(暑期班)2025年高二数学暑假讲义第17讲 抛物线的简单几何性质+课后练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：抛物线的简单几何性质
知识点02：直线与抛物线的位置关系
设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
【即学即练1】直线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【详解】直线过定点，∵，∴在抛物线内部，
∴直线与抛物线相交，故选：A．
知识点03：直线和抛物线
1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.
2、抛物线的焦点弦
过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则
①，；②；③.
【即学即练2】已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
【答案】（1），焦点坐标为；（2）8.
【详解】解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，
联立方程组消去可得，则，所以.
说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
题型01抛物线的简单性质
【例1】抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵抛物线C与抛物线关于轴对称，∴抛物线C的方程为，∴抛物线C的准线方程是.故选：C.
【变式1】对抛物线，下列描述正确的是
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】B
【详解】解：因为抛物线，可知化为标准式为抛物线，2p=1/4，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为，选B
题型02直线与抛物线的位置关系
【例1】（多选）若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由题意得，点在抛物线上或其内部，则，解得，
∴其准线为.故选:BD．
【例2】已知M是抛物线上一点，则点M到直线的最短距离为 ．
【答案】
【详解】设，则点M到直线的距离，当时取等号.故答案为：
【变式1】已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（ ）
A．4 B．2 C．0或4 D．8
【答案】C
【详解】联立得：，当时，交点为，满足题意；
当时，由，解得，综上可知： 或，故选：C
【变式2】（多选）若直线与抛物线只有一个交点，则的可能取值为（ ）
A．2 B． C． D．0
【答案】BD
【详解】联立，消去可得，∵直线与抛物线只有一个交点，
或.故选：BD.
题型03抛物线的弦长
【例1】已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，且弦被点平分.
(1)求直线的方程；
(2)求弦的长度.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设则，
由，可得
所以，得直线的方程为.
（2）联立方程，得，
得，所以
【变式1】已知动圆过定点，且与直线：相切，圆心的轨迹为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点作倾斜角为的直线交轨迹于，两点，求．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设，由动圆过定点，且与直线：相切，
，整理得，故动点的轨迹方程为．
（2）设，，直线的方程为，
则由，整理得,
．
题型04抛物线的中点弦和点差法
【例1】已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，直线l交抛物线于M，N两点，
设，则，两式相减得，
整理得，因为MN的中点为，则，
所以，所以直线l的方程为即.故选：A
【变式1】已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是 ．
【答案】
【详解】时，，在抛物线内部（含焦点的部分），设，，
由，相减得，∴，即，
直线方程为，即，故答案为：．
【变式2】已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点，
所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为，
将点代入可得，所以，所以抛物线的标准方程为，
（2）抛物线中，时，，在抛物线内部，可以为弦的中点．
设点，直线斜率为，点在抛物线上，所以
所以，即，所以直线方程为．
经检验，直线符合题意.
题型05抛物线的焦点弦
【例1】已知曲线C位于y轴右侧，且曲线C上任意一点P与定点的距离比它到y轴的距离大1．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)若直线l经过点F，与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
【答案】(1)；(2)或．
【详解】（1）由题意动点与定点的距离和它到直线的距离相等，
所以，曲线C是以F为焦点，直线为准线的抛物线（去掉顶点），，
所以曲线C的轨迹方程是；
（2）若直线斜率不存在，则不合题意，因此直线斜率存在，
设直线方程为，代入曲线C方程整理得，
设，则，，
所以直线方程为，即或．
【例2】已知点在抛物线上，记为坐标原点，，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切．
(1)求抛物线的方程；
(2)记抛物线的焦点为，过点作直线与直线垂直，交抛物线于，两点，求弦的长．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
依题意可得，解得或，又、、， 所以，所以抛物线方程为.
（2）由（1）可得，，，
因为直线直线，所以，所以直线的方程为，即，
由，消去整理得，设，，所以，
所以，所以.
【变式1】已知抛物线过点（）．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）∵抛物线过点，∴．
又∵，∴，上故的方程为．
（2）设，，由（1）知，抛物线的焦点为，
∵直线的斜率为，且过点，∴直线的方程为，
联立得，则． ∴，
故线段的长度为．
【变式2】已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为关于抛物线的准线的对称点为，所以有；
（2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得
，设，因此有，
则有
题型06抛物线的向量问题
【例1】已知点M到点的距离比它到直线l：的距离小，记动点M的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若过点F的直线交E于，两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为点M到点的距离比它到直线l：的距离小，
所以点M到点的距离等于它到直线l：的距离，
则点M的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，则曲线E的方程为.
（2）设，由得：，且，得，
即，所以，
代入抛物线方程，得，
整理得，同理可得
故是方程的两根，，由韦达定理可得①，
由题意，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为，
与抛物线方程联立可得，易得，由韦达定理可得②，
由①②可得，故在x轴的正半轴上存在一点满足条件.

【变式1】已知点，直线交y轴于点H，点M是l上的动点，过点M且垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P．
(1)求点P的轨迹C的方程：
(2)若A、B为轨迹C上的两个动点，且，证明直线AB必过定点，并求出该定点．
【答案】(1)(2)证明见解析，定点
【详解】（1）由题意，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹方程.
（2）设直线，
联立，而①，
∴，则，
由，即满足①式，
∴直线：必过点.
题型07抛物线的三角形问题
【例1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线C上，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，求的面积.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由抛物线的定义可得，
因为，所以，解得，故抛物线的标准方程为.
（2）设，由（1）知.
由，得，,则，，
所以,
所以,
因为点到直线的距离,
所以的面积为.
【变式1】已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由焦点F到准线的距离为2，即，故抛物线的标准方程为；
（2）由（1）知：，则直线为，即，
联立抛物线可得：，则，，
所以，
又O到直线的距离，所以.
课后巩固练习
一、单选题
1．已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在轴上，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线内部，
将选项中的点分别在直角坐标系中画出来，只有点在抛物线内部，故当点位于点处，此时经过点P的任意一条直线与C均相交，故均有公共点，故选：D
2．已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】依题意，，则由解得，所以点的横坐标为3.故选：A
3．已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.故选：C.
4．已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【详解】依题意作下图：

设，，所以，可得，由，解得，所以，所以.故选：A.
5．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【详解】由已知，抛物线开口向左，设其方程为,，则准线方程为，由抛物线的定义知，点到焦点的距离是，所以，所以抛物线的方程是：，故选：B.
6．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】如图所示，由题得，抛物线的准线方程为.
所以.故选：C

7．过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为点作两条直线分别交抛物线于，两点，在抛物线上，所以直线斜率一定不为，设直线的方程为：，设，与联立方程可得：，即，所以，
则
，所以①，
，
所以②，由①②可得：，所以，故.故选：A.
二、填空题
8．已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ．
【答案】2
【详解】设交点坐标为过的直线为，与抛物线联立可得，，故．，
故当时，动直线有且仅有一条，即，故．故答案为：2.
9．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是 ．
【答案】
【详解】由题意知，抛物线焦点坐标为，从而设直线AB的方程为，
联立方程，得，，，.
所以.故答案为：.
三、解答题
10．已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）如图所示：
由题意可知，因为，，由，，可得，
由抛物线的定义可知，，解得．则的方程为.
（2）如图所示：
在抛物线上，所以，设直线的方程为，，，
将代入，得，则，
，同理
整理得，，
直线的方程为，所以直线过定点.
当时，点到直线距离最大，且最大距离为，
经检验符合题意.
11．在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）由题可知，点P到抛物线准线的距离为5，
因为抛物线的准线方程为，点P的横坐标为4，
所以，解得，所以抛物线的方程为；
（2）证明：设，且，联立消去x可得，
则，且，即，所以，
由，得，即，
解得（舍）或，故直线l的方程为，
所以直线l必过定点．
第17讲 3.2抛物线的简单几何性质 随堂检测
1.对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
2.已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条
【答案】C
【详解】联立直线和抛物线方程可得，整理可得
，直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根，
当时，方程为仅有一解，符合题意；
当时，一元二次方程仅有一解，即，解得，
所以满足题意得直线有三条，即，和.故选：C
3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值 ．
【答案】6
【详解】试题分析：根据题意，由于双曲线的右焦点坐标为，因此可知抛物线的焦点,故答案为6
4.已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ．
【答案】
【详解】由，消去得，由题意，解得，
则抛物线方程为：，所以抛物线的准线方程为：，即．故答案为：．
5.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 .
【答案】
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线的倾斜角为，
设直线与抛物线交于两点，则直线的方程为，代入得，
则，，，，，则，故答案为：
6.已知抛物线，其准线方程为．
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）准线为，，抛物线的方程为；
（2）设，联立，得，
，得，则，因为，则，
则，即，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，符合题意；
综上，m的值为．
7.已知抛物线是抛物线上的点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题意，在抛物线中，，
由几何知识得，，解得：，故抛物线的方程为：.
（2）由题意及（1）得，直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则，两式相减得，整理得，
因为的中点为，∴，
∴直线的方程为：，即，经检验，满足题意.
课程标准
学习目标
①理解与掌握抛物线的几何性质。
②通过对抛物线几何性质来解决与圆锥曲线有关的点、线、面积、周长的相关计算问题。
③会解决与抛物线有关的弦、定点、定值与取值范围问题的处理。
通过本节课的学习，要求掌握抛物线的性质，并能解决与之相关的计算与证明问题
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长