黑龙江省绥化市海伦市2024_2025学年高一数学下学期3月月考试卷含解析

这是一份黑龙江省绥化市海伦市2024_2025学年高一数学下学期3月月考试卷含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、单选题：（本题共 8 小题，每小题 5 分、共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 已知 为虚数单位，若 是纯虚数，则实数 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案；
【详解】因为 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
2. 已知平面向量 ，则向量 与 的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量的模的坐标计算公式求出 ，利用数量积的坐标表示求出 ，再根据向量的夹角公式即可求出．
【 详 解 】 由 ， 得 .设 向 量 与 的 夹 角 为 ， 则
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在
考查学生的数学运算能力，属于基础题．
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3. 若复数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部为 i B. 的共轭复数为
C. 对应的点在第二象限 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先对复数 z 进行整理化简得到 ，再选出正确的选项即可.
【详解】∵复数 满足 ，∴ ，化为： .
∴ 的虚部为 1， ， 对应的点 在第二象限， .
故选：C.
【点睛】这个题目考查了复数问题，复数由实部加上虚部和 i 构成；复数 的共轭复数为
；复数 的几何意义之一就是和点 一一对应；复数 的模长等于
.
4. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．点 D 为 的中点， ，且
的面积为 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理得到 ，再由三角形面积公式得到 ，由此可解得 .
【详解】因为 ，由余弦定理得 ，即 ，
又 ，得 ，
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所以 ，即 ，
故 ，则 ，
所以 ，故 ．
故选：A.
5. 已知单位向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将 =1 两边平方得到向量的数量积，再根据 在 方向上的投影向量公式得出结果.
【详解】由已知 ，
因为 ，所以 .
所以 在 方向上的投影向量为 .
故选：B．
6. 在 中， ，点 D 在线段 上，点 E 在线段 上，且满足
， 交 于 F，设 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量
的加法的几何意义进行求解即可.
【详解】设 ， ，因为
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所以有 ，
因此 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
故选：B
7. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算得 ，即可求解.
【详解】由于 ， ， ，
所以 ，故 ，
故选：C
8. 在锐角△ABC 中，三内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且 ．则 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 得到 ，根据角的范围得到 ，根据
得到结果.
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【详解】由 得， ．
因为 ， ，所以 ．而 ，所以 ，即 ，
因此 ， ．由 和 得到， ，
因此 ， ．于是 ．
故选：C．
二、多选题：（每小题 6 分、共 18 分、每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选
对的得 6 分，错选或不选得 0 分、部分选对的得部分分）
9. 已知向量 ， 满足 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 则
B. 最大值为 3
C. 若 ，则
D. 若 ，则向量 在向量 上的投影向量坐标为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于 A,验证数量积是否为 0 即可判断；对于 B，求模先求平方，再开方即可求解；对于 C,移项之
后在平方求解即可；对于 D, 在向量 上的投影向量为 ,据此求解即可.
【详解】对于 A,因为 ，所以 与 不垂直，故 A 错误；
对于 B,因为 ，所以 ，
所以
当 共线时， 有最大值为 1，所以 ，故 B 正确；
对于 C,因为 ，所以 ，即 ，
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所以 ，所以 ，解得 ，故 C 错误；
对于 D,因为 ，所以 ，即 ，
所以 在向量 上的投影向量为 ，故 D 正确.
故选：BD.
10. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知向量 ， ， ，
若 为锐角，则实数 值可以是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】BC
【解析】
【分析】先求出 和 ，再根据 为锐角得到数量积为正，同时需要排除共线向量的情况即可.
【详解】 ，
因为 为锐角，
所以 且 与 不是共线向量，
即 ，解得 ，
所以符合条件的为 和 ，
故选：BC
11. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 将正方形旋转不可能形成圆柱
B. 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用圆柱、圆锥、圆台的结构特征逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于 A，将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以 A 错误；
对于 B，当这两个平行截面与底面平行时正确，
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当这两个平行截面不与圆柱的底面平行时，夹在圆柱的两个平行截面间的几何体就不是旋转体，所以 B 错
误；
对于 C，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，所以，C 正确.
对于 D，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以 D 错误．
故选：ABD.
第Ⅱ卷 非选择题部分
三、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 在 中，已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】由于 ， ，故 锐角，
由正弦定理得 ，
所以 ,
故答案为：
13. 两个半径分别为 的☉M，☉N，公共弦 的长为 3，如图所示，则 =____________.
【答案】9
【解析】
【分析】取 的中点 ，连接 ，由向量投影求解即可；
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【详解】
取 的中点 ，连接 ，由圆的性质，得 .
为两个圆 公共弦，从而圆心 在弦 的投影为 的中点，进而 在 上的投影向量
的模能够确定，所以由向量的投影定义.
可得：所以 ，
,
故答案为：9
14. 已知 ， ， 是平面内不共线的三点， 为 所在平面内一点， 是 的中点，动点 满足
，则点 的轨迹一定过 的______（填“内心”“外心”“垂
心”或“重心”）.
【答案】重心
【解析】
【分析】
根据已知条件判断 三点共线，结合重心的定义，判断出 的轨迹过三角形 的重心.
【详解】∵点 满足 ，且 ，
∴ ， ， 三点共线.
又 是 的中点，∴ 是边 上的中线，∴点 的轨迹一定过 的重心.
故答案为：重心
【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的重心的知识，属于基础题.
四、解答题：（本大题共 5 小题，共 707 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在 中，已知 ，且 ， ，求 ， .
【答案】4， .
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【解析】
【分析】由题意可知 是边长为 4 的等边三角形，利用向量加法、减法的几何意义即可求解.
【详解】 中， ，由于 ， ，
所以 是等边三角形，即 .
∴
设 中点为 ，
根据向量和的平行四边形法则， ，
所以 ， .
16. 在 中，设内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，
.
（1）求角 的值;
（2）若三角形 的面积为 ，求 的周长.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件，由正弦定理，先得到 ，再由题中条件，即
可求出结果；
（2）由题中条件，根据三角形面积公式，先得到 ，再由余弦定理，即可得出结果.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
则 ，即 ，
因为在 中， ，所以 ，因此 ，所以 ；
（2）因为三角形 的面积为 ，所以 ，则 ，
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又 ， ，由余弦定理可得 ，
即 ，所以 ，
因此 的周长为 .
【点睛】方法点睛：
求三角形周长（或周长的范围）的常用方法：
（1）根据题中条件，结合正弦定理和余弦定理求解；求范围时，可借助基本不等式求解.
（2）根据正弦定理，将边长化为对应的角的正弦值来表示，结合三角函数的性质求解即可.
17. 距码头 南偏东 的 400 千米 处有一个台风中心．已知台风以每小时 40 千米的速度向正北方向移
动，距台风中心 350 千米以内都受台风影响．问：从现在起多少时间后，码头将受台风影响？码头受台风
影响的时间有多长？
【答案】 小时后，码头将受台风影响，影响时间为 小时．
【解析】
【分析】首先设台风到达 处时，码头开始受台风影响，离开 处时，码头不再受台风影响，再利用余弦
定理即可得到答案.
【详解】设台风到达 处时，码头开始受台风影响，离开 处时，码头不再受台风影响，
如图所示：
所以 ， ， ，
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设 ，根据余弦定理得：
解得 或 （舍去），所以 ， .
因为 ， ，
所以从现在起 个小时后，码头将受台风影响，码头受台风影响的时间为 小时.
【点睛】本题主要考查余弦定理得实际应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题.
18. 如图，在 中， ， ，BQ 与 CR 相交于点 I，AI 的延长线与边 BC 交于点 P．
（1）用 和 分别表示 和 ；
（2）如果 ，求实数 和 的值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算直接求解即可；
（2）将（1）中结论代入（2）中条件，然后利用平面向量基本定理列方程求解即可.
小问 1 详解】
,
，
;
【小问 2 详解】
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，
，
由平面向量基本定理得 ，解得 .
19.
已知 ，其中向量 ,
（1）求 的最小正周期和最小值；
（2）在△ 中，角 A、B、C 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，求边长
的值.
【答案】（1）最小正周期为π，最小值为 . （2）2 或 6．
【解析】
【分析】（1）利用向量的数量积化简 的解析式，进而可得 的最小正周期和最小值；
（2）先由 求得 ，再利用余弦定理列方程，即可求得边长 的值.
【详解】（1）
则 的最小正周期 ，最小值为 .
（2） ，则 ，
又 ，则 ，故 ，解之得
又 ， ，由余弦定理得 ，
即 ，解之得 或 .经检验，均符合题意.
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