2024-2025学年黑龙江省绥化市海伦一中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省绥化市海伦一中高一（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下(不含中国香港、中国台湾)：28，32，48，38，26，38，40，则这组数据的75%分位数为( )
A. 26B. 40C. 35D. 38
2.已知iz=3−4i，则|z|=( )
A. 5B. 5C. 25D. 4
3.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲和乙不相邻的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
4.从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是( )
A. 12B. 23C. 35D. 45
5.如图，AB为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知OA= 2，圆锥侧面展开图是圆心角为 2π的扇形，当PB与BC所成角为π3时，PB与AC所成角为( )
A. 5π6 B. π6
C. π4 D. π3
6.下列命题正确的为( )
A. 已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B. 已知a，b，c为三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a//b
C. 若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线
D. 底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
7.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形A′B′C′D′，其中A′B′//C′D′，A′B′⊥B′C′，A′B′=2 2，D′C′= 2.以原四边形ABCD的边AD为轴旋转一周得到的几何体体积为( )
A. 56π3 B. 128π3
C. 7 23π D. 14 23π
8.已知△ABC中，|AB|=2，|AC|=1，且|λAB+(2−2λ)AC|(λ∈R)的最小值为 3，若P为边AB上任意一点，则AP⋅PC的最大值是( )
A. 316B. −494C. 116D. −2516
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机事件A和B，若P(A)=35,P(B)=23，则下列结论正确的是( )
A. 若A与B相互独立，则P(AB)=56B. P(A−)>P(B−)
C. 若B⊇A，则P(A∪B)=23D. 若A∪B=Ω，则P(AB)=25
10.已知A(1,6)，B(2,4)，C(3,4)，D(4,2)，E(5,4)，5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程.经分析确定E(5,4)为“离群点”，故将其去掉，将数据E(5,4)去掉后，下列说法正确的有( )
A. 样本相关系数r变大
B. 残差平方和变小
C. 决定系数R2变大
D. 若经验回归直线过点(3.5,2.8)，则其经验回归方程为y =−1.2x+7
11.如图，该几何体为圆锥与半球组成的组合体，其中圆锥轴截面为边长为2的正三角形，点Q为半球面上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 该组合体的体积为( 3+23)π
B. PQ与平面PAB所成角的取值范围为[0,π6]
C. 平面PAQ与平面PBQ所成角的取值范围为[0,π3]
D. 当PQ= 7时，Q点形成的轨迹长度为π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两个相关变量x，y的一组数据统计如下表
根据上表可得经验回归方程y​=b​x+a​中的b =0.31，据此经验回归方程，当x=7时，y的预测值为______．
13.据统计某市学生的男女生人数比为3：4，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比用分层抽样的方法抽取样本.根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为______小时，方差为______；
参考公式：分层抽样中，假设第一层有m个数，平均数为x−，方差为s2；第二层有y个数，平均数为y−，方差为t2.则样本方差b2=1m+n[(ms2+nt2)+mnm+n(x−−y−)2]．
14.在正八面体ABCDEF中，任取四个顶点，则这四点不共面的概率为______；任取两个面，则所成二面角为锐角的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+ 3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若a= 3；
(i)求△ABC周长的取值范围；
(ii)求△ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)估计该企业100名职工对该部门评分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取3人，求其中有2人评分在[50,60)的概率．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D，E分别为线段AC，CC1的中点．
(1)求证：A1E⊥平面BC1D；
(2)求证：直线AB1//平面BC1D；
(3)求二面角C−BC1−D大小的余弦值．
18.(本小题17分)
射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组(72支)箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息：
用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响．
(1)甲乙各射出一支箭，求有人命中8环及以上的概率；
(2)甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率．
19.(本小题17分)
如图①所示，矩形ABCD中，AD=1，AB=2，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连接PB，PC，得到图②的四棱锥P−ABCM，N为PB中点．
(1)求证：NC//平面PAM；
(2)若平面PAM⊥平面ABCD，求直线BC与平面PMB所成角的大小；
(3)设P−AM−D的大小为θ，若θ∈(0,π2]，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：已知中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下：28，32，48，38，26，38，40，
则从小到大的排列为26，28，32，38，38，40，48．
因为75%×7=5.25，所以这组数据的75%分位数为40．
故选：B．
根据百分位数的定义求解．
本题考查百分位数相关知识，属于中档题．
2.【答案】A
【解析】解：∵iz=3−4i，∴z=3−4ii=−4−3i，
∴|z|= (−4)2+(−3)2=5．
故选：A．
利用复数的除法法则求出复数z，再利用复数的模的公式即可求解．
本题主要考查模的求解，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有n=A44=24种情况，
甲乙相邻的情况有m=A22A33=12种，
∴甲和乙不相邻的概率是P=1−mn=1−1224=12．
故选：C．
利用捆绑法及古典概型的概率计算公式求解．
本题考查捆绑法及古典概型的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，
60名女生中，偏理科与偏文科的人数比为40：20=2：1，
∴分层抽样抽取6人，偏理科的人数为6×22+1=4，
设为A，B，C，D，
偏文科的人数为6×12+1=2，设为a，b，
故随机抽取3人，一共有以下情况，
(A,B,C)，(A,B,D)，(A,B,a)，(A,B,b)，(A,C,D)，(A,C,a)，(A,C,b)，(A,D,a)，
(A,D,b)，(A,a,b)，(B,C,D)，(B,C,a)，(B,C,b)，(B,D,a)，(B,D,b)，(B,a,b)，
(C,D,a)，(C,D,b)，(C,a,b)，(D,a,b)，共20种情况，
其中至少有2人偏理科的情况为
(A,B,C)，(A,B,D)，(A,B,a)，(A,B,b)，(A,C,D)，(A,C,a)，(A,C,b)，(A,D,a)，
(A,D,b)，(B,C,D)，(B,C,a)，(B,C,b)，(B,D,a)，(B,D,b)，(C,D,a)，(C,D,b)，
共16种情况，
∴分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是1620=45．
故选：D．
根据分层抽样得到抽取6人中偏理科和偏文科的人数，利用列举法求古典概型的概率．
本题考查分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，圆锥的底面半径OA= 2，可得圆锥的底面积周长为2 2π，
设圆锥的母线长为l，圆锥侧面展开图是圆心角为 2π的扇形，扇形的半径为R=l，
则 2πl=2 2π，解得l=2，即PA=PB=PC=2，
当PB与BC所成角为π3时，△PBC为等边三角形，BC=2，
根据AB为底面圆的直径，可得AC⊥BC，
结合AB=2 2，由勾股定理得AC= AB2−BC2=2，故△ABC为等腰直角三角形，
根据PA2+PB2=AB2，可得△PAB是以AB为斜边的直角三角形，PA⊥PB，
分别取PA、BC的中点G、F，连接OG、OF，则OG//PB，OF/​/AC，BF=1，
所以∠GOF(或其补角)即为PB与AC所成角，
连接OP，则OP⊥平面ABC，取AO的中点H，连接GH、FH，
则GH//OP，故GH⊥平面ABC，结合FH⊂平面ABC，可得GH⊥FH，
可得PO=OA=OB=12AB= 2，OF=12AC=1，OG=12PA=1，
HG=12PO= 22，OH= 22，BH= 22+ 2=3 22，
在△HBF中，由余弦定理得HF2=BH2+BF2−2BH⋅BFcsπ4=92+1−2×3 22×1× 22=52，
故GF2=HG2+FH2=12+52=3，
所以△GOF中，cs∠GOF=GO2+OF2−GF22GO⋅OF=1+1−32=−12，可得∠GOF=2π3，
所以PB与AC所成角大小为π3．
故选：D．
根据题意，求出圆锥的母线长，得到△PBC为等边三角形，且△ABC为等腰直角三角形，然后通过作辅助线，得到∠GOF(或其补角)即为PB与AC所成角，利用勾股定理和余弦定理求出各边长，最后在△GOF中利用余弦定理求出∠GOF，进而可得PB与AC所成角大小．
本题主要考查圆锥的结构特征、异面直线所成角的定义与求法、解三角形的应用等知识，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，直线a、b异面，直线b、c异面，则直线a，c可能平行、相交或异面，所以A错误；
对于B，若a⊥c，b⊥c，则直线a，b可能平行、相交或异面，所以B错误；
对于C，如图，设平面α∩平面ABC=l，因为P∈α，P∈平面ABC，所以P∈l，同理Q∈l，R∈l，故P、Q、R三点共线，C正确；
对于D，底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥的侧棱长不一定相等，故不一定是正三棱锥，所以D错误．
故选：C．
根据题意，由直线与直线的位置关系分析A和B，由平面的基本性质分析C，举出反例分析D，综合可得答案．
本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及平面的基本性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形A′B′C′D′，其中A′B′//C′D′，A′B′⊥B′C′，A′B′=2 2，D′C′= 2，
可作D′M⊥A′B′，如图：
由A′B′=2 2，D′C′= 2，所以A′D′=A′Mcs45∘=2，
则原几何体为圆台，上底面半径为 2，下底面半径为2 2，高为4，如图：
所以该几何体的体积为：13×4×[π⋅( 2)2+π⋅(2 2)2+ π⋅( 2)2⋅π⋅(2 2)2]=56π3．
故选：A．
根据图形求得A′D′，然后还原原图形，最后利用公式计算．
本题考查了圆台的体积公式，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设∠BAC=θ，因为|AB|=2，|AC|=1，
所以AB⋅AC=|AB|⋅|AC|csθ=2csθ，
所以|λAB+(2−2λ)AC|2=λ2AB2+(2−2λ)2AC2+2⋅λAB⋅(2−2λ)AC=8(1−csθ)(λ2−λ)+4，
又因为|λAB+(2−2λ)AC|(λ∈R)的最小值为 3，所以|λAB+(2−2λ)AC|2的最小值为3，
所以当λ=12时，有8(1−csθ)(14−12)+4=3⇒csθ=12，
又因为θ∈(0,π)，所以θ=π3，
因为P为边AB上任意一点，故可设AP=tAB,0≤t≤1，则PC=AC−AP=AC−tAB，
所以AP⋅PC=tAB⋅(AC−tAB)=tAB⋅AC−t2AB2=t−4t2=−4(t−18)2+116，
所以当t=18时，AP⋅PC取得最小值116．
故选：C．
依据题意可得AB与AC的夹角，然后表示AP⋅PC，利用二次函数的性质计算即可．
本题考查平面向量的数量积，二次函数的最值，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=25，A错误；
对于B，若P(A)=35,P(B)=23，则P(A−)=25，P(B−)=13，易得P(A−)>P(B−)，B正确；
对于C，若A⊆B，则P(A∪B)=P(B)=23，C正确；
对于D，若A∪B=Ω，则P(A+B)=1，
而P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)，则P(AB)=P(A)+P(B)−P(A+B)=415，D错误．
故选：BC．
根据题意，由相互独立事件的概率性质分析A，由对立事件的性质分析B，由子事件的性质分析C，由概率的性质分析D，综合可得答案．
本题考查相互独立事件的概率计算，涉及概率的性质，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由图可知，变量x与变量y是负相关，将数据E(5,4)去掉后，样本相关系数r的绝对值变大，
所以r变小，故A错误；
由于变量x与变量y的相关性变强，
所以残差平方和变小，决定系数R2变大，故B正确，C正确；
设经验回归方程为y​=b​x+a​，
因为x−=2.5，y−=4，
所以b =2.8−43.5−2.5=−1.2，a =y−−b x−=7，
所以经验回归方程为y =−1.2x+7，故D正确．
故选：BCD．
将数据E(5,4)去掉后，变量x与变量y的相关性变强，再结合相关系数、残差平方和、决定系数的定义可判断ABC，利用经验回归方程必过点(x−,y−)可判断D．
本题主要考查了相关系数的性质，考查了经验回归方程的求解，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A：由题意得半球的半径为1，则体积为23π，
圆锥的底面半径为1，高为 3，则体积为 33π，
则该组合体的体积为( 3+23)π，故选项A正确；
对于选项B：根据圆锥和半球的对称性知，当Q位于弧AB中点时，PQ与平面PAB所成角最大，
此时角的大小和∠BPO一样大，
在直角三角形POB中，sin∠BPO=12，所以∠BPO=π6，
当Q在平面PAB内时，PQ与平面PAB所成角最小，此时角为0，
故PQ与平面PAB所成角的取值范围为[0,π6]，故选项B正确；
对于选项C：当Q位于弧AB中点时，作BM⊥PQ，连接AM，则AM⊥PQ，如图所示，
则∠BMA为二面角A−PQ−B的平面角，因为PA=PQ=2,AQ= 2，
所以由余弦定理得cs∠AQP=PA2+AQ2−PQ22×PA⋅AQ=2+4−42× 2×2= 24，
因为∠AQP∈[0,π]，
所以sin∠AQP= 1−cs2∠AQP= 1−( 24)2= 144，
所以在Rt△AMQ中，AM=AQ×sin∠AQP= 2× 144= 72，
则AM=BM= 72，
在△ABM中，由余弦定理得cs∠AMB=AM2+BM2−AB22AM⋅BM=( 72)2+( 72)2−42× 72× 72=−17>−12，
则二面角A−PQ−B的平面角小于23π，则平面PAQ与平面PBQ所成角大于π3，故C错误；
当PQ= 7时，则由旋转体的性质知点Q形成的轨迹是半径为r=CQ的圆，如图所示，
在Rt△PCQ中，PC2+CQ2=PQ2，
即(CO+PO)2+CQ2=PQ2，OQ=1，
故( 1−r2+ 3)2+r2=7，
解得r=12，则轨迹长度为2πr=π，故D正确．
故选：ABD．
根据圆锥的轴截面求得半球的半径，圆锥的底面圆半径和高，由球的体积和圆锥的体积公式求解判断A；
利用组合体的对称性求得两种临界情况的角，即可判断B；
根据二面角的定义作出二面角A−PQ−B的平面角，利用余弦定理及余弦函数单调性求得二面角A−PQ−B的平面角小于23π，即可判断C；
根据圆锥的性质得点Q的轨迹，结合圆的周长即可判断D．
本题考查立体几何综合问题，属于难题．
12.【答案】4.33
【解析】解：根据题意，x−=205=4，y−=175=3.4，
又经验回归方程y​=b​x+a​中的b =0.31，即y =0.31x+a ，
将中心点代入可得，a =2.16，
则y =0.31x+2.16，当x=7时，y =4.33．
故答案为：4.33．
根据线性回归方程相关知识可解．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
13.【答案】7 2
【解析】解：由题意男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，
又∵该市学生的男女生人数比为3：4，∴设男生人数为3a，女生人数为4a，
故3a个男生睡眠时长为(7.3×3a)小时；4a个女生睡眠时长为(6.8×4a)小时，
则该市学生每天睡眠时长的平均数为7.3×3a+6.8×4a3a+4a=21.9a+27.2a7a=49.17=7.014≈7(小时)；
由题干可得m=3a，n=4a，x−=7.3，y−=6.8，s2=2，t2=1.9，
代入公式得，b2=13a+4a[(3a×2+4a×1.9)+3a×4a3a+4a(7.3−6.8)2]
=17a(13.6a+3a7)=98.249≈2．
故答案为：7；2．
①对于平均数，根据分层抽样中各层人数比例与各层平数来计算总体平均数；
②对于方差，利用给定的分层抽样方差公式进行计算．
本题考查了分层抽样，是中档题．
14.【答案】45 57
【解析】解：正八面体ABCDEF中，任取四个顶点总数为C64=15，
四点不共面的有：
FABC，FABD，FACD，FBCD，EABC，EABD，EACD，EBCD，EFCD，EFBC，EFAB，EFAD，
∴在正八面体ABCDEF中，任取四个顶点，则这四点不共面的概率为1215=45；
任取两个面总数为C82=28，所成二面角为锐角的个数为4C61−4=20，
∴任取两个面，则所成二面角为锐角的概率为2028=57．
故答案为：45；57．
分别计算四点不共面，二面角为锐角的个数，以及取四个点的总数，取两个面的总数，然后按照古典概型公式计算即可．
本题考查二面角、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】A=π3；
(i)(2 3,3 3]；(ii)3 34．
【解析】(1)在△ABC中，由acsC+ 3asinC−b−c=0及正弦定理得sinAcsC+ 3sinAsinC−sinC=sinB，
即sinAcsC+ 3sinAsinC−sinC=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
整理得 3sinAsinC=csAsinC+sinC，而sinC>0，则 3sinA=1+csA，
于是(1+csA)2=3sin2A=3(1−cs2A)，整理得2cs2A+csA−1=0，
即(2csA−1)(csA+1)=0，而0