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第13讲 椭圆（十大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
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这是一份第13讲 椭圆（十大题型）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义，文件包含第13讲椭圆十大题型教师版-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义docx、第13讲椭圆十大题型学生版-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
题型一：椭圆的定义
题型二：求椭圆的标准方程
题型三：椭圆的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：椭圆的简单几何性质
题型六：求椭圆的离心率
题型七：求椭圆离心率的取值范围
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
题型九：椭圆中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【知识点梳理】
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
知识点诠释：
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
知识点诠释：
(1)这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
(2)在椭圆的两种标准方程中，都有和；
(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
(4) 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
知识点三：求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
(1)待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.
(2)定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
知识点四：椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆(a＞b＞0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作.
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较
知识点诠释：椭圆，(a＞b＞0)的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【典例例题】
题型一：椭圆的定义
例1．(2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末)设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是( )
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.
故选：A.
例2．(2023·高二课时练习)设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为( )
A．12B．24C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，
又过的直线交椭圆于A、B两点，
故的周长
，
故选：D
例3．(2023·高二课时练习)已知，动点C满足，则点C的轨迹是( )
A．椭圆B．直线
C．线段D．点
【答案】C
【解析】因为，
所以，知点C的轨迹是线段AB．
故选：C.
例4．(2023·上海静安·高二校考期中)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为( )
A．B．C．4D．
【答案】D
【解析】椭圆，则，所以，
因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.
故选：D
例5．(2023·全国·高二专题练习)已知点，动点P满足，则点P的轨迹为( )
A．椭圆B．直线C．圆D．线段
【答案】A
【解析】 ，
故，
又，
根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.
故选：A.
题型二：求椭圆的标准方程
例6．(2023·上海·高二专题练习)方程，化简的结果是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，可得点到定点，的距离之和等于12，
即，
所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为，
则，，
所以，，
故方程为.
故选：B.
例7．(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，
所以，得.
又因为，所以四边形为矩形，设，
则，所以得或；
则，则，
椭圆的标准方程为.
故选:C.
例8．(2023·高二课时练习)已知椭圆的左焦点到直线的距离为，求椭圆的标准方程.
【解析】椭圆转化为标准方程得：，
所以，则左焦点，
由点到直线的距离公式可得：，
所以椭圆的标准方程为.
例9．(2023·全国·高二专题练习)求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)经过点两点.
【解析】(1)若焦点在x轴上，设方程为，
∵椭圆过点，，解得，
∵，∴，∴方程为，
若焦点在y轴上，
设方程为
∵椭圆过点，∴，解得，
又，∴，∴方程为.
综上所述，椭圆方程为或；
(2)由已知，有，解得，，
若焦点在y轴上，则，
若焦点在x轴上，则，
∴所求椭圆方程为或；
(3)设方程为
则，解得，
则所求椭圆方程为
例10．(2023·广西·高二广西师范大学附属中学校考期中)根据下列条件求椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为，过点；
(2)经过两点．
【解析】(1)设椭圆的长半轴为，短半轴为，
因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且，
又椭圆过点，所以，
所以，
所以，故，所以椭圆的标准方程为；
(2)设椭圆方程为，因为椭圆经过两点，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
例11．(2023·吉林长春·高二校考期中)求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为，，经过点；
(2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为.
【解析】(1)设椭圆的标准方程为，
依题可得，
将代入到方程中得，
故，
所以椭圆的标准方程为.
(2)设椭圆的标准方程为，
依题可得，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为
题型三：椭圆的综合问题
例12．(2023·广西柳州·高二校考期末)若椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，过作轴的垂线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求三角形的面积.
【解析】(1)由题知焦点坐标分别是，
设椭圆方程为：将代入得：解得，
(2)过作轴的垂线，其方程为，与联立解得：
例13．(2023·高二课时练习)已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积．
【解析】如下图所示：
由椭圆方程可知，
根据椭圆定义可知，
所以的周长为，
即的周长为；
易知，
又直线的倾斜角为，则，
所以直线的方程为，设
联立整理可得，
由韦达定理可知；
由图可知的面积为；
所以的周长为，面积为
例14．(2023·高二课时练习)已知椭圆的焦点分别是，点分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)求点B与两点，的连线的斜率的乘积；
(3)设点P在这个椭圆上，且，求的长．
【解析】(1)因为椭圆的焦点分别是，所以
又因为，，联立可得，，
所以椭圆的方程为；
(2)由分别为椭圆的长轴端点，所以不妨设，，
由点B为椭圆的短轴端点，所以或，
当时，，，
所以，
当时，，，
所以，
所以点B与两点的连线的斜率的乘积为；
(3)因为点P在这个椭圆上，所以，由小问(1)知，
所以，又，联立可得.
例15．(2023·高二课时练习)已知椭圆的方程为，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且，求的面积．
【解析】由，可知，所以，从而.
在中，由余弦定理得，即，①
由椭圆定义得，②
由①②联立可得，解得.
所以.
例16．(2023·高二课时练习)已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求
(1)
(2)的面积
【解析】(1)因为椭圆方程为，则，
即，可得，
因为，则
即，所以.
(2)由(1)得，
因为，所以.
例17．(2023·广西·高二校联考期中)已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使面积最大时直线l的方程．
【解析】(1)因为长轴长是短轴长的倍，则，
所以椭圆C的方程为，
把点的坐标代入上式，得，可得，所以，
故椭圆C的方程为．
(2)易知右焦点F的坐标为，
若直线l的斜率为0，则O，A，B三点不能构成三角形，
所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，
联立方程组，消去x，得，
判别式，
设，则，，
．
令，则，
当且仅当时，等号成立，即，解得，
所以此时直线l的方程为或．
例18．(2023·高二课时练习)在椭圆内有一点，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．
【解析】设过A点的直线l与椭圆交于，，如图所示．
所以,
两式相减得,
∴.
∵A为的中点,
∴,，即.
由题意:,所以,即.
∴所求椭圆方程为.
例19．(2023·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中)已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.
(1)求这个椭圆的标准方程及离心率；
(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求的取值范围.
【解析】(1)由题意可得， ，
所以，，
所以椭圆的方程为：；；
(2)由，可得，
因为直线与这个椭圆交于两不同的点，
所以，
解得，
所以的取值范围为.
例20．(2023·浙江宁波·高二校考期中)已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线：与椭圆有两个交点，求实数的取值范围.
【解析】(1)由题意可知，，解得，
故椭圆标准方程为.
(2)由，消去，得，
因为直线与椭圆有两个交点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为.
例21．(2023·全国·高二专题练习)已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围．
【解析】由题可知，，
因为，
∴时，有最大值，或时，有最小值，
即的取值范围为.
题型四：轨迹方程
例22．(2023·山东菏泽·高二统考期末)点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，
因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，
所以，即，
整理得，
故选:C.
例23．(2023·安徽芜湖·高二芜湖一中校考阶段练习)已知动圆过定点，并且在定圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设动圆圆心为，动圆的半径为，则，
因为动圆在定圆：的内部与其相内切，
所以,所以，即，
因为，,所以，
由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
故选：A
例24．(2023·高二课时练习)在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在中，因为，
所以，
又，则，
所以，即，
由于，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，
由，
所以顶点的轨迹方程是.
故选：A.
例25．(2023·河南洛阳·高二校考阶段练习)已知动圆过动点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，动圆的半径为，则，
因为动圆在定圆：的内部与其相内切，
所以,
所以，即，
因为，,所以,
由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
故选：A
例26．(2023·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考期末)已知的周长为，，，则顶点的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵的周长为，，
∴，，
∴顶点的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆(不含轴上的顶点)，
又，，可得，
∴顶点的轨迹方程为：．
故选：D．
例27．(2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中)当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，，
为中点，，则，即，
又在椭圆上，，即，
点轨迹方程为：.
故选：D.
例28．(2023·北京通州·高二统考期末)如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，,，则,．
为线段的中点，
，即，．
又点在圆上，
，即．
故点的轨迹方程为．
故选：A
例29．(2023·山西运城·高二校联考阶段练习)在平面直角坐标系中，已知圆：(圆心为)，点，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆：的圆心，半径.
由于，所以在圆内，
根据垂直平分线的性质可知，
所以，
所以点的轨迹是椭圆，且，
所以点的轨迹方程是.
故选：C
例30．(2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习)设P为椭圆上一动点，分别为左､右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆可得，，即点，
依题意，，
所以动点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，方程为.
故选：C
例31．(2023·北京·高二北京二中校考阶段练习)设为坐标原点，动点在椭圆C：上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，，则，，
由，则，解得，
由点在椭圆C：上，则，即，
即点的轨迹方程是.
故选：C.
例32．(2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中)已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】分别为椭圆的左、右焦点，
设，G点是三角形的重心
则，得，
又是椭圆E上一动点，，即，
又G点是三角形的重心，
所以点G的轨迹方程为
故选：B
例33．(2023·甘肃兰州·高二兰州市第二十八中学校考期末)已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图，由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故选：D
例34．(2023·江苏连云港·高二统考期中)已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆，，，，
即动点轨迹方程为.
故选：D.
题型五：椭圆的简单几何性质
例35．(2023·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期中)椭圆的焦距为______.
【答案】
【解析】因为椭圆，即，
所以，即，
所以焦距为.
故答案为：
例36．(2023·广东梅州·高二统考期末)已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则______.
【答案】8
【解析】椭圆，故，为等腰直角三角形，故，
故，即，.
故答案为：
例37．(2023·天津宁河·高二校考阶段练习)椭圆的一个焦点是，则实数的值为________.
【答案】2
【解析】变形得到，
因为椭圆的一个焦点是，在轴上，
故，解得：.
故答案为：2
例38．(2023·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习)若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________.
【答案】或
【解析】因为椭圆的离心率为，易知，
当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.
当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，得，满足题意，
此时，所以椭圆的长轴长为.
故答案为：或.
例39．(2023·高二课时练习)椭圆的内接正方形的周长为__________．
【答案】/19.2
【解析】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为，
则，所以周长为，
故答案为：
例40．(2023·高二课时练习)一椭圆的短半轴长是，离心率是，焦点为，弦AB过，则的周长为__________．
【答案】12
【解析】因为椭圆的短半轴长是，所以.离心率是，所以.
由可得，即.
根据椭圆的定义，
可得的周长为.
故答案为：12.
例41．(2023·高二课时练习)已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆上，
所以点(m,n)满足椭圆的范围，
因此，即．
故答案为：.
题型六：求椭圆的离心率
例42．(2023·福建泉州·高二校联考期中)椭圆：的左焦点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与交于点，且，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为以为圆心，为半径的圆与交于点，
所以，，因为，所以，
又由定义可得，所以，所以
故选：B．
例43．(2023·高二课时练习)椭圆的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为( )
A．B．-1C．D．
【答案】D
【解析】由题意，直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则其纵坐标为2c，
将其代入=1，得，解之得，
又椭圆的离心率，所以.
故选：D.
例44．(2023·高二课时练习)直线与椭圆的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，连接，由题意得：，由勾股定理得：，由椭圆定义可得：，即，所以.
故选：B
例45．(2023·湖北·高二校联考期中)记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为椭圆的左顶点为，右焦点为，
所以，
因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，
因为直线的倾斜角为，
所以，又，
化简，所以解得.
故选：A.
例46．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)已知点分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知：，；
为正三角形，则：；
，，
.
故选:A
例47．(2023·山西晋中·高二介休一中校考阶段练习)已知椭圆的右顶点为，下顶点为，为坐标原点，且点到直线的距离为，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
所以直线的方程为即，
所以点到直线的距离为，所以，
所以．
故选：B．
例48．(2023·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期中)已知椭圆：()的左右焦点分别为、，为椭圆上一点，，若坐标原点到的距离为，则椭圆离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，
作，，
由题意可得，，，
即有，，由，
可得，
因为，在直角三角形中，由勾股定理得，
可得．
故选：D．
例49．(2023·陕西汉中·高二统考期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆E上的点P满足轴，，则椭圆E的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为轴，令，代入，
可得， ，
因为，所以，
而由，
，即，
解得(舍)或.
故选：A.
例50．(2023·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习)已知椭圆E:的左，右焦点分别为，(如图)，过的直线交E于P，Q两点，且轴，，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意设，则，所以；
由于，所以
由得，化为，所以，得
故选：A
题型七：求椭圆离心率的取值范围
例51．(2023·高二课时练习)已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图：
当P在上顶点时，最大，此时，
则，
所以，
即，，
所以，
则，
所以椭圆的离心率的取值范围是，
故选：A
例52．(2023·河南安阳·高二安阳市第三十九中学校考阶段练习)已知F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 ( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，
则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，
可得，即c2≥b2，
所以2c2≥a2，即e2≥，
又e<1，所以e∈．
故选：B
例53．(2023·高二课时练习)已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，当点落在上顶点时，恰好有6个直角三角形，此时，，当椭圆变扁时，椭圆越扁，离心率越大，，此时为直角三角形点P有8个，
故选：C
例54．(2023·高二课时练习)已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】所以，又，所以，
，
故选：D．
例55．(2023·湖北·高二赤壁一中校联考期末)已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，由余弦定理得：
，又，
即，
解得，
因为，得，
故.又，所以.
故选：B.
例56．(2023·全国·高二专题练习)已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点P的坐标，根据题意构造齐次方程，计算即可.设，则，
∴，
由，∴，
化为，∴，
整理得，
∵，∴，
解得，
故选：B
例57．(2023·江苏苏州·高二江苏省梁丰高级中学校考期中)已知椭圆的左右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆的定义知：，
因为，即，
又因为，所以，
所以有：，
，
故椭圆的离心率的取值范围是．
故选：C
例58．(2023·安徽滁州·高二校考阶段练习)在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据椭圆定义，
将代入得|，
根据椭圆的几何性质，，
故，即，
故，又，
所以椭圆离心率的取值范围为
故选：B．
例59．(2023·全国·高二专题练习)设椭圆的两个焦点分别为，若在轴上方的上存在两个不同的点满足，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，
当点在上最大，若在轴上方的上存在两个不同的点
满足，只需，
又，
所以
故选：C
例60．(2023·海南·高二统考学业考试)已知椭圆的焦距大于2，则其离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为．
因为，所以，，则，解得，
此时，所以．
故选：C.
例61．(2023·山东日照·高二统考期末)已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为( )．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以，
即，，，所以，即，
又因为，所以椭圆离心率的取值范围为．
故选：A．
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
例62．(2023·广东阳江·高二校考期末)已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为______.
【答案】
【解析】由已知可得，，可得，，
所以，，解得.
故答案为：.
例63．(2023·四川乐山·高二校考期中)已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是___________.
【答案】/0.25
【解析】因为焦点在y轴上的椭圆，故，
又，所以.
故答案为：
例64．(2023·全国·高二专题练习)已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．
【答案】/
【解析】由题设，解得，
所以长轴长与短轴长的比值为.
故答案为：
例65．(2023·全国·高二专题练习)若椭圆和椭圆的离心率相同，且，给出如下四个结论：
①椭圆和椭圆一定没有公共点；
②；
③；
④.
则所有结论正确的序号是_____.
【答案】①②
【解析】设，由已知可得，则，
所以，，则，②对；
在椭圆上任取一点，则，
所以，，即点在椭圆内，①对；
因为，则，即，③错；
因为，即，④错.
故答案为：①②.
例66．(2023·浙江·高二期末)椭圆的离心率是椭圆上关于轴都不对称的两点，线段的垂直平分线与x轴交于点，若的中点为，则的值为_______．
【答案】
【解析】设，，则，
因为，所以，
由得，得，
所以，
又线段的垂直平分线与x轴交于点，
所以，所以，解得.
故答案为：.
例67．(2023·全国·高二专题练习)已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且离心率为，求短轴长为______.
【答案】
【解析】由题意，椭圆的右顶点为，可得，
又由椭圆的离心率为，即，可得，
所以，所以，即椭圆的短轴长为.
故答案为：.
题型九：椭圆中的范围与最值问题
例68．(2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末)已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是______．
【答案】
【解析】设，
，
，
，
当时，取得最大值，
故答案为：
例69．(2023·陕西宝鸡·高二统考期末)已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为_______．
【答案】4
【解析】因为点在上，
所以有，
由，当且仅当时取等号，
故答案为：4
例70．(2023·陕西咸阳·高二统考期末)已知椭圆的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为______．
【答案】2
【解析】依题意，
由于，所以解得，所以椭圆的方程为，
设，则，
，
由于，所以当时，取得最大值为.
故答案为：
例71．(2023·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期中)设､是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为___________.
【答案】14
【解析】如图所示
由椭圆的性质可得，，
所以的周长，
当最小时，最大，又当轴时最小，
此时，
所以的最大值为14，
故答案为：14
例72．(2023·江苏宿迁·高二校考阶段练习)若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为__________.
【答案】/
【解析】易知当点为椭圆与轴的交点时，最大，
因为椭圆方程为，
所以，，
此时，，
满足，
所以为等腰直角三角形，所以．
故答案为：
例73．(2023·上海·高二专题练习)设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】由题意，椭圆，可得，即，
根据椭圆的定义，可得，
则，
所以，
当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值，
此时，所以的最大值为.
故答案为：.
例74．(2023·高二课时练习)已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为______．
【答案】/
【解析】根据题意椭圆方程为，
所以，，
所以，，
故，
如图，根据椭圆定义可得：
，
当点运动到的延长线和椭圆交点时，
取得最大，
此时，
所以的最大值为.
故答案为：
例75．(2023·广东汕头·高二汕头市聿怀中学校考期末)已知椭圆：的右焦点F，点Р在椭圆C上，又点，则的最小值为___________.
【答案】6
【解析】
由椭圆的定义知：，所以，
因此，
而的最小值是当三点共线时，
因此，
又，因此，
所以，因此的最小值为，
故答案为：6.
例76．(2023·全国·高二专题练习)过椭圆1(a＞b＞0)的中心作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为__．
【答案】2a+2b
【解析】如图，
由椭圆的定义知|PF|+|PF1|＝2a
由椭圆的对称性知|QF|＝|PF1|，
∴有|PF|+|QF|＝2a，而|PQ|的最小值是2b，
∴△PFQ的周长的最小值为2a+2b．
故答案为：2a+2b．
例77．(2023·高二单元测试)过椭圆的中心任作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长的最小值为___________.
【答案】18
【解析】记右焦点为，由题意，
由题意关于原点对称，所以等于到右焦点的距离，
所以，而线段的最小值为短轴长，
所以的周长的最小值．
故答案为：18．
例78．(2023·高二单元测试)若点M是椭圆＋＝1上的一点，O为坐标原点，则|OM|的最大值和最小值分别是__________．
【答案】3，
【解析】由椭圆＋＝1得，，设点，则，
又，所以当M点分别为长轴端点、短轴端点时，|OM|取得最大值、最小值，所以|OM|的最大值和最小值分别是3，．
故答案为：3，.
例79．(2023·重庆南岸·高二重庆市南坪中学校校考阶段练习)已知椭圆：的左焦点为，点，为椭圆上一动点，则的周长的最小值为________.
【答案】4
【解析】设椭圆的右焦点为，，点在椭圆内，点，且因为为椭圆上一动点，故，
，，
的周长为，
当且仅当位于射线与椭圆的交点时，等号成立，所以周长的最小值为4.
故答案为：4
题型十：焦点三角形
例80．(2023·高二课时练习)已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为______．
【答案】
【解析】由题知，，，
因为点在椭圆上，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
从而．
故答案为：
例81．(2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中)设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.
【答案】/
【解析】椭圆，即，所以，，，
因为，所以点为短轴顶点，所以.
故答案为：
例82．(2023·广西南宁·高二统考开学考试)已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】椭圆的焦点，，设点，
依题意，，又，于是，
所以点的坐标为.
故答案为：
例83．(2023·河南开封·高二校考阶段练习)设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为________.
【答案】24
【解析】由椭圆的方程可得：，，
，
，
，且根据椭圆的定义可得：，
，，
则在中，
，
，
故答案为：24.
例84．(2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中)设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为_______.
【答案】4
【解析】∵，；∴，因为，所以，
设，，
则①，②，
由①2﹣②得，
∴．
故答案为：4．
例85．(2023·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中)设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为___________.
【答案】7
【解析】由题意得，，，，∴在以线段为直径的圆上，
∴，∴①，
由椭圆的定义知，②，由①②，解得，
.
故答案为：7.
例86．(2023·广东深圳·高二深圳中学校考期末)已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的值为 __．
【答案】2
【解析】，；，，
设，，为椭圆上一点，①，
，②，
由①②得，
．
故答案为：2．
例87．(2023·高二单元测试)椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
【答案】
【解析】，．
在中，，
．
故答案为：.
例88．(2023·高二单元测试)椭圆的两个焦点为､，点P在椭圆C上，且，，，则椭圆C的方程为___________.
【答案】
【解析】∵，，，
∴，又，
∴，，
∴，
∴，
∴椭圆C的方程为.
故答案为：.
例89．(2023·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习)椭圆(为非零常数)的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________．
【答案】
【解析】由，可知，，所以，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
，由椭圆的定义知，则
∴.
故答案为：7
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山西大同·高二统考期末)如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为( )
A．6B．10C．8D．12
【答案】C
【解析】如图，连接，，，
由椭圆方程可得：，则，
由椭圆定义可得，所以，
因为是的中点，是的中点，则由中位线可得：.
故答案为：C.
2．(2023·山西晋中·高二统考期末)曲线和，则和更接近圆的是( )
A．B．C．相同D．无法判断
【答案】A
【解析】分别将曲线和化为标准方程可得，
，，由椭圆的性质可得，曲线的离心率为，
曲线的离心率为，显然，因此曲线更接近圆.
故选：A.
3．(2023·高二单元测试)是椭圆的两个焦点，A是椭圆上任一点，过任一焦点向的外角平分线作垂线，垂足为P，则P点的轨迹是( )
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【解析】如图，平分的外角，，垂足为，直线交的延长线于，令椭圆长轴长为，
于是，为的中点，而为的中点，则，
若过作的外角平分线的垂线，垂足为，同理得，
所以P点的轨迹是以椭圆中心为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆.
故选：A
4．(2023·福建福州·高二校联考期中)椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设为椭圆的半焦距，由题意可得，
由对称性可设,
则,
因为，所以,
所以,即,解得或(舍).
故选:B.
5．(2023·高二课时练习)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意可设椭圆方程为，
易知，且，解得；
所以，故椭圆方程为.
故选：A
6．(2023·高二课时练习)已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为P点在椭圆上，则，记，
所以，
又因为开口向上，对称轴，
且，所以当时，取到最小值.
故选：B.
7．(2023·高二课时练习)椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为( )
A．B．4C．7D．
【答案】C
【解析】由＝1可知，，
所以，
所以F1(－3,0)，F2(3,0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
∴可设P(3,m)，
把P(3,m)代入椭圆＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故选：C
8．(2023·高二课时练习)已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为( )
A．2B．3C．D．4
【答案】D
【解析】由椭圆，可得，所以，
又由椭圆的定义可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：D.
二、多选题
9．(2023·高二课时练习)已知点(3,2)在椭圆上，则下列各点一定在该椭圆上的是( )
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】由椭圆关于轴，轴，原点对称可知，只有点(2，3)不在椭圆上．
故选：ABC.
10．(2023·湖南常德·高二常德市一中校考期中)关于椭圆有以下结论，其中正确的有( )
A．离心率为B．长轴长是
C．焦距2D．焦点坐标为
【答案】ACD
【解析】将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故焦距为2，故C、D正确；
因为所以长轴长是，故B错误，
因为，所以，离心率，故A正确.
故选：ACD
11．(2023·湖北·高二校联考期中)已知是椭圆上一点，是左､右焦点，下列选项中正确的是( )
A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率
C．D．的面积的最大值是2
【答案】BCD
【解析】对于A，因为椭圆，所以知，
所以椭圆的焦距为，故A错误；
对于B，椭圆的离心率为，故B正确；
对于C，由椭圆的定义可得，故C正确；
对于D，设，由椭圆的几何性质可知，
所以，
即的面积的最大值是2，故D正确.
故选：BCD．
12．(2023·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习)已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A．椭圆的长轴长是4
B．的最大值是2
C．的面积的最大值为，其中为坐标原点
D．直线与椭圆相切时，
【答案】ACD
【解析】A：由，得，所以椭圆的长轴为，故A正确；
B：由，得，则，，由，得，
所以，
又二次函数的对称轴为，
所以该函数在上单调递减，则当时，函数取到最大值9，
即的最大值为3，故B错误；
C：由题意得，，
所以，即的面积的最大值为，故C正确；
D：，消去y，得，
因为直线与椭圆相切，只有一个交点，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．(2023·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中)已知是椭圆上一点，则离心率_____.
【答案】
【解析】因为是椭圆上一点，可得，解得，即，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
14．(2023·高二课时练习)椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为，短轴长为8，则椭圆的标准方程为____________________．
【答案】或
【解析】设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为，
所以
，又，结合可得，
故椭圆方程为或，
故答案为：或
15．(2023·高二课时练习)椭圆的焦点为，点P是椭圆上任意一点，当时，P点横坐标的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设，,则，
又，所以，
故答案为：
16．(2023·高二课时练习)已知分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，(O为坐标原点)是面积为的正三角形，则此椭圆的方程为__________．
【答案】
【解析】不妨设点位于第一象限，且，
因为 是面积为的正三角形，可得，解得，
所以，
由椭圆的定义得，
所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·高二课时练习)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为，，且椭圆C经过点，求椭圆C的离心率.
【解析】由椭圆的定义可得：
，
所以.又由已知c=1，
所以椭圆C的离心率.
18．(2023·高二课时练习)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为，离心率；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆有相同离心率的椭圆的标准方程．
【解析】(1)(1)依题意，焦点在x轴上，且c＝3，又，则a＝4，
∴b2＝a2－c2＝42－32＝7，
∴椭圆的方程为．
(2)设椭圆方程为，如图所示，
由一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，
可得为等腰直角三角形，为斜边的中线(高线)，
又由，所以，所以，
故所求椭圆的方程为.
(3)由题意，椭圆，可得长半轴，短半轴，
，
因为所求椭圆与椭圆有相同离心率，可得，
解得，即，
当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为，
将点代入椭圆的方程，可得，解得，
所以椭圆的方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为，
将点代入椭圆的方程，可得，解得，
所以椭圆的方程为，
综上可得，椭圆的方程为或.
19．(2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末)已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长.
【解析】(1)设焦距为，由，得，
又椭圆过，∴，
得，
∴椭圆的标准方程为；
(2)动直线l过与椭圆交于A、B两点，
∴，，
∴，
∴的周长为20.
20．(2023·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中)已知椭圆，离心率，过点．
(1)求的方程；
(2)直线过点，交椭圆与两点，记，证明．
【解析】(1)由题得，解得，
于是；
(2)由题意知直线斜率存在，
设直线，联立方程即，
消可得，
由，
设，
韦达定理可得；
综上所述：.
21．(2023·北京·高二北京师大附中校考期中)已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积.
【解析】(1)由已知有 解得
所以椭圆的方程为.
(2)由 消去，整理得.
设，则
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为
22．(2023·辽宁锦州·高二校考阶段练习)已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．
【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c，因为的周长为6，面积为，
所以，由①得：，将此式代入②得：，
所以，所以或
当时，，，所以不满足题意；
当时，，，所以满足题意．
所以椭圆C的方程为.
(2)由题可得直线斜率存在，由(1)知，设直线的方程为，
则联立，消去，整理得：，
设，则，，
又，则，
由可得，所以，同理可得，
所以
所以为定值．标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
题型一：椭圆的定义
题型二：求椭圆的标准方程
题型三：椭圆的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：椭圆的简单几何性质
题型六：求椭圆的离心率
题型七：求椭圆离心率的取值范围
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
题型九：椭圆中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【知识点梳理】
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
知识点诠释：
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
知识点诠释：
(1)这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
(2)在椭圆的两种标准方程中，都有和；
(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
(4) 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
知识点三：求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
(1)待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.
(2)定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
知识点四：椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆(a＞b＞0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作.
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较
知识点诠释：椭圆，(a＞b＞0)的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【典例例题】
题型一：椭圆的定义
例1．(2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末)设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是( )
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.
故选：A.
例2．(2023·高二课时练习)设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为( )
A．12B．24C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，
又过的直线交椭圆于A、B两点，
故的周长
，
故选：D
例3．(2023·高二课时练习)已知，动点C满足，则点C的轨迹是( )
A．椭圆B．直线
C．线段D．点
【答案】C
【解析】因为，
所以，知点C的轨迹是线段AB．
故选：C.
例4．(2023·上海静安·高二校考期中)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为( )
A．B．C．4D．
【答案】D
【解析】椭圆，则，所以，
因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.
故选：D
例5．(2023·全国·高二专题练习)已知点，动点P满足，则点P的轨迹为( )
A．椭圆B．直线C．圆D．线段
【答案】A
【解析】 ，
故，
又，
根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.
故选：A.
题型二：求椭圆的标准方程
例6．(2023·上海·高二专题练习)方程，化简的结果是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，可得点到定点，的距离之和等于12，
即，
所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为，
则，，
所以，，
故方程为.
故选：B.
例7．(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，
所以，得.
又因为，所以四边形为矩形，设，
则，所以得或；
则，则，
椭圆的标准方程为.
故选:C.
例8．(2023·高二课时练习)已知椭圆的左焦点到直线的距离为，求椭圆的标准方程.
【解析】椭圆转化为标准方程得：，
所以，则左焦点，
由点到直线的距离公式可得：，
所以椭圆的标准方程为.
例9．(2023·全国·高二专题练习)求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)经过点两点.
【解析】(1)若焦点在x轴上，设方程为，
∵椭圆过点，，解得，
∵，∴，∴方程为，
若焦点在y轴上，
设方程为
∵椭圆过点，∴，解得，
又，∴，∴方程为.
综上所述，椭圆方程为或；
(2)由已知，有，解得，，
若焦点在y轴上，则，
若焦点在x轴上，则，
∴所求椭圆方程为或；
(3)设方程为
则，解得，
则所求椭圆方程为
例10．(2023·广西·高二广西师范大学附属中学校考期中)根据下列条件求椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为，过点；
(2)经过两点．
【解析】(1)设椭圆的长半轴为，短半轴为，
因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且，
又椭圆过点，所以，
所以，
所以，故，所以椭圆的标准方程为；
(2)设椭圆方程为，因为椭圆经过两点，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
例11．(2023·吉林长春·高二校考期中)求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为，，经过点；
(2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为.
【解析】(1)设椭圆的标准方程为，
依题可得，
将代入到方程中得，
故，
所以椭圆的标准方程为.
(2)设椭圆的标准方程为，
依题可得，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为
题型三：椭圆的综合问题
例12．(2023·广西柳州·高二校考期末)若椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，过作轴的垂线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求三角形的面积.
【解析】(1)由题知焦点坐标分别是，
设椭圆方程为：将代入得：解得，
(2)过作轴的垂线，其方程为，与联立解得：
例13．(2023·高二课时练习)已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积．
【解析】如下图所示：
由椭圆方程可知，
根据椭圆定义可知，
所以的周长为，
即的周长为；
易知，
又直线的倾斜角为，则，
所以直线的方程为，设
联立整理可得，
由韦达定理可知；
由图可知的面积为；
所以的周长为，面积为
例14．(2023·高二课时练习)已知椭圆的焦点分别是，点分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)求点B与两点，的连线的斜率的乘积；
(3)设点P在这个椭圆上，且，求的长．
【解析】(1)因为椭圆的焦点分别是，所以
又因为，，联立可得，，
所以椭圆的方程为；
(2)由分别为椭圆的长轴端点，所以不妨设，，
由点B为椭圆的短轴端点，所以或，
当时，，，
所以，
当时，，，
所以，
所以点B与两点的连线的斜率的乘积为；
(3)因为点P在这个椭圆上，所以，由小问(1)知，
所以，又，联立可得.
例15．(2023·高二课时练习)已知椭圆的方程为，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且，求的面积．
【解析】由，可知，所以，从而.
在中，由余弦定理得，即，①
由椭圆定义得，②
由①②联立可得，解得.
所以.
例16．(2023·高二课时练习)已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求
(1)
(2)的面积
【解析】(1)因为椭圆方程为，则，
即，可得，
因为，则
即，所以.
(2)由(1)得，
因为，所以.
例17．(2023·广西·高二校联考期中)已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使面积最大时直线l的方程．
【解析】(1)因为长轴长是短轴长的倍，则，
所以椭圆C的方程为，
把点的坐标代入上式，得，可得，所以，
故椭圆C的方程为．
(2)易知右焦点F的坐标为，
若直线l的斜率为0，则O，A，B三点不能构成三角形，
所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，
联立方程组，消去x，得，
判别式，
设，则，，
．
令，则，
当且仅当时，等号成立，即，解得，
所以此时直线l的方程为或．
例18．(2023·高二课时练习)在椭圆内有一点，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．
【解析】设过A点的直线l与椭圆交于，，如图所示．
所以,
两式相减得,
∴.
∵A为的中点,
∴,，即.
由题意:,所以,即.
∴所求椭圆方程为.
例19．(2023·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中)已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.
(1)求这个椭圆的标准方程及离心率；
(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求的取值范围.
【解析】(1)由题意可得， ，
所以，，
所以椭圆的方程为：；；
(2)由，可得，
因为直线与这个椭圆交于两不同的点，
所以，
解得，
所以的取值范围为.
例20．(2023·浙江宁波·高二校考期中)已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线：与椭圆有两个交点，求实数的取值范围.
【解析】(1)由题意可知，，解得，
故椭圆标准方程为.
(2)由，消去，得，
因为直线与椭圆有两个交点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为.
例21．(2023·全国·高二专题练习)已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围．
【解析】由题可知，，
因为，
∴时，有最大值，或时，有最小值，
即的取值范围为.
题型四：轨迹方程
例22．(2023·山东菏泽·高二统考期末)点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，
因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，
所以，即，
整理得，
故选:C.
例23．(2023·安徽芜湖·高二芜湖一中校考阶段练习)已知动圆过定点，并且在定圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设动圆圆心为，动圆的半径为，则，
因为动圆在定圆：的内部与其相内切，
所以,所以，即，
因为，,所以，
由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
故选：A
例24．(2023·高二课时练习)在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在中，因为，
所以，
又，则，
所以，即，
由于，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，
由，
所以顶点的轨迹方程是.
故选：A.
例25．(2023·河南洛阳·高二校考阶段练习)已知动圆过动点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，动圆的半径为，则，
因为动圆在定圆：的内部与其相内切，
所以,
所以，即，
因为，,所以,
由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
故选：A
例26．(2023·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考期末)已知的周长为，，，则顶点的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵的周长为，，
∴，，
∴顶点的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆(不含轴上的顶点)，
又，，可得，
∴顶点的轨迹方程为：．
故选：D．
例27．(2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中)当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，，
为中点，，则，即，
又在椭圆上，，即，
点轨迹方程为：.
故选：D.
例28．(2023·北京通州·高二统考期末)如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，,，则,．
为线段的中点，
，即，．
又点在圆上，
，即．
故点的轨迹方程为．
故选：A
例29．(2023·山西运城·高二校联考阶段练习)在平面直角坐标系中，已知圆：(圆心为)，点，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆：的圆心，半径.
由于，所以在圆内，
根据垂直平分线的性质可知，
所以，
所以点的轨迹是椭圆，且，
所以点的轨迹方程是.
故选：C
例30．(2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习)设P为椭圆上一动点，分别为左､右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆可得，，即点，
依题意，，
所以动点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，方程为.
故选：C
例31．(2023·北京·高二北京二中校考阶段练习)设为坐标原点，动点在椭圆C：上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，，则，，
由，则，解得，
由点在椭圆C：上，则，即，
即点的轨迹方程是.
故选：C.
例32．(2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中)已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】分别为椭圆的左、右焦点，
设，G点是三角形的重心
则，得，
又是椭圆E上一动点，，即，
又G点是三角形的重心，
所以点G的轨迹方程为
故选：B
例33．(2023·甘肃兰州·高二兰州市第二十八中学校考期末)已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图，由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故选：D
例34．(2023·江苏连云港·高二统考期中)已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆，，，，
即动点轨迹方程为.
故选：D.
题型五：椭圆的简单几何性质
例35．(2023·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期中)椭圆的焦距为______.
【答案】
【解析】因为椭圆，即，
所以，即，
所以焦距为.
故答案为：
例36．(2023·广东梅州·高二统考期末)已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则______.
【答案】8
【解析】椭圆，故，为等腰直角三角形，故，
故，即，.
故答案为：
例37．(2023·天津宁河·高二校考阶段练习)椭圆的一个焦点是，则实数的值为________.
【答案】2
【解析】变形得到，
因为椭圆的一个焦点是，在轴上，
故，解得：.
故答案为：2
例38．(2023·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习)若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________.
【答案】或
【解析】因为椭圆的离心率为，易知，
当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.
当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，得，满足题意，
此时，所以椭圆的长轴长为.
故答案为：或.
例39．(2023·高二课时练习)椭圆的内接正方形的周长为__________．
【答案】/19.2
【解析】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为，
则，所以周长为，
故答案为：
例40．(2023·高二课时练习)一椭圆的短半轴长是，离心率是，焦点为，弦AB过，则的周长为__________．
【答案】12
【解析】因为椭圆的短半轴长是，所以.离心率是，所以.
由可得，即.
根据椭圆的定义，
可得的周长为.
故答案为：12.
例41．(2023·高二课时练习)已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆上，
所以点(m,n)满足椭圆的范围，
因此，即．
故答案为：.
题型六：求椭圆的离心率
例42．(2023·福建泉州·高二校联考期中)椭圆：的左焦点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与交于点，且，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为以为圆心，为半径的圆与交于点，
所以，，因为，所以，
又由定义可得，所以，所以
故选：B．
例43．(2023·高二课时练习)椭圆的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为( )
A．B．-1C．D．
【答案】D
【解析】由题意，直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则其纵坐标为2c，
将其代入=1，得，解之得，
又椭圆的离心率，所以.
故选：D.
例44．(2023·高二课时练习)直线与椭圆的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，连接，由题意得：，由勾股定理得：，由椭圆定义可得：，即，所以.
故选：B
例45．(2023·湖北·高二校联考期中)记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为椭圆的左顶点为，右焦点为，
所以，
因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，
因为直线的倾斜角为，
所以，又，
化简，所以解得.
故选：A.
例46．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)已知点分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知：，；
为正三角形，则：；
，，
.
故选:A
例47．(2023·山西晋中·高二介休一中校考阶段练习)已知椭圆的右顶点为，下顶点为，为坐标原点，且点到直线的距离为，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
所以直线的方程为即，
所以点到直线的距离为，所以，
所以．
故选：B．
例48．(2023·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期中)已知椭圆：()的左右焦点分别为、，为椭圆上一点，，若坐标原点到的距离为，则椭圆离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，
作，，
由题意可得，，，
即有，，由，
可得，
因为，在直角三角形中，由勾股定理得，
可得．
故选：D．
例49．(2023·陕西汉中·高二统考期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆E上的点P满足轴，，则椭圆E的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为轴，令，代入，
可得， ，
因为，所以，
而由，
，即，
解得(舍)或.
故选：A.
例50．(2023·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习)已知椭圆E:的左，右焦点分别为，(如图)，过的直线交E于P，Q两点，且轴，，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意设，则，所以；
由于，所以
由得，化为，所以，得
故选：A
题型七：求椭圆离心率的取值范围
例51．(2023·高二课时练习)已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图：
当P在上顶点时，最大，此时，
则，
所以，
即，，
所以，
则，
所以椭圆的离心率的取值范围是，
故选：A
例52．(2023·河南安阳·高二安阳市第三十九中学校考阶段练习)已知F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 ( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，
则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，
可得，即c2≥b2，
所以2c2≥a2，即e2≥，
又e<1，所以e∈．
故选：B
例53．(2023·高二课时练习)已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，当点落在上顶点时，恰好有6个直角三角形，此时，，当椭圆变扁时，椭圆越扁，离心率越大，，此时为直角三角形点P有8个，
故选：C
例54．(2023·高二课时练习)已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】所以，又，所以，
，
故选：D．
例55．(2023·湖北·高二赤壁一中校联考期末)已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，由余弦定理得：
，又，
即，
解得，
因为，得，
故.又，所以.
故选：B.
例56．(2023·全国·高二专题练习)已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点P的坐标，根据题意构造齐次方程，计算即可.设，则，
∴，
由，∴，
化为，∴，
整理得，
∵，∴，
解得，
故选：B
例57．(2023·江苏苏州·高二江苏省梁丰高级中学校考期中)已知椭圆的左右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆的定义知：，
因为，即，
又因为，所以，
所以有：，
，
故椭圆的离心率的取值范围是．
故选：C
例58．(2023·安徽滁州·高二校考阶段练习)在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据椭圆定义，
将代入得|，
根据椭圆的几何性质，，
故，即，
故，又，
所以椭圆离心率的取值范围为
故选：B．
例59．(2023·全国·高二专题练习)设椭圆的两个焦点分别为，若在轴上方的上存在两个不同的点满足，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，
当点在上最大，若在轴上方的上存在两个不同的点
满足，只需，
又，
所以
故选：C
例60．(2023·海南·高二统考学业考试)已知椭圆的焦距大于2，则其离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为．
因为，所以，，则，解得，
此时，所以．
故选：C.
例61．(2023·山东日照·高二统考期末)已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为( )．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以，
即，，，所以，即，
又因为，所以椭圆离心率的取值范围为．
故选：A．
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
例62．(2023·广东阳江·高二校考期末)已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为______.
【答案】
【解析】由已知可得，，可得，，
所以，，解得.
故答案为：.
例63．(2023·四川乐山·高二校考期中)已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是___________.
【答案】/0.25
【解析】因为焦点在y轴上的椭圆，故，
又，所以.
故答案为：
例64．(2023·全国·高二专题练习)已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．
【答案】/
【解析】由题设，解得，
所以长轴长与短轴长的比值为.
故答案为：
例65．(2023·全国·高二专题练习)若椭圆和椭圆的离心率相同，且，给出如下四个结论：
①椭圆和椭圆一定没有公共点；
②；
③；
④.
则所有结论正确的序号是_____.
【答案】①②
【解析】设，由已知可得，则，
所以，，则，②对；
在椭圆上任取一点，则，
所以，，即点在椭圆内，①对；
因为，则，即，③错；
因为，即，④错.
故答案为：①②.
例66．(2023·浙江·高二期末)椭圆的离心率是椭圆上关于轴都不对称的两点，线段的垂直平分线与x轴交于点，若的中点为，则的值为_______．
【答案】
【解析】设，，则，
因为，所以，
由得，得，
所以，
又线段的垂直平分线与x轴交于点，
所以，所以，解得.
故答案为：.
例67．(2023·全国·高二专题练习)已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且离心率为，求短轴长为______.
【答案】
【解析】由题意，椭圆的右顶点为，可得，
又由椭圆的离心率为，即，可得，
所以，所以，即椭圆的短轴长为.
故答案为：.
题型九：椭圆中的范围与最值问题
例68．(2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末)已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是______．
【答案】
【解析】设，
，
，
，
当时，取得最大值，
故答案为：
例69．(2023·陕西宝鸡·高二统考期末)已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为_______．
【答案】4
【解析】因为点在上，
所以有，
由，当且仅当时取等号，
故答案为：4
例70．(2023·陕西咸阳·高二统考期末)已知椭圆的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为______．
【答案】2
【解析】依题意，
由于，所以解得，所以椭圆的方程为，
设，则，
，
由于，所以当时，取得最大值为.
故答案为：
例71．(2023·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期中)设､是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为___________.
【答案】14
【解析】如图所示
由椭圆的性质可得，，
所以的周长，
当最小时，最大，又当轴时最小，
此时，
所以的最大值为14，
故答案为：14
例72．(2023·江苏宿迁·高二校考阶段练习)若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为__________.
【答案】/
【解析】易知当点为椭圆与轴的交点时，最大，
因为椭圆方程为，
所以，，
此时，，
满足，
所以为等腰直角三角形，所以．
故答案为：
例73．(2023·上海·高二专题练习)设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】由题意，椭圆，可得，即，
根据椭圆的定义，可得，
则，
所以，
当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值，
此时，所以的最大值为.
故答案为：.
例74．(2023·高二课时练习)已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为______．
【答案】/
【解析】根据题意椭圆方程为，
所以，，
所以，，
故，
如图，根据椭圆定义可得：
，
当点运动到的延长线和椭圆交点时，
取得最大，
此时，
所以的最大值为.
故答案为：
例75．(2023·广东汕头·高二汕头市聿怀中学校考期末)已知椭圆：的右焦点F，点Р在椭圆C上，又点，则的最小值为___________.
【答案】6
【解析】
由椭圆的定义知：，所以，
因此，
而的最小值是当三点共线时，
因此，
又，因此，
所以，因此的最小值为，
故答案为：6.
例76．(2023·全国·高二专题练习)过椭圆1(a＞b＞0)的中心作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为__．
【答案】2a+2b
【解析】如图，
由椭圆的定义知|PF|+|PF1|＝2a
由椭圆的对称性知|QF|＝|PF1|，
∴有|PF|+|QF|＝2a，而|PQ|的最小值是2b，
∴△PFQ的周长的最小值为2a+2b．
故答案为：2a+2b．
例77．(2023·高二单元测试)过椭圆的中心任作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长的最小值为___________.
【答案】18
【解析】记右焦点为，由题意，
由题意关于原点对称，所以等于到右焦点的距离，
所以，而线段的最小值为短轴长，
所以的周长的最小值．
故答案为：18．
例78．(2023·高二单元测试)若点M是椭圆＋＝1上的一点，O为坐标原点，则|OM|的最大值和最小值分别是__________．
【答案】3，
【解析】由椭圆＋＝1得，，设点，则，
又，所以当M点分别为长轴端点、短轴端点时，|OM|取得最大值、最小值，所以|OM|的最大值和最小值分别是3，．
故答案为：3，.
例79．(2023·重庆南岸·高二重庆市南坪中学校校考阶段练习)已知椭圆：的左焦点为，点，为椭圆上一动点，则的周长的最小值为________.
【答案】4
【解析】设椭圆的右焦点为，，点在椭圆内，点，且因为为椭圆上一动点，故，
，，
的周长为，
当且仅当位于射线与椭圆的交点时，等号成立，所以周长的最小值为4.
故答案为：4
题型十：焦点三角形
例80．(2023·高二课时练习)已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为______．
【答案】
【解析】由题知，，，
因为点在椭圆上，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
从而．
故答案为：
例81．(2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中)设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.
【答案】/
【解析】椭圆，即，所以，，，
因为，所以点为短轴顶点，所以.
故答案为：
例82．(2023·广西南宁·高二统考开学考试)已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】椭圆的焦点，，设点，
依题意，，又，于是，
所以点的坐标为.
故答案为：
例83．(2023·河南开封·高二校考阶段练习)设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为________.
【答案】24
【解析】由椭圆的方程可得：，，
，
，
，且根据椭圆的定义可得：，
，，
则在中，
，
，
故答案为：24.
例84．(2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中)设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为_______.
【答案】4
【解析】∵，；∴，因为，所以，
设，，
则①，②，
由①2﹣②得，
∴．
故答案为：4．
例85．(2023·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中)设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为___________.
【答案】7
【解析】由题意得，，，，∴在以线段为直径的圆上，
∴，∴①，
由椭圆的定义知，②，由①②，解得，
.
故答案为：7.
例86．(2023·广东深圳·高二深圳中学校考期末)已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的值为 __．
【答案】2
【解析】，；，，
设，，为椭圆上一点，①，
，②，
由①②得，
．
故答案为：2．
例87．(2023·高二单元测试)椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
【答案】
【解析】，．
在中，，
．
故答案为：.
例88．(2023·高二单元测试)椭圆的两个焦点为､，点P在椭圆C上，且，，，则椭圆C的方程为___________.
【答案】
【解析】∵，，，
∴，又，
∴，，
∴，
∴，
∴椭圆C的方程为.
故答案为：.
例89．(2023·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习)椭圆(为非零常数)的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________．
【答案】
【解析】由，可知，，所以，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
，由椭圆的定义知，则
∴.
故答案为：7
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山西大同·高二统考期末)如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为( )
A．6B．10C．8D．12
【答案】C
【解析】如图，连接，，，
由椭圆方程可得：，则，
由椭圆定义可得，所以，
因为是的中点，是的中点，则由中位线可得：.
故答案为：C.
2．(2023·山西晋中·高二统考期末)曲线和，则和更接近圆的是( )
A．B．C．相同D．无法判断
【答案】A
【解析】分别将曲线和化为标准方程可得，
，，由椭圆的性质可得，曲线的离心率为，
曲线的离心率为，显然，因此曲线更接近圆.
故选：A.
3．(2023·高二单元测试)是椭圆的两个焦点，A是椭圆上任一点，过任一焦点向的外角平分线作垂线，垂足为P，则P点的轨迹是( )
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】A
【解析】如图，平分的外角，，垂足为，直线交的延长线于，令椭圆长轴长为，
于是，为的中点，而为的中点，则，
若过作的外角平分线的垂线，垂足为，同理得，
所以P点的轨迹是以椭圆中心为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆.
故选：A
4．(2023·福建福州·高二校联考期中)椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设为椭圆的半焦距，由题意可得，
由对称性可设,
则,
因为，所以,
所以,即,解得或(舍).
故选:B.
5．(2023·高二课时练习)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意可设椭圆方程为，
易知，且，解得；
所以，故椭圆方程为.
故选：A
6．(2023·高二课时练习)已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为P点在椭圆上，则，记，
所以，
又因为开口向上，对称轴，
且，所以当时，取到最小值.
故选：B.
7．(2023·高二课时练习)椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为( )
A．B．4C．7D．
【答案】C
【解析】由＝1可知，，
所以，
所以F1(－3,0)，F2(3,0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
∴可设P(3,m)，
把P(3,m)代入椭圆＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故选：C
8．(2023·高二课时练习)已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为( )
A．2B．3C．D．4
【答案】D
【解析】由椭圆，可得，所以，
又由椭圆的定义可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：D.
二、多选题
9．(2023·高二课时练习)已知点(3,2)在椭圆上，则下列各点一定在该椭圆上的是( )
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】由椭圆关于轴，轴，原点对称可知，只有点(2，3)不在椭圆上．
故选：ABC.
10．(2023·湖南常德·高二常德市一中校考期中)关于椭圆有以下结论，其中正确的有( )
A．离心率为B．长轴长是
C．焦距2D．焦点坐标为
【答案】ACD
【解析】将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故焦距为2，故C、D正确；
因为所以长轴长是，故B错误，
因为，所以，离心率，故A正确.
故选：ACD
11．(2023·湖北·高二校联考期中)已知是椭圆上一点，是左､右焦点，下列选项中正确的是( )
A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率
C．D．的面积的最大值是2
【答案】BCD
【解析】对于A，因为椭圆，所以知，
所以椭圆的焦距为，故A错误；
对于B，椭圆的离心率为，故B正确；
对于C，由椭圆的定义可得，故C正确；
对于D，设，由椭圆的几何性质可知，
所以，
即的面积的最大值是2，故D正确.
故选：BCD．
12．(2023·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习)已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A．椭圆的长轴长是4
B．的最大值是2
C．的面积的最大值为，其中为坐标原点
D．直线与椭圆相切时，
【答案】ACD
【解析】A：由，得，所以椭圆的长轴为，故A正确；
B：由，得，则，，由，得，
所以，
又二次函数的对称轴为，
所以该函数在上单调递减，则当时，函数取到最大值9，
即的最大值为3，故B错误；
C：由题意得，，
所以，即的面积的最大值为，故C正确；
D：，消去y，得，
因为直线与椭圆相切，只有一个交点，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．(2023·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中)已知是椭圆上一点，则离心率_____.
【答案】
【解析】因为是椭圆上一点，可得，解得，即，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
14．(2023·高二课时练习)椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为，短轴长为8，则椭圆的标准方程为____________________．
【答案】或
【解析】设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为，
所以
，又，结合可得，
故椭圆方程为或，
故答案为：或
15．(2023·高二课时练习)椭圆的焦点为，点P是椭圆上任意一点，当时，P点横坐标的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设，,则，
又，所以，
故答案为：
16．(2023·高二课时练习)已知分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，(O为坐标原点)是面积为的正三角形，则此椭圆的方程为__________．
【答案】
【解析】不妨设点位于第一象限，且，
因为 是面积为的正三角形，可得，解得，
所以，
由椭圆的定义得，
所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·高二课时练习)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为，，且椭圆C经过点，求椭圆C的离心率.
【解析】由椭圆的定义可得：
，
所以.又由已知c=1，
所以椭圆C的离心率.
18．(2023·高二课时练习)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为，离心率；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆有相同离心率的椭圆的标准方程．
【解析】(1)(1)依题意，焦点在x轴上，且c＝3，又，则a＝4，
∴b2＝a2－c2＝42－32＝7，
∴椭圆的方程为．
(2)设椭圆方程为，如图所示，
由一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，
可得为等腰直角三角形，为斜边的中线(高线)，
又由，所以，所以，
故所求椭圆的方程为.
(3)由题意，椭圆，可得长半轴，短半轴，
，
因为所求椭圆与椭圆有相同离心率，可得，
解得，即，
当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为，
将点代入椭圆的方程，可得，解得，
所以椭圆的方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为，
将点代入椭圆的方程，可得，解得，
所以椭圆的方程为，
综上可得，椭圆的方程为或.
19．(2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末)已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长.
【解析】(1)设焦距为，由，得，
又椭圆过，∴，
得，
∴椭圆的标准方程为；
(2)动直线l过与椭圆交于A、B两点，
∴，，
∴，
∴的周长为20.
20．(2023·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中)已知椭圆，离心率，过点．
(1)求的方程；
(2)直线过点，交椭圆与两点，记，证明．
【解析】(1)由题得，解得，
于是；
(2)由题意知直线斜率存在，
设直线，联立方程即，
消可得，
由，
设，
韦达定理可得；
综上所述：.
21．(2023·北京·高二北京师大附中校考期中)已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积.
【解析】(1)由已知有 解得
所以椭圆的方程为.
(2)由 消去，整理得.
设，则
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为
22．(2023·辽宁锦州·高二校考阶段练习)已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．
【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c，因为的周长为6，面积为，
所以，由①得：，将此式代入②得：，
所以，所以或
当时，，，所以不满足题意；
当时，，，所以满足题意．
所以椭圆C的方程为.
(2)由题可得直线斜率存在，由(1)知，设直线的方程为，
则联立，消去，整理得：，
设，则，，
又，则，
由可得，所以，同理可得，
所以
所以为定值．标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
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