上海市闵行区明星学校2024-2025学年七年级下学期 数学月考卷（含解析）

这是一份上海市闵行区明星学校2024-2025学年七年级下学期 数学月考卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题5小题，每题3分，满分15分）
1. 若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，对选项逐一分析判断即可．
【详解】解：A、若，则应为，原说法错误，故不符合题意；
B、若，则应为，原说法错误，故不符合题意；
C、若，则应为，原说法错误，故不符合题意；
D、若，则，原说法正确，故符合题意，
故选：D．
2. 如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 与是同位角
B. 与是内错角
C. 与是同位角
D. 与是同旁内角
【答案】D
【解析】
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义解答即可．
本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A. 与是同旁内角，错误，不符合题意，
B. 与是内错角，错误，不符合题意，
C. 与是同位角，错误，不符合题意，
D. 与是同旁内角，正确，符合题意，
故选：D．
3. 下列说法中能判断两个三角形全等的是（ ）
A. 有两边对应相等的两个等腰三角形
B. 斜边相等的两个直角三角形
C. 边长为两个等边三角形
D. 有一个钝角相等的两个等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角的判定，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、有两边对应相等的两个等腰三角形只有两个条件，无法判断全等，不符合题意；
B、斜边相等的两个直角三角形只有两个条件，无法判断全等，不符合题意；
C、边长为的两个等边三角形，利用可以判断两个三角形全等，符合题意；
D、有一个钝角相等的两个等腰三角形，不能判断两个三角形全等，不符合题意；
故选C．
4. 一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边．
根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和．
【详解】解：设第三边的长为，
由三角形的三边关系可得，
即，
所以它的第三边的长可能是．
故选：B．
5. 对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围．
【详解】解：由，根据新运算，可化简为：，
解这个不等式组，解得：，
∵关于的不等式组有且只有一个整数解，
∴，
∴，
解得：，
故选：B．
二、填空题（本大题14小题，每题3分，满分42分）
6. 根据数量关系“x的2倍与3的和小于4”，列不等式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列一元一次不等式，读懂题意，根据题中描述的数量关系正确列出不等式是解题的关键．
根据题中描述的数量关系列出不等式即可．
【详解】解：∵x的2倍为，
∴x的2倍与3的和小于4可表示为：，
故答案为：．
7. 不等式的所有非负整数解的和等于_________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式．先解不等式，然后根据非负整数的定义，即可求解．
【详解】解：，
解得：，
不等式的非负整数解为，，，，
，
故答案为：6．
8. 若分式方程的解为正数，则的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查分式方程的解及解一元一次不等式，根据题意得出不等式组是解决问题的关键．
去分母把分式方程化成整式方程，解方程后得出，解不等式即可得出答案．
【详解】解：，
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
且，
，
且，
故答案为：且．
9. 已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是___．（填写序号）
【答案】③
【解析】
【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可．
【详解】①如果，，那么，正确，是真命题；
②如果，，那么，正确，是真命题；
③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题；
④如果，，那么，正确，是真命题．
假命题有③，
故答案为：③．
10. 如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点．若，的周长为，则的周长为________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质得到，，进而推出的周长为的长，再根据的周长公式进行计算即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，垂足为点，，
∴，，
∴的周长，
∴的周长为；
故答案为：24．
11. 如图，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处，若已知支架，可以绕着点自由旋转，当点旋转到如图所示的位置时，，此时为______．
【答案】##44度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
12. 下列三种现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是________(填序号)．

【答案】②
【解析】
【分析】本题主要考查了线段的性质，分别判断三种现象，确定用“两点之间，线段最短”来解释的现象即可．
【详解】解：①跳远测量反映的是“垂线段最短”；
②投铅球测量反映的是“两点之间，线段最短”；
③木条固定反映的是“两点确定一条直线”；
所以，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是②，
故答案为：②．
13. 如图，四边形中，，则图中所标四个角中________________．
【答案】 ①. 2 ②. 3
【解析】
【分析】题目主要考查平行线的性质，结合图形，利用两直线平行，内错角相等求解即可，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：2；3
14. 如图，直线，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，根据两直线平行，同位角相等得到，再由平角的定义即可得到答案．
【详解】解；∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 如图，已知与交于点，且，垂足为，若，则________度．
【答案】##125度
【解析】
【分析】本题考查垂直的定义，角的和差关系，对顶角相等等知识，利用垂直的定义可知，再运用求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
16. 已知等腰三角形两条边的长分别是和，则它的周长等于________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；
分是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①当是腰长时，三边分别为、、时，能组成三角形，周长为；
②当是底边时，三边分别为、、，能组成三角形，周长为；
综上所述，等腰三角形的周长为或；
故答案为：或．
17. 如图，在中，平分，且于点，，若的面积为18，则的面积是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形判定，角平分线的定义，三角形的中线性质．延长交于点，利用证明，根据全等三角形的性质得到，，求得，据此求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
∵，
∴，
∵的面积为18，
∴，
，
故答案为：3．
18. 等腰三角形的顶角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角为_____.
【答案】25°
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数.
【详解】解：如图：△ABC中，AB＝AC，BD是边AC上的高.
∵∠A＝70°，且AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝(180°﹣50°)÷2＝65°；
在Rt△BDC中，
∠BDC＝90°，∠C＝65°；
∴∠DBC＝90°﹣65°＝25°.
故答案为25°
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理．求一个角的大小，常常通过三角形内角和来解决．
19. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形定义和三角形中线的特点，理解三角形一边中线将三角形周长分得的两部分之差就是三角形剩余相邻两边之差，并注意分类讨论和将求得的边长结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可解题．
【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分．
又，
等腰三角形的腰与底边相差，
下面分两类讨论：
①腰比底边大，
设腰长为，则底边长为．
由题意得，解得，
当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形．

②底边比腰大，
若腰长为，则底边长为．
由题意得，解得，
当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形．
综上所述，这个等腰三角形的底边长为或．
故答案为：或．
三、简答题（本大题6小题，每题5分，满分30分）
20. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
原不等式组的解集为．
21. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组，掌握解不等式的方法和步骤是解题的关键．
先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
所以该不等式组的解集为：．
22. 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
．第五步
任务一：填空
①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________．
任务二：请写出正确的解题过程．
【答案】任务一：①不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；②三，移项没有改变符号；任务二：见解析
【解析】
【分析】任务一：①根据不等式的性质2可得答案；②由移项没有改变符号可得第三步开始出现错误；
任务二：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变进行变形的；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有改变符号；
任务二：
．
解：，
，
，
，
．
23. 在中，已知，，于，平分；求的度数．
【答案】5°
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义得出∠CAD的度数，根据AE⊥BC于E求出∠CAE的度数，进而可得出结论．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC=35°．
∵AE⊥BC于E，
∴∠CAE=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=35°-30°=5°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
24. 已知在中，，．说明的理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质解答即可．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
详解】解：∵，，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 已知等边与等边，且点在边的延长线上，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据等边三角形的性质得出，故可得出，由此可得，故可得出．
【详解】解：∵和为等边三角形，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴．
四、解答题（26题6分，27题7分，共13分）
26. 阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程．
证明：如图2，过点作于点．
为边上的中线，
① ．
，② ，
．
（1）请将小明横线处的证明过程补充完整．
（2）经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程．
（3）如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）12
【解析】
【分析】本题考查三角形中线性质、三角形的面积，熟知等高三角形的面积关系是解答的关键．
（1）根据题干证明过程，结合三角形的面积公式求解即可；
（2）根据三角形的面积公式求解即可；
（3）由（2）可得，，再结合已知求解即可．
【小问1详解】
证明：如图2，过点作于点．
为边上的中线，
．
，，
．
故答案为：，；
【小问2详解】
证明：如图3，过点作于点．
，，
∴；
【小问3详解】
解：同理（2）得，，
∵的面积为，是边上靠近点的三等分点，
∴，
∴，
∵是边上靠近点的四等分点，
∴，
∴，
故答案为：12．
27. 如图，在中，，，是的中点，将一把三角尺的直角顶点与重合，并绕点旋转，使该三角尺的两直角边与边、相交于点、（、不与A、、重合），连接．
（1）在旋转过程中，试观察的形状，并证明你的结论；
（2）试猜想：线段、、能否组成一个直角三角形？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．
【答案】（1）是等腰三角形，证明见解析
（2）见解析能，证明
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、余角的性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）如图：连接，根据题意以及等腰三角形的性质可得，进而证明可得，再结合已知条件即可解答；
（2）如图：延长到M，使，连接，先证明，
可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得即可解答．
小问1详解】
解：是等腰三角形，证明如下：
如图：连接，
∵点O是的中点，且，
∴，平分（等腰三角形的三线合一），
∴（角平分线意义），
∴（等边对等角），
∴（等量代换）
∴（等角对等边），
∴（等量代换），
∵（余角的意义），
∵，
∴，
∴（同角的余角相等），
在与中，
∴，
∴(全等三角形的对应边相等)，
∴是等腰直角三角形．
【小问2详解】
解：能，证明如下：
如图：延长到M，使，连接，
在与中，
，
∴，
∴（全等三角形对应边相等），
∵是等腰直角三角形（已证），
∴，
∵，
∴（等腰三角形的三线合一），
∵（已知），
∵（已知），
∴(三角形的内角和为180°)，
∴（等量代换），
∴即，
∴组成一个直角三角形，
∴、、组成一个直角三角形（等量代换）．