故选：ACD

11. 已知函数，方程在区间上有且仅有3个不等实根，则（    ）

A. 的取值范围是

B. 在区间为上单调递增

C. 若，则直线是曲线的对称轴

D. 在区间上存在，，满足

【答案】AC

【解析】

【分析】利用正弦函数的性质及条件可得，即，然后结合三角函数的图象和性质逐项判断即得.

【详解】因为方程在区间上有且仅有3个不等实根，

所以方程在区间上有且仅有3个不等实根，

因为，所以，则，

令，则，

由题意，函数与函数有3个交点，

画出图像进行分析:

由图象易知，解得，即的取值范围是，故A正确；

若，则，此时，

令，，得，，

所以的图象关于直线对称，

当时，，即直线是曲线的对称轴，故C正确；

由，此时，，

所以在上不单调递增，故B错误；

因为在区间上存在，，满足，

所以在上至少有两次最大值，

因为，所以，

当时，此时，

函数在上只有1个最大值，

当时，此时，

函数在上有2个最大值，

所以在区间上不一定存在，，满足，故D错误；

故选：AC.

12. 已知函数，若存在非零常数T，，都有成立，我们就称函数为“T不减函数”，若，都有成立，我们就称函数为“严格T增函数”．则（    ）

A. 函数是“T不减函数”

B. 函数为“严格增函数”

C. 若函数是“不减函数”，则k的取值范围为

D. 已知函数，函数是奇函数，且对任意的正实数T，是“严格T增函数”，若，，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据“T不减函数”和“严格T增函数”的概念与性质，结合三角函数的性质计算即可判断AB；根据函数新定义，结合不等式恒成立，即可判断C；根据函数的奇偶性和单调性可得，即可判断D.

【详解】A：，则，

，

当时，，所以，

所以函数是“T不减函数”，故A正确；

B：函数，则，

得

，

由，得，所以，

所以即在上不恒成立，

故函数不是“严格增函数”，故B错误；

C：因为函数是“不减函数”，所以对恒成立，对恒成立，

得，

即对恒成立，

又，所以，

则，即实数k的取值范围为，故C正确；

D：函数的定义域为R，，

所以函数为奇函数，得，

又函数为奇函数，得，

所以.

又函数和在R上单调递增，所以函数在R上单调递增，

所以，即函数为奇函数，

又函数为“严格T增函数”，，

所以，得，

则，即，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知A，B，C三点共线，若，则______．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】根据向量共线的充要条件计算即可.

【详解】因为A，B，C三点共线，故有

而，故，解之得.

故答案为：

14. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若曲线关于轴对称，则曲线的一个对称中心为______．

【答案】（对称中心坐标为）

【解析】

【分析】求出曲线对应的函数解析式，根据函数的对称性可求得的值，再利用正弦型函数的对称性可求得曲线的对称中心坐标，即可得解.

【详解】将的图象向左平移个单位长度后得到曲线，

则曲线对应的函数解析式为，

由题意可知，函数为偶函数，

则，解得，

因为，则，所以，，

曲线

由可得，

所以，曲线的一个对称中心为.

故答案为：.

15. 已知为锐角，且满足，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用三角恒等变换得到，结合为锐角求出，得到答案.

【详解】

，

故，即，

因为，所以，

故，解得，则.

故答案为：

16. 已知函数，若任意，存在，满足，则实数t的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由，求得，根据题意得到，再由，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】由，可得，则，

可得，即，

因为任意，存在，满足，

是的值域的子集，

因为，可得，则，

则满足，解得，即实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知复数，．

（1）若是纯虚数，求的值；

（2）若复数在复平面内对应的点在直线上，求a的值．

【答案】（1）；   

（2）或．

【解析】

【分析】（1）求得，根据纯虚数的定义求得，再根据模长公式求解即可；

（2）求得，从而可得，求解即可.

【小问1详解】

因为，

要使是纯虚数，需满足，，解得，

所以，．．

【小问2详解】

因为，所以复数在复平面内对应的点为

又因为复数在复平面内对应点在直线上，

所以．

整理得．解得或．

故a值为或．

18. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求的解析式，并求的单调递增区间；

（2）当时，，求值．

【答案】（1），单调递增区间为．   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数部分图象及三角函数的周期的公式，利用三角函数的最值和单调性即可求解；

（2）根据（1）的结论及函数值的定义，利用同角三角函数函数的平方关系及两角和的余弦公式即可求解.

【小问1详解】

由图象可得的最小正周期，

故，

又，可知．

由，，解得，，

又因为，得，

所以．

由，，解得，，

所以函数的单调递增区间为．

【小问2详解】

由（1）知，

因为，所以，

当时，，

所以，

．

19. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，．

（1）若A，B，C三点共线，求x的值；

（2）当时，直线OC上是否存在一点M，使取得最小值？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．

【答案】（1）4    （2）存在，此时．

【解析】

【分析】（1）根据向量平行的充要条件计算即可；

（2）设点M坐标，利用向量数量积的坐标表示计算，结合二次函数求最值即可.

【小问1详解】

由题意可得：，，

因为A，B，C三点共线，所以，

故，解得．

【小问2详解】

假设直线OC上存在M点，

因为，所以，

设，

则，．

当时，取最小值，此时．

20. 在①；②；③设的面积为S，且．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________，．

（1）若，求的面积；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围．

【答案】（1）任选一条件，面积皆为；   

（2）

【解析】

【分析】（1）若选①，利用正弦定理可得；若选②，利用切化弦可得；若选③，利用及余弦定理可得.后利用及余弦定理可得，即可得的面积；

（2）由（1）及正弦定理，可得，求出范围后可得答案.

【小问1详解】

选①，利用正弦定理化简得，

整理得，

即，

因，故，

又，故．

选②，因为

，

所以，

又，故．

又，故．

选③，因为，即，

所以，

根据余弦定理可得，所以，

又，故．

由余弦定理得，

即，解得，

所以的面积．

【小问2详解】

由（1）知，，

由正弦定理得：

在锐角ABC中，，

即，所以，即．

又，所以，

故．

21. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．

（1）设函数，试求的伴随向量；

（2）将（1）中函数的图象向右平移个单位长度，再把整个图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）   

（2）存在点满足题意.

【解析】

【分析】（1）根据已知条件及两角和的余弦公式，利用降幂公式及伴随向量的定义即可求解；

（2）根据（1）及辅助角公式，利用三角函数的平移变换及伸缩变换，结合和向量垂直的条件、三角函数及二次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

所以的伴随向量．

【小问2详解】

，

由函数的图象向右平移个单位长度，再把整个图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图象，得，

假设存在点，使得，则

．

即．

又因为，，

所以．

又因为，

所以当且仅当时，和和同时等于．

此时，故在函数的图象上存在点P，使得．

22. 某公园有一块长方形空地ABCD，如图，，．为迎接“五一”观光游，在边界BC上选择中点E，分别在边界AB、CD上取M、N两点，现将三角形地块MEN修建为花圃，并修建观赏小径EM，EN，MN，且．

（1）当时，求花圃的面积；

（2）求观赏小径EM与EN长度和的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题可得，，后由锐角三角函数知识可得EM，EN，即可得花圃的面积；

（2）设，则，则可将化为，又令，可得，后由范围及函数单调性可得答案.

【小问1详解】

由题可得，.

则.

故；

【小问2详解】

设，则，

结合题意可知，则.

又，

则，

令，则

，所以，

又，所以，因在上单调递增，在上单调递减，，

则.因为函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，所以.

所以，即观赏小径EM与EN长度和的取值范围为．