黑龙江省绥化市海伦市第一中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省绥化市海伦市第一中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
2．已知平面向量，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．若复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为iB．的共轭复数为
C．对应的点在第二象限D．
4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．点D为的中点，，且的面积为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．在锐角△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且．则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知向量，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．最大值为3
C．的最大值为2
D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为
10．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，，，若为锐角，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．1D．2
11．下列说法中不正确的是( )
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
三、填空题
12．在中，已知，则 ．
13．两个半径分别为的☉M，☉N，公共弦的长为3，如图所示，则= .
14．已知，，是平面内不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的 （填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）.
四、解答题
15．在中，已知，且， ，求，.
16．在中，设内角，，所对的边分别为，，，已知，.
（1）求角的值;
（2）若三角形的面积为，求的周长.
17．距码头南偏东的400千米处有一个台风中心．已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米以内都受台风影响．问：从现在起多少时间后，码头将受台风影响？码头受台风影响的时间有多长？
18．如图，在中，，，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P．
（1）用和分别表示和；
（2）如果，求实数和的值．
19．已知，其中向量,
（1）求的最小正周期和最小值；
（2）在△中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，，求边长的值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，
所以，解得.
故选B.
2．【答案】B
【详解】由向量的模的坐标计算公式求出，利用数量积的坐标表示求出，再根据向量的夹角公式即可求出．
【详解】由，得.设向量与的夹角为，则．
故选B．
3．【答案】C
【详解】∵复数满足，∴，化为：.
∴的虚部为1，，对应的点在第二象限，.
故选C.
4．【答案】A
【详解】因为，由余弦定理得，即，
又，得，
所以，即，
故，则，
所以，故．
故选A.
5．【答案】B
【详解】由已知，
因为，所以.
所以在方向上的投影向量为.
故选B．
6．【答案】B
【详解】设，，因为
所以有，
因此，
因为，，，
所以，
故选B
7．【答案】C
【详解】由于，，，
所以，故，
故选C
8．【答案】C
【详解】由得，．
因为，，所以．而，所以，即，
因此，．由和得到，，
因此，．于是．
故选C．
9．【答案】BD
【详解】对于A，因为，所以与不垂直，故A错误；
对于B，因为，所以，
所以
当共线时，有最大值为1，所以，故B正确；
对于C，若，，故C错误；
对于D，因为，所以，即，
所以在向量上的投影向量为，故D正确.
故选BD.
10．【答案】BC
【详解】，
因为为锐角，
所以且与不是共线向量，
即，解得，
所以符合条件的为和，
故选BC
11．【答案】 ABD
【详解】 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误．
12．【答案】
【详解】由于，，故为锐角，
由正弦定理得，
所以.
13．【答案】9
【详解】
取的中点，连接，由圆的性质，得.
为两个圆的公共弦，从而圆心在弦的投影为的中点，进而在上的投影向量的模能够确定，所以由向量的投影定义.
可得：所以，
.
14．【答案】重心
【详解】根据已知条件判断三点共线，结合重心的定义，判断出的轨迹过三角形的重心.
【详解】∵点满足，且，
∴，，三点共线.
又是的中点，∴是边上的中线，∴点的轨迹一定过的重心.
15．【答案】4，.
【详解】中，，由于，，
所以是等边三角形，即.
∴.
设中点为，
根据向量和的平行四边形法则，，
所以，.
16．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）根据题中条件，由正弦定理，先得到，再由题中条件，即可求出结果；
（2）由题中条件，根据三角形面积公式，先得到，再由余弦定理，即可得出结果.
【详解】（1）因为，，
所以，
由正弦定理可得，
则，即，
因为在中，，所以，因此，所以；
（2）因为三角形的面积为，所以，则，
又，，由余弦定理可得，
即，所以，
因此的周长为.
17．【答案】小时后，码头将受台风影响，影响时间为小时．
【详解】设台风到达处时，码头开始受台风影响，离开处时，码头不再受台风影响，
如图所示：
所以，，，
设，根据余弦定理得：
解得或（舍去），所以，.
因为，，
所以从现在起个小时后，码头将受台风影响，码头受台风影响的时间为小时.
18．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）,
，
;
（2），
，
由平面向量基本定理得，解得.
19．【答案】（1）最小正周期为π，最小值为. （2）2或6．
【详解】（1）

则的最小正周期，最小值为.
（2），则，
又 ，则，故，解之得
又，，由余弦定理得，
即，解之得或.经检验，均符合题意.