2024-2025学年黑龙江省绥化市海伦一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省绥化市海伦一中高一（下）期末数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下(不含中国香港、中国台湾)：28，32，48，38，26，38，40，则这组数据的75%分位数为( )
A. 26B. 40C. 35D. 38
2.已知iz=3−4i，则|z|=( )
A. 5B. 5C. 25D. 4
3.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲和乙不相邻的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
4.从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是( )
A. 12B. 23C. 35D. 45
5.如图，AB为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知OA= 2，圆锥侧面展开图是圆心角为 2π的扇形，当PB与BC所成角为π3时，PB与AC所成角为( )
A. 5π6 B. π6
C. π4 D. π3
6.下列命题正确的为( )
A. 已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B. 已知a，b，c为三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a//b
C. 若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线
D. 底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
7.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形A′B′C′D′，其中A′B′//C′D′，A′B′⊥B′C′，A′B′=2 2，D′C′= 2.以原四边形ABCD的边AD为轴旋转一周得到的几何体体积为( )
A. 56π3 B. 128π3
C. 7 23π D. 14 23π
8.已知△ABC中，|AB|=2，|AC|=1，且|λAB+(2−2λ)AC|(λ∈R)的最小值为 3，若P为边AB上任意一点，则AP⋅PC的最大值是( )
A. 316B. −494C. 116D. −2516
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机事件A和B，若P(A)=35,P(B)=23，则下列结论正确的是( )
A. 若A与B相互独立，则P(AB)=56B. P(A−)>P(B−)
C. 若B⊇A，则P(A∪B)=23D. 若A∪B=Ω，则P(AB)=25
10.已知A(1,6)，B(2,4)，C(3,4)，D(4,2)，E(5,4)，5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程.经分析确定E(5,4)为“离群点”，故将其去掉，将数据E(5,4)去掉后，下列说法正确的有( )
A. 样本相关系数r变大
B. 残差平方和变小
C. 决定系数R2变大
D. 若经验回归直线过点(3.5,2.8)，则其经验回归方程为y =−1.2x+7
11.如图，该几何体为圆锥与半球组成的组合体，其中圆锥轴截面为边长为2的正三角形，点Q为半球面上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 该组合体的体积为( 3+23)π
B. PQ与平面PAB所成角的取值范围为[0,π6]
C. 平面PAQ与平面PBQ所成角的取值范围为[0,π3]
D. 当PQ= 7时，Q点形成的轨迹长度为π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两个相关变量x，y的一组数据统计如下表
根据上表可得经验回归方程y​=b​x+a​中的b =0.31，据此经验回归方程，当x=7时，y的预测值为______．
13.据统计某市学生的男女生人数比为3：4，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比用分层抽样的方法抽取样本.根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为______小时，方差为______；
参考公式：分层抽样中，假设第一层有m个数，平均数为x−，方差为s2；第二层有y个数，平均数为y−，方差为t2.则样本方差b2=1m+n[(ms2+nt2)+mnm+n(x−−y−)2]．
14.在正八面体ABCDEF中，任取四个顶点，则这四点不共面的概率为______；任取两个面，则所成二面角为锐角的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+ 3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若a= 3；
(i)求△ABC周长的取值范围；
(ii)求△ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)估计该企业100名职工对该部门评分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取3人，求其中有2人评分在[50,60)的概率．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D，E分别为线段AC，CC1的中点．
(1)求证：A1E⊥平面BC1D；
(2)求证：直线AB1//平面BC1D；
(3)求二面角C−BC1−D大小的余弦值．
18.(本小题17分)
射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组(72支)箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息：
用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响．
(1)甲乙各射出一支箭，求有人命中8环及以上的概率；
(2)甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率．
19.(本小题17分)
如图①所示，矩形ABCD中，AD=1，AB=2，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连接PB，PC，得到图②的四棱锥P−ABCM，N为PB中点．
(1)求证：NC//平面PAM；
(2)若平面PAM⊥平面ABCD，求直线BC与平面PMB所成角的大小；
(3)设P−AM−D的大小为θ，若θ∈(0,π2]，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.D
5.D
6.C
7.A
8.C
9.BC
10.BCD
11.ABD

13.7 2
14.45 57
15.(1)在△ABC中，由acsC+ 3asinC−b−c=0及正弦定理得sinAcsC+ 3sinAsinC−sinC=sinB，
即sinAcsC+ 3sinAsinC−sinC=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
整理得 3sinAsinC=csAsinC+sinC，而sinC>0，则 3sinA=1+csA，
于是(1+csA)2=3sin2A=3(1−cs2A)，整理得2cs2A+csA−1=0，
即(2csA−1)(csA+1)=0，而0